덧셈

덧셈(현대 수학에서 더하기표 로 자주 표현된다.)은 산술의 기본 연산 중의 하나로, 뺄셈과 곱셈, 나눗셈과 함께 대표되는 사칙연산이다. 두 개의 수를 받아서 두 수의 합인 하나의 수를 내는 연산이다. 옆의 그림에서 위쪽의 3개의 사과와 아래쪽의 2개의 사과를 덧셈하면(더하면) 사과 5개가 된다. 이를 수학적으로 표현하면 3+2=5가 된다.(말로 표현할 때는 "삼 더하기 이는 오"라고 한다.)

 수의 덧셈 
덧셈은 보통 덧셈기호 +의 양 옆에 숫자를 넣는 중위 표기법으로 표현한다. 그리고 그 결과를 등호기호 =의 오른쪽에 넣어서 표현한다.

관습적으로 대분수의 경우 따로 덧셈기호가 없어도 앞의 수와 뒤의 분수가 더해진 수라고 생각한다.

두 자연수의 덧셈은 자연수의 순서에 맞게 그 순서를 더한다.

세번째 수+네번째 수=일곱번째 수

두 자리수 이상의 자연수의 덧셈은 각각의 자리수를 더해서 구할 수 있다.

두 분수의 덧셈은 분모가 같은 경우 분자끼리 더한다.

분모가 다른 경우 두 분모가 최소공배수가 되는 값을 각각의 분수의 분모와 분자에 곱해서 더한다.

 받아올림 

두 자리 수 이상의 자연수를 더할 때, 같은 자리의 숫자끼리의 합이 10 이상이 되면 받아올림이 필요하다. 예를 들어 를 계산할 때, 먼저 일의 자리 숫자끼리 계산하면 16이 되므로 6을 일의 자리 숫자에 적고, 1을 받아올린다. 그리고 십의 자리 숫자끼리 계산할 때 일의 자리에서 받아올린 수까지 함께 더하여 8이 되므로 8을 십의 자리 숫자에 적는다.
   ¹
   27
 + 59
 ————
   86

 소수의 덧셈 
소수의 덧셈은 다음과 같다. 소수점이 같은 위치에 오도록 적고, 한 수에만 빈 자리가 있으면 그 자리에 0을 적는다. 그 다음에는 자연수의 덧셈과 마찬가지로 같은 자리의 숫자까리 더하되 필요한 경우 받아올림을 한다. 소수점은 더한 수와 같은 위치에 찍는다. 예를 들어 45.1 + 4.34는 다음과 같이 계산한다.
    4 5 . 1 0
 +  0 4 . 3 4
 ————————————
    4 9 . 4 4

 수학적 정의 
덧셈은 두 개의 원소를 받아 하나의 원소를 내는 이항연산이다. 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수는 각기 다른 대수구조를 가지고 있기 때문에 수학적인 정의들이 각각이 다르다.

 자연수 
페아노 공리계에서 자연수 집합 은 다음 다섯개의 공리로 정해진다.

여기서 '는 계승자를 나타내는 사상으로 n'은 n의 다음 자연수를 의미한다. 자연수 집합에 0을 추가한 집합 에 대해서, 덧셈은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.
 ,

임의의 자연수는 0 또는 다른 자연수의 다음 자연수이므로, 임의의 의 오른쪽에 자연수를 더하는 것은 항상 두 경우 중 하나와 일치한다. 자연수 덧셈의 교환법칙과 결합법칙은 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.

 정수 
두 정수를 각각 자연수의 차 , 로 표현할 때 (, , , 는 자연수), 정수의 합은 으로 정의한다. 이때, 와 는 자연수에서 정의된 덧셈의 결과이다.

 유리수 
유리수에서는 덧셈을 다음과 같이 정의한다. 두 유리수를 정수의 비 ,  (, , , 는 정수이고 와 는 0이 아니다) 로 표현할 때, 유리수의 합은 다음과 같다.

분수는 유리수의 표기법이므로, 이 정의를 사용하여 분수의 덧셈을 할 수 있다. 예를 들어, 이다.

 실수 
실수를 유리수의 완비 거리 공간으로 생각하였을 때, 각 실수는 유리수의 코시 열의 극한값이다. 두 실수 , (은 유리수의 코시 열) 에 대해 실수의 합은 각 유리수열에 대해 항 별로 덧셈을 하여 극한을 취한 결과인 으로 정의한다.

 복소수 
복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 각각 더한 결과로 정의한다. 두 복소수 ,  (는 실수)에 대해, 복소수의 합은 으로 정의한다. 이때 는 실수에서 정의된 덧셈의 결과이다.

 성질 
 교환법칙 
덧셈에서는 교환법칙이 성립한다. 이는 덧셈을 할 때 피연산자의 배치 순서를 바꾸어도 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 에 대해

가 성립한다.

 결합법칙 
덧셈에서는 결합법칙도 성립한다. 이는 세 피연산자에 대해 덧셈을 할 때 어떤 쌍을 처음 더한 후 다른 하나를 더할 때 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 , , 에 대해

가 성립한다. 결합법칙에 의해, 라는 표현은  와  중 어느 것으로 해석되더라도 같은 결과를 얻으므로 의미가 모호하지 않다.

 항등원 
덧셈의 항등원은 0이다. 즉, 모든 에 대해

가 성립한다.

 더하기표 

 +   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  0  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  1  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  2  2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  3  3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  4  4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  5  5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  6  6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  7  7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  8  8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  9  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18

 곱셈과의 관계 
같은 수를 여러 번 더한 것을 곱셈이라고 한다.

 같이 보기 
 암산
 복면산