메르센 소수

메르센 수()는 2의 거듭제곱에서 1이 모자란 숫자를 가리킨다. 지수 에 대한 메르센 수는 로 나타내고 목록은 아래와 같다.
 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767... 

메르센 소수()는 메르센 수 중에서 소수인 수이다. 예를 들면 3과 7은 둘 다 소수이고 이므로 3과 7은 둘 다 메르센 소수이다. 반대로 은 합성수이다. 현대에 알려진 매우 큰 소수들 중에는 메르센 소수가 상당히 많다.
 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951... 

메르센 소수가 무한히 많이 존재하는지 아니면 그 개수가 정해져 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 즉 이 말은 메르센 소수가 유한한지 무한한지에 대한 여부가 알려져있지 않았다는 것인데, n이 소수라고 해서 항상 해당 메르센 수가 소수가 되지는 않기 때문이다. 예를 들어 n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 일 땐 소수가 된다. 그러나 11은 소수긴 하나 n=11일 땐 2의 11제곱에서 1을 뺀 수인 2047은 23×89로 소인수분해 가능하다. 비슷한 이유로 23도 소수이나 n=23일 땐 2의 23제곱에서 1을 뺀 수인 8388607도 47×178481로 소인수분해 할 수 있기 때문이다. 마찬가지로 n=29일 때, 37일 때, 41일 때, 그리고 43, 47일 때 등등도 2의 거듭제곱 횟수는 소수이지만, 해당 메르센 수가 소수가 아닌 경우는 무수히 많다.

 메르센 수의 속성 
메르센 수는 다음의 몇 가지 속성을 지닌다. :

 은 이항계수의 합에서 1을 뺀 값이다.


 메르센 수의 지수가 홀수소수 이면 소인수의 형태는 다음과 같음을 페르마가 증명하였다.

 (는 음이 아닌 정수)

이것은 메르센 수가 소수, 즉 메르센 소수일때도 성립한다.

또한 n이 홀수 소수인 메르센 수들의 약수들은 모두  꼴이다.

 메르센 소수에 관한 정리 
 1) 만일 이 하나의 양의 정수이면, 이항정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다:

또는

이다( = ,  = 로,  = 로 놓았을 때).

증명

 역사 
1644년 마랭 메르센은  형태가 소수가 되는 것은,  일 때  뿐이라고 발표하였다. 그러나 그 주장의 일부는 잘못임이 밝혀졌다. 목록에 포함되지 않은 , , 는 소수이며, 목록에 포함되어 있는 , 는 합성수이다.

리젤 수의 발견자이기도 한 스웨덴의 수학자인 한스 리젤이 1956년에 컴퓨터를 이용하여 18번째의 메르센 소수를 발견한 이래, 이후 컴퓨터를 활용하여 새로운 메르센 소수를 찾고 있다.

 메르센 소수 찾기 
 다음 등식은 이 메르센 소수가 되기 위해서는  자신이 소수여야 한다는 것을 알려준다.

따라서, 메르센 소수를 찾기 위해서는 지수가 소수인 경우만 조사하면 되지만, 일반적으로 그 역은 참이 아니다. 즉 이 소수라고 하여  또한 소수인 것은 아니다. 예를 들어, 11은 소수지만 로 소인수분해된다.

