공간군

수학과 결정학에서 공간군()이란 결정 구조의 대칭성을 수학적으로 기술한 것이다.

 정의 
3차원에서의 공간군은 (7 결정계에 속한) 14 브라베 격자와 32 결정학적 점군의 조합으로 이루어진다. 따라서 공간군은 lattice centering과 점군의 회전, 반사, 회전반전 대칭 조작을 갖는 단위 격자의 병진대칭(반복)으로 나타난다. 더욱이, 공간군에서는 점군과 달리 병진의 요소가 있기 때문에 점군에 없는 대칭 조작이 나타나는데, 회전 조작과 병진이 결합한 나사축과 반사 조작과 병진이 결합한 미끄럼면이 바로 그것이다. 이 대칭 조작들의 조합으로 결정이 가질 수 있는 230개의 공간군을 모두 표현할 수 있다.

 미끄럼면과 나사축 
공간군을 구성하는 대칭 조작들 중에 2가지는 브라베 격자나 점군의 대칭 조작과 대응하지 않는다. 이 2가지를 각각 미끄럼면과 나사축이라고 한다.

어떤 한 면에 대해 평행하게 병진하면서 반사 조작이 나타나는 경우 이 면을 미끄럼면이라고 한다. 이 면은 병진이 일어나는 축에 따라 a나 b, 혹은 c로 나타낸다. n과 d미끄럼면도 있는데, n은 대각선 방향으로 단위 격자의 대각선 길이의 1/2만큼 병진하는 미끄럼면을 나타내고, d미끄럼면은 대각선 방향으로 1/4만큼 병진하는 미끄럼면을 나타낸다. d미끄럼면은 '다이아몬드 미끄럼면'이라고도 하는데 그 이유는 다이아몬드의 결정구조에서 볼 수 있기 때문이다.

어떤 한 축을 따라 회전 조작과 병진이 함께 나타날 때 그 축을 나사축이라고 한다. 나사축은 회전의 정도를 나타내는 숫자와 병진을 나타내는 숫자로 표현한다. 앞의 숫자는 몇 번 회전 조작을 하였을 때 1회전이 되는가를 표현한다(즉, 3이라면 3번 회전 조작을 해야 360도 회전하게 된다는 것을 나타낸다.). 병진의 정도는 그 뒤에 작게 표시하는데, 한 번의 회전 조작을 할 때(반시계방향임을 유의) 얼마나 병진하는지 격자벡터에 대한 비율로 표현한다. 예를 들어 21은 한 번 회전 조작을 할 때 격자벡터의 1/2만큼 병진하는 2회전 나사축을 말하며, 65는 한 번에 격자 벡터의 5/6 만큼 병진하는 6회전 나사축을 나타낸다.

 표현 
공간군을 식별하는 방법에는 여러가지가 있다. 국제 결정학 연합은 모든 공간군에 각각 다른 번호를 붙인 표를 출판한 바 있다. 이와 다른 도식으로는 헤르만-모갱 표기법과 쇤플리스 표기법이 많이 쓰인다.

헤르만-모긴(혹은 국제) 표기법은 4개의 기호로 구성되어있으며 결정학에서 가장 일반적으로 쓰이는 표기법이다. 첫 번째 기호는 브라베 격자에서의 lattice centering을 나타내며 그 뒤에 있는 3개의 기호는 대칭성이 높은 방향을 따라 투영하였을 때 나타나는 (두드러진)대칭 조작을 표현한다. 뒤 3개의 기호는 점군의 표현과 동일한데, 나사축과 미끄럼면의 표현이 추가된 것이다. 예를 들어 석영의 공간군은 P3121로 표현되는데, P는 격자종류(Primitive cell)를 나타내고, 3121에서 3회전 나사축과 2회전축을 갖고 있음을 알 수 있다. 여기서 이 공간군이 어느 결정계에 포함되는지 명백하게 나타나지는 않는다는 것을 주의한다. 그러나 뒤 3개의 점군을 나타내는 기호를 보면 쉽게 알 수 있다.(P3121의 경우 삼방정계에 포함된다.)

 3차원 공간군 목록 

 결정족 # 삼사정계 1 1 P1    2 P       단사정계 2 3-5 P2  P21  C2   m 6-9 Pm  Pc  Cm  Cc   2/m 10-15 P2/m  P21/m  C2/m  P2/c  P21/c  C2/c        사방정계 222 16-24 P222  P2221  P21212  P212121  C2221  C222  F222  I222 I212121    mm2 25-46 Pmm2  Pmc21  Pcc2  Pma2  Pca21  Pnc2  Pmn21  Pba2 Pna21  Pnn2  Cmm2  Cmc21  Ccc2  Amm2  Abm2  Ama2 Aba2  Fmm2  Fdd2  Imm2  Iba2  Ima2    mmm 47-74 Pmmm  Pnnn  Pccm  Pban  Pmma  Pnna  Pmna  Pcca Pbam  Pccn  Pbcm  Pnnm  Pmmn  Pbcn  Pbca  Pnma Cmcm  Cmca  Cmmm  Cccm  Cmma  Ccca  Fmmm  Fddd Immm  Ibam Ibca  Imma       정방정계 4 75-80 P4  P41  P42  P43  I4  I41    81-82 P  I   4/m 83-88 P4/m  P42/m  P4/n  P42/n  I4/m  I41/a    422 89-98 P422  P4212  P4122  P41212  P4222  P42212  P4322  P43212 I422  I4122    4mm 99-110 P4mm  P4bm  P42cm  P42nm  P4cc  P4nc  P42mc  P42bc I4mm  I4cm  I41md  I41cd    2m 111-122 P2m  P2c  P21m  P21c  Pm2  Pc2  Pb2  Pn2 Im2  Ic2  I2m  I2d    4/mmm 123-142 P4/mmm  P4/mmc  P4/nbm  P4/nnc  P4/mbm  P4/nnc  P4/nmm  P4/ncc P42/mmc  P42/mcm  P42/nbc  P42/nnm  P42/mbc  P42/mnm  P42/nmc  P42/ncm I4/mmm  I4/mcm  I41/amd  I41/acd     삼방정계 3 143-146 P3  P31  P32  R3    147-148 P  R    32 149-155 P312  P321  P3112  P3121  P3212  P3221  R32    3m 156-161 P3m1  P31m  P3c1  P31c  R3m  R3c    m 162-167 P1m  P1c  Pm1  Pc1  Rm  Rc        육방정계 6 168-173 P6  P61  P65  P62  P64  P63    174 P   6/m 175-176 P6/m  P63/m   622 177-182 P622  P6122  P6522  P6222  P6422  P6322   6mm 183-186 P6mm  P6cc  P62cm  P63mc   m2 187-190 Pm2  Pc2  P2m  P2c   6/mmm 191-194 P6/mmm  P6/mcc  P63/mcm  P63/mmc       입방정계 23 195-199 P23  F23  I23  P213  I213   m 200-206 Pm  Pn  Fm  Fd  I  Pa  Ia    432 207-214 P432  P4232  F432  F4132  I432  P4332  P4132  I4132 3m 215-220 P3m  F3m  I3m  P3n  F3c  I3d   mm 221-230 Pmm  Pnn  Pmn  Pnm  Fmm  Fmc  Fdm  Fdc Imm  Iad

 참고 문헌 


 같이 보기 
 점군
 결정학적 점군
 평면군
 브라베 격자
 결정계

 외부 링크 

 공간군의 목록

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분류:유한군
분류:이산 군