곱집합

대체글=52장의 포커 패를 모양에 따라 한 줄에 13장씩 숫자가 커지는 순으로 나열한 것|섬네일|52장의 포커 패의 집합은 모양의 집합 과 숫자의 집합 의 곱집합이라 생각할 수 있다.

집합론에서 곱집합(곱集合, ) 또는 데카르트 곱(Descartes곱, )은 각 집합의 원소를 각 성분으로 하는 튜플들의 집합이다. 예를 들어, 두 집합 의 곱집합 는 이다. 곱집합은 집합의 다양체에서의 직접곱이며, 집합의 범주에서의 곱이다.

 정의 
첨수족 의 곱집합 는 다음과 같다.

특히, 유한 개의 집합 의 곱집합 은 다음과 같다.

집합 에 대하여, 의 번 곱집합 는 다음과 같다.

특히, 집합 와 순서수 에 대하여, 의 번 곱집합 는 다음과 같다.

특히, 집합  및 음이 아닌 정수 에 대하여, 의 번 곱집합 은 다음과 같다.

 성질 
대체글=y축에 A = [1, 4]를 표시하고, x축에 B = [2, 5], C = [4, 7]을 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 A와 B ∪ C 및 B ∩ C 및 B \ C의 곱집합을 표시한 것|섬네일|분배 법칙을 설명한 그림. 여기서 A = [1, 4], B = [2, 5], C = [4, 7].|223x223픽셀
대체글=x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∪ B) × (C ∪ D), (A × C) ∪ (B × D)를 표시한 것|섬네일|(A ∪ B) × (C ∪ D) ⊋  (A × C) ∪ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].
대체글=x축에 A = [2, 5], B = [3, 7]을 표시하고, y축에 C = [1, 3], D = [2, 4]를 표시한 뒤, 데카르트 좌표 평면에 (A ∩ B) × (C ∩ D), (A × C) ∩ (B × D)를 표시한 것|섬네일|(A ∩ B) × (C ∩ D) =  (A × C) ∩ (B × D). 여기서 A = [2, 5], B = [3, 7], C = [1, 3], D = [2, 4].

 (기수의 곱의 정의) 
 (기수의 거듭제곱의 정의) 

 (교환 법칙의 실패) 
 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
 (결합 법칙의 실패) 
 그러나, 이 둘 사이에는 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
 (분배 법칙) 
 (분배 법칙) 
 (분배 법칙) 


 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)

 인 가 존재하거나, 임의의 에 대하여 이다.
 다음 두 조건이 서로 동치이다. (무한 개의 집합의 곱집합의 경우 선택 공리가 필요하다.)

 인 가 존재한다.
 곱집합과 이를 이루는 각 집합 사이에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 사영 함수라고 한다.

 (보편 성질) 임의의 첨수된 함수족 에 대하여,  ()를 만족시키는 유일한 함수 가 존재한다.

 예 
대체글=|섬네일|데카르트 좌표 평면 은 실수선 과 자기 자신의 곱집합이다.




 역사 
르네 데카르트의 이름을 땄다.

 같이 보기 
 멱집합 공리
 직접곱
 관계 (수학)
 Join (SQL)
 전순서 집합
 외적
 곱 (범주론)
 곱위상

 외부 링크 






분류:집합론의 기본 개념
분류:이항연산
분류:선택 공리