 메르센 소수 목록 

지금까지 발견한 메르센 소수 표 :
 #   의 자리수 발견일번째 확정일 발견자1111기원전 732년 -고대 그리스 수학자 2 2 3 1 기원전 730년 - 고대 그리스 수학자 3 3 7 1 기원전 729년 - 고대 그리스 수학자 4 5 31 2 기원전 276년 - 고대 그리스 수학자 5 7 127 3 기원전 273년 - 고대 그리스 수학자 6 13 8191 4 1459년1460년 익명 7 17 131071 6 1606년1606년 피에트로 카탈디 8 19 524287 6 1606년 - 피에트로 카탈디 9 31 2147483647 10 1772년1775년 레온하르트 오일러 10 61 2305843009213693951 19 1883년1887년 이반 미흐비치 페르부쉰 11 89 61897001
9642690137449562111 27 1911년1918년 R. E. Powers 12 107 16225927682921
3363391578010288127 33 1914년1922년 R. E. Powers 13 127 17014118346046923173
1687303715884105727 39 1877년1923년 에두아르 뤼카 14 521 6864797660130609714
9819007990813932172
6943530014330540939
4463459185543183397
6560521225596406614
5455497729631139148
0858037121987999716
6438125740282911150
57151 157 1952년 1월 30일1956년 6월 17일 라파헬 로빈슨 15 607 531137992…031728127 183 1952년 1월 30일1956년 7월 4일 라파헬 로빈슨 16 1,279 104079321…168729087 386 1952년 6월 25일1956년 12월 13일 라파헬 로빈슨 17 2,203 147597991…697771007 664 1952년 10월 7일1957년 3월 12일 라파헬 로빈슨 18 2,281 446087557…132836351 687 1952년 10월 8일1957년 3월 14일 라파헬 로빈슨 19 3,217 259117086…909315071 969 1956년 9월 1일1961년 10월 5일 한스 리젤 20 4,253 190797007…350484991 1,281 1961년 11월 3일1965년 4월 13일 알렉산더 허비츠 21 4,423 285542542…608580607 1,332 1961년 11월 3일1965년 4월 13일 알렉산더 허비츠 22 9,689 478220278…225754111 2,917 1963년 5월 11일1967년 11월 20일 도널드 길리스 23 9,941 346088282…789463551 2,993 1963년 5월 16일1967년 11월 21일 도널드 길리스 24 11,213 281411201…696392191 3,376 1963년 6월 2일1968년 1월 12일 도널드 길리스 25 19,937 431542479…968041471 6,002 1971년 3월 4일1978년 9월 19일 브리언트 터커맨 26 21,701 448679166…511882751 6,533 1978년 10월 30일1986년 5월 13일 랜돈 커트 놀과 로라 니켈 27 23,209 402874115…779264511 6,987 1979년 2월 9일1986년 10월 3일 랜돈 커트 놀 28 44,497 854509824…011228671 13,395 1979년 4월 8일1987년 1월 2일 해리 넬슨과 데이빗 슬로빈스키 29 86,243 536927995…433438207 25,962 1982년 9월 25일1990년 7월 20일 데이빗 슬로빈스키 30 110,503 521928313…465515007 33,265 1988년 1월 28일1997년 5월 15일 월크 콜킷과 루크 웰시 31 132,049 512740276…730061311 39,751 1983년 9월 19일Landon Curt Noll, Mersenne Prime Digits and Names.1997년 12월 3일 데이빗 슬로빈스키 32 216,091 746093103…815528447 65,050 1984년 9월 10일1999년 3월 23일 데이빗 슬로빈스키 33 756,839 174135906…544677887 227,832 1992년 2월 19일2001년 10월 21일 데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지 34 859,433 129498125…500142591 258,716 1994년 1월 4일2002년 11월 16일 데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지 35 1,257,787 412245773…089366527 378,632 1996년 9월 3일2003년 10월 24일 데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지  36 1,398,269 814717564…451315711 420,921 1996년 11월 13일2003년 12월 9일 GIMPS / 조엘 아르멩고  37 2,976,221 623340076…729201151 895,932 1997년 8월 24일2004년 11월 25일 GIMPS / 고든 스펜스  38 3,021,377 127411683…024694271 909,526 1998년 1월 27일2005년 4월 13일 GIMPS / 롤랜드 클락슨  39 6,972,593 437075744…924193791 2,098,960 1999년 6월 13일2006년 11월 4일 GIMPS / 난야 하이라트왈라  40 13,466,917 924947738…256259071 4,053,946 2001년 1월 30일2007년 9월 14일 GIMPS / 마이클 카메론  41 20,996,011 125976895…855682047 6,320,430 2003년 11월 17일2009년 7월 13일 GIMPS / 마이클 셰이퍼  42 24,036,583 299410429…733969407 7,235,733 2004년 5월 15일2010년 3월 25일 GIMPS / 조지 핀들리  43 25,964,951 122164630…577077247 7,816,230 2005년 2월 18일2011년 1월 10일 GIMPS / 마르틴 노바크  44 30,402,457 315416475…652943871 9,152,052 2005년 12월 15일2011년 10월 30일 GIMPS / 커티스 쿠퍼와 스티븐 분  45 32,582,657 124575026…053967871 9,808,358 2006년 9월 4일2012년 6월 13일 GIMPS / 커티스 쿠퍼와 스티븐 분  46 37,156,667 202254406…308220927 11,185,272 2007년 9월 7일2013년 7월 24일 GIMPS / Hans-Michael Elvenich  47 42,643,801 169873516…562314751 12,837,064 2009년 6월 3일**2016년 4월 11일 GIMPS / Odd Magnar Strindmo 48 43,112,609 316470269…697152511 12,978,189 2008년 8월 23일2017년 7월 16일 GIMPS / Edson Smith  49 57,885,161 581887266…724285951 17,425,170 2013년 1월 25일2020년 9월 29일 GIMPS / Curtis Cooper  50 74,207,281 300376418…086436351 22,338,618 2016년 1월 7일***2025년 7월 6일 GIMPS / Curtis Cooper  51* 77,232,917 467333183…762179071 23,249,425 2017년 12월 26일 2025년 9월 8일 GIMPS / Jon Pace 52* 82,589,933 110847779…217902591 24,862,048 2018년 12월 7일 2025년 10월 24일 GIMPS / Patrick Laroche 53* 136,279,841 881694327…486871551 41,024,320 2024년 10월 12일확정 되지 않음. GIMPS / Luke Durant 54* ? ? ? ?확정 되지 않음. ?
45번째 알려진 메르센 소수를 시각적으로 보여 주기 위해서는 1페이지 당, 10진수 75개 자리수의 숫자를 50줄씩 쓴 2,616페이지가 필요하다.

