구 (기하학)

기하학에서, 구(球, )는 곡선인 원과 유사한 2차원 곡면으로, 3차원 공간에서 주어진 한 점으로부터 같은 거리 만큼 떨어진 점들로 이루어진 집합이다. 여기서 주어진 한 점을 구의 중심이라 하고, 거리 를 구의 반지름이라 한다. 수학에서 구는 속, 즉 내부가 없는 도형이며, 내부를 포함하는 도형은 공이라 한다.

데카르트 좌표계에서는 중심이 이고 반지름이 인 구를 다음의 방정식으로 나타낼 수 있다.

방정식이 2차 다항식으로 표현되기 때문에 구는 대수 곡면의 일종인 이차 곡면이다.

구면 좌표계에서는 두 개의 매개변수 , 를 이용하여 다음처럼 나타낼 수 있다.

 구의 부피 
 단면적의 적분을 이용한 증명 
원의 방정식 을 이용하여 구의 부피를 구해보자.

원의 방정식을 로 한정하면 함수 를 만들 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같이 반구의 단면적을 적분한 값이다.

단면적 함수 A(x)는 함수 의 함숫값을 반지름으로 하여 제곱하고 를 곱한 값이므로

이다.

따라서 

이다.

구의 부피는 이므로 반지름이 인 구의 부피는 이다.

 원통셸 방법을 이용한 증명 
1사분면 위의 원 을 y축에 대해 회전하여 생긴 회전체인 반구의 부피 V는

따라서 구의 부피는 이다.

 질량 중심 및 파푸스-굴딘 정리를 이용한 증명 
원의 방정식 의 그래프는 함수 의 그래프이므로, 라 하자. 이때 이 그래프를 x축에 대해 회전했을 때의 회전체인 구의 부피를 구해보자.

먼저, 질량 중심 좌표 를 구한다.

함수 는 y축을 기준으로 좌우대칭이기 때문에, 의 좌표는 0이다.

이므로

질량 중심 좌표 이다.

파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는

 (A는 영역의 넓이) 이므로

이다.

따라서 구의 부피는 이다.

 부피비 
밑면의 반지름이 인 구의 부피는 이고,

밑면의 반지름이 이고, 높이가 인 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 , 이다.

이면 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 , 이 된다.

따라서, 한 변의 길이가 인 정육면체에 내접하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비는

 구의 표면적 
밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

따라서 겉넓이 이 된다.

 일반화 
구의 정의를 확장하여 차원의 구를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 원, 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.

수학적으로는 이러한 일반적인 구를 으로 표시하고, 정의는 차원 유클리드 공간에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라 은 원, 는 구가 된다.

 같이 보기 

 원

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