매끄러운 함수

해석학에서 매끄러운 함수()는 무한 번 미분이 가능한 함수이다.  함수로 표기하기도 한다.

만약 함수가 매끄럽고 모든 점에서의 테일러 급수 값이 함수값과 같을 경우에는 해석 함수가 된다.

 함수의 미분가능성 계층 
어떤 함수가 번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 연속일 경우, 그 함수를  함수라고 부른다. 예를 들어, 는 연속인 함수를 의미하며, 는 연속 미분 가능한 함수, 즉 미분 가능하고 도함수가 연속 함수인 함수를 의미한다.

함수가 무한 번 미분가능할 경우 로 표기하며, 해석 함수일 경우는 로 표기한다.

 집합은  집합을 진부분집합으로 가지며, 에 속하지 않는  함수가 존재한다. 마찬가지로 는 를 진부분집합으로, 는 를 진부분집합으로 가진다.

 예 
섬네일|이면 , 이면 . 이지만 은 아닌 함수

가 가 0 이상일 때 , 0보다 작을 때 일 경우, 이 함수는 연속함수이지만 에서 미분값이 존재하지 않는다. 따라서 이 함수는 이지만 은 아니다.

섬네일|매끄럽지만 해석적이지는 않은 함수

인 함수는 무한 번 미분이 가능하므로 매끄러운 함수이다. 하지만 일 때 해석적이지 않고, 따라서 이 함수는 해석함수는 아니다.

 성질 
유클리드 공간의 열린 집합 에 대하여, 가  위의 매끄러운 실수값 함수들의 집합이라고 하자.

이 공간 위에는 다음과 같은 일련의 반노름들이 주어진다. 모든 콤팩트 공간  및 다중 지표 에 대하여,

따라서, 이 반노름들을 사용하여  위에 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

 외부 링크 




분류:해석학 (수학)
분류:대수기하학