*표의 49번째 수인 과 50번째 수인  사이에 아직 발견되지 않은 다른 메르센 소수가 있는지 2025년 6월 25일에 알려졌다. 없었다. 하지만 중간에 알려지지 않은 메르센 소수가 있을 수 있다. 따라서 이 번호들은 바뀔 수도 있다. 소수가 작은 소수부터 순차적으로 발견되는 것은 아니다. 예를 들어, 30번째 메르센 소수는 31번째와 32번째 소수의 발견 이후에 발견되었다.

**M42,643,801는 2009년 4월 12일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 6월 3일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 4월 12일 또는 6월 3일로 간주한다. 발견자 스트린드모(Strindmo)는 alias Stig M. Valstad를 사용한 것으로 보인다.

***M74,207,281는 2015년 9월 17일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 2016년 1월 7일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 2015년 9월 17일 또는 2016년 1월 7일로 간주한다.

 완전수 

메르센 소수는 완전수와 여러 관련성이 있어 흥미롭다. 기원전 4세기에 유클리드는 이 메르센 소수이면 다음과 같이 짝수 완전수임을 보였다.



18세기에 오일러는 모든 짝수 완전수는 이와 같은 형태를 갖는다는 것을 증명했다. 홀수 완전수는 존재하지 않는다. 왜냐하면 완전수로 홀수를 만드려면 무조건 4로 나누었을때 나머지가 무조건 1이나 2여야 한다. 하지만 모든 2의 제곱은 4로 나누어떨어지고 그렇게 되면 4-1=3 나머지가 3이 되기 때문에 홀수 완전수는 존재하지 않는다.

 일반화 
의 2진법 표현은 숫자 1이 번 반복된다. 예를 들면, 25 - 1 = 111112와 같이 표기된다. 그러므로 메르센 소수는 2를 밑으로 하는 단위 반복 소수이다.

 같이 보기 
 페르마 소수
 하노이의 탑 - n개의 원반을 모두 이동하기 위해서는 최소한 메르센 수(2n−1) 만큼 이동해야 한다.

 각주 

 외부 링크 
 Mersenne prime section of the Prime Pages: http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml
 Mersenne Prime Search home page: http://www.mersenne.org
 GIMPS status page http://www.mersenne.org/status.htm gives various statistics on search progress, typically updated every week, including progress towards proving the ordering of primes 39-42
 Discovery of the 42nd
 Mersenne numbers
 prime Mersenne numbers
 Slashdot - Discovery of the 42nd
  Proof
  Thesis
 알려진 메르센 소수의 모든 자릿수와 영어 이름

분류:수론의 미해결 문제
분류:정수열

분류:완전수