오일러-마스케로니 상수

정수론에서 오일러-마스케로니 상수(-常數, )는 조화급수를 자연 로그로 근사한 경우의 오차를 나타내는 실수이다. 줄여서 오일러 상수라고도 불리나, 자연로그의 밑에 해당하는 오일러 수 e=2.718…과는 다르다.

 정의 
오일러-마스케로니 상수 는 다음과 같은 극한으로 정의된다.

그 값은 다음과 같다. 
0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

 역사 
스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉()이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 상수를 C 또는 O로 표시했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니()도 1790년 이 수를 언급하였고, A 또는 a라는 기호를 사용하였다.

오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 감마 γ로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 감마 함수 Γ와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.

 성질 
오일러-마스케로니 상수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. 연분수 분석에 의해 만약 오일러-마스케로니 상수가 유리수라면 그 분모의 값은 적어도 10242080 이상이라는 것이 알려져 있다.

 감마 함수와의 관계 
감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

 리만 제타 함수와의 관계 
리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.

 적분식 
다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.

 알려진 자릿수 
레온하르트 오일러는 최초로 이 상수의 값을 소수점 아래 여섯자리까지 연산하였다. 1781년에 그는 소수점 아래 16자리까지 연산하였다. 이탈리아 수학자 로렌초 마스케로니는 소수점 아래 32자리까지의 연산을 시도하였지만 20-22자리와 31-32자리에 오류를 만들었다. 20번째 자릿수부터 시작하여 그는 ...1811209008239을 연산했으나 올바른 자릿수는 ...0651209008240이었다.

+ 오일러-마스케로니 상수 의 알려진 십진 자릿수 일자  십진 자릿수  발견자  비고 1734년  5  레온하르트 오일러  1735년  15  레온하르트 오일러  1781년  16  레온하르트 오일러  1790년  32  로렌초 마스케로니, 소수점 아래 20-22와 31-32 자릿수 오계산  1809년  22  요한 게오르크 폰 졸트너  1811년  22  카를 프리드리히 가우스  1812년  40  프리드리히 베른하르트 고트프리드 니콜라이  1857년  34  크리스티안 프레드릭 린드만  1861년  41  루드윅 오팅거  1867년  49  윌리엄 샹크스  1871년  99  제임스 위트브레드 리 글레이셔  1871년  101  윌리엄 샹크스  1877년  262  존 쿠치 애덤스  1952년  328  존 렌치  1961년    헬무트 피셔와 칼 롱인 젤러  1962년    도널드 커누스  1962년    듀라 W. 스위니  1973년    윌리엄 A. 베이어와 마이클 워터먼  1977년    리차드 P. 브렌트  1980년    리차드 P. 브렌트와 에드윈 맥밀런  1993년    조나단 보웨인  1999년    페르릭 데미첼과 하비에르 구르동  2009년 3월 13일    알랙산더 J. 리와 래이먼드 찬  ,  2013년 12월 22일    알랙산더 J. 리 ,  2016년 3월 15일    페터 트뤼프   2016년 5월 18일    론 왓킨스   2017년 8월 23일    론 왓킨스  2020년 5월 26일    김승민과 이언 커트리스Euler–Mascheroni constant world record by Seungmin Kim  y-cruncher by Alexander Yee

 같이 보기 
 폴리감마 함수

 각주 




 외부 링크 



분류:수학 상수
분류:실수
분류:사람 이름을 딴 낱말
분류:레온하르트 오일러
분류:수론의 미해결 문제