초완전수

자연수 이  (단, 는 n의 양의 약수의 합)을 만족했을 때, 을 -초완전수(超完全數,hyperfect number)라 부른다. 어떤 수가 완전수인 것은 그 수가 1-초완전수인 것과 동치이다.

모든 -초완전수를 작은 순서대로 나열하면 다음과 같다.
6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (OEIS의 A034897)

여기에서 각각의 수에 해당하는  값은 다음과 같다.
1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (OEIS의 A034898)

완전수를 제외한 모든 -초완전수를 나열하면 다음과 같다.
21, 301, 325, 697, 1333, ... (OEIS의 A007592)

 초완전수의 목록 
다음 표는 값에 대한 알려진 -초완전수를 해당하는 OEIS 수열과 함께 나타내고 있다.

  OEIS 알려진 -초완전수 1  A000396  6, 28, 496, 8128, 33550336, ... 2  A007593  21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... 3   325, ... 4   1950625, 1220640625, ... 6  A028499  301, 16513, 60110701, 1977225901, ... 10   159841, ... 11   10693, ... 12  A028500  697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... 18  A028501  1333, 1909, 2469601, 893748277, ... 19   51301, ... 30   3901, 28600321, ... 31   214273, ... 35   306181, ... 40   115788961, ... 48   26977, 9560844577, ... 59   1433701, ... 60   24601, ... 66   296341, ... 75   2924101, ... 78   486877, ... 91   5199013, ... 100   10509080401, ... 108   275833, ... 126   12161963773, ... 132   96361, 130153, 495529, ... 136   156276648817, ... 138   46727970517, 51886178401, ... 140   1118457481, ... 168   250321, ... 174   7744461466717, ... 180   12211188308281, ... 190   1167773821, ... 192   163201, 137008036993, ... 198   1564317613, ... 206   626946794653, 54114833564509, ... 222   348231627849277, ... 228   391854937, 102744892633, 3710434289467, ... 252   389593, 1218260233, ... 276   72315968283289, ... 282   8898807853477, ... 296   444574821937, ... 342   542413, 26199602893, ... 348   66239465233897, ... 350   140460782701, ... 360   23911458481, ... 366   808861, ... 372   2469439417, ... 396   8432772615433, ... 402   8942902453, 813535908179653, ... 408   1238906223697, ... 414   8062678298557, ... 430   124528653669661, ... 438   6287557453, ... 480   1324790832961, ... 522   723378252872773, 106049331638192773, ... 546   211125067071829, ... 570   1345711391461, 5810517340434661, ... 660   13786783637881, ... 672   142718568339485377, ... 684   154643791177, ... 774   8695993590900027, ... 810   5646270598021, ... 814   31571188513, ... 816   31571188513, ... 820   1119337766869561, ... 968   52335185632753, ... 972   289085338292617, ... 978   60246544949557, ... 1050   64169172901, ... 1410   80293806421, ... 2772  A028502  95295817, 124035913, ... 3918   61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... 9222   404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... 9828   432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... 14280   848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... 23730   2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... 31752  A034916  4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... 55848   15166641361, 44783952721, 67623550801, ... 67782   18407557741, 18444431149, 34939858669, ... 92568   50611924273, 64781493169, 84213367729, ... 100932   50969246953, 53192980777, 82145123113, ...

 성질 
가 1보다 큰 홀수이고 가 모두 소수라면 가 -초완전수라는 것이 증명이 되어 있다. 2000년 Judson S. McCraine이 모든 1보다 큰 홀수 에 대해 모든 -초완전수가 이 꼴이라고 추측했지만 아직 증명이 되지 않았다. 서로 다른 홀수인 소수 와 가 존재하고 를 만족하는 자연수 가 있다면 는 -초완전수이다.

이고 이 소수일 때, 이 소수임을 성립시키는 모든 에 대해 가 -초완전수라는 사실도 알려졌다. 아래 테이블은 이를 만족시키는 와 의 목록을 나타내고 있다.

 OEIS 가능한 의 값 16  A034922  11, 21, 127, 149, 469, ... 22    17, 61, 445, ... 28    33, 89, 101, ... 36    67, 95, 341, ... 42  A034923  4, 6, 42, 64, 65, ... 46  A034924  5, 11, 13, 53, 115, ... 52    21, 173, ... 58    11, 117, ... 72    21, 49, ... 88  A034925  9, 41, 51, 109, 483, ... 96    6, 11, 34, ... 100  A034926  3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...

 같이 보기 
 완전수

 참고 문헌 

 논문 

 Daniel Minoli, Robert Bear, Hyperperfect Numbers, PME (Pi Mu Epsilon) Journal, University Oklahoma, Fall 1975, pp. 153-157.
 Daniel Minoli, Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers, Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem; Vol. 4, No. 2, Dec 1978, pp. 277-302.
 Daniel Minoli, Structural Issues For Hyperperfect Numbers, Fibonacci Quarterly, Feb. 1981, Vol. 19, No. 1, pp. 6-14.
 Daniel Minoli, Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers, Mathematics of Computation, Vol. 34, No. 150, April 1980, pp. 639-645.
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 Daniel Minoli, W. Nakamine, Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms, 1980 IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing.
 Judson S. McCranie, A Study of Hyperperfect Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), https://web.archive.org/web/20040405175234/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html

 책 

 Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002,  (p.114-134)

 외부 링크 
 MathWorld: 초완전수 (영문)

분류:수론
분류:정수열
분류:약수 함수