이차 방정식

이차방정식(二次方程式, )은 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식이다. 이차방정식은 미지수가 포함된 방정식 중에서 그 미지수가 두 번째 거듭제곱, 즉 제곱으로 나타나는 방정식을 의미한다.

와 같고, 여기서 는 변수, 와 는 각각 의 계수라고 하며, 는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 인수분해를 이용해 풀이한다. 여기에서 에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실수인 근 실근과 허수인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이  중근이라고 한다.

 이차 방정식의 근의 공식 
다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

, 단, , , 는 실수이고 일 때, 이 방정식의 두 해 , 는
이고,
일 때는  이다.

이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.
, 단  일 경우에만 성립한다.물론, 이차방정식이므로 도 만족해야 한다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

따라서, 제곱근 기호 안의 수, 즉 는 이 이차방정식의 판별식이 된다.
제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은 가 살아있는 개의 값이 되고, 루트의 내부가 이면 루트는 없어짐으로  개의 중복된 실수근을 갖게되고,
루트 내부에 음수가 존재하면 허수 의 가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.

또한, 루트의 내부가 이면 루트는 없어짐으로  개의 중복된 실수근을 갖게 될때는,

따라서, 축의 방정식은 이와같이 유도되고,
따라서, 이차함수의 꼭지점과 대칭 축은    가 된다.

 근의 공식의 유도 
이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.

에서, 는 이 아니므로 양변을 로 나눌 수 있다.
이렇게 이차항 의 계수를 로 만든다.

가 얻어지고,  상수항만 우변으로 이항하면

일차항 의 계수를 로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다. 

제곱근을 취하면

 (단, )
가 얻어진다.

이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식 가 일때, 즉 
 은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.

 짝수 공식 
이차 방정식에서 일차항의 계수 가 짝수인 경우 를 대입하면,
위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.



 근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이 
이차 방정식  을 근의 공식을 이용하여 풀어보자.
근의 공식  에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면
 이다.

 차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한  근의 공식 유도 
다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의  최고차항( 차항)의 의 계수, 로 나눈 다음 의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,

이차 방정식
은 다음의 꼴로 정리되고,

그리고
의 꼴로 정리해서,
로 다시 정리하면 되겠다.
따라서,

우선, 

따라서,

에서,

여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.
여기서는 완전제곱식은 이다.

이러한  값은 이차함수의 꼭지점인 축의 값과 관계있다.

 근과 계수의 관계 

 근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1 
의 두 근 를 각각

이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

단, a는 0이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기에 따르면 분모가 0일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)

 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2 

의 두근 을 각 라고 정의하고

을 근으로 갖는 이차방정식을 이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 (단,는 이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)

먼저 두 번째 이차방정식인 의 계수를 나누고 전개해주면

 - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인  또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 의 계수 로 나눠주면

 - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미에 의해 공식이 구해졌다.

 같이 보기 
 일차 방정식
 삼차 방정식
 사차 방정식
 오차 방정식
 육차 방정식
 칠차 방정식
 방정식
 비에트 정리
 일차 함수
 이차 함수
 황금비

 각주 

 외부 링크 



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분류:초등대수학