윌슨 정리

수론에서, 윌슨 정리()는 임의의 소수 에 대하여, 의 계승이 법 에 대하여 −1과 합동이라는 정리이다.

 정의 
윌슨 정리에 따르면, 임의의 자연수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 소수이다.

여기서 는 계승이며, 는 법 에 대한 합동이다. 두 번째 조건은 약수 관계를 사용하여

로 바꿔 쓸 수 있다. 나머지의 개념을 사용하면, 를 로 나눈 나머지가 이라고 바꿔 말할 수 있다.

윌슨 정리는 가 소수일 필요충분조건을 제시한다. 물론, 계승의 계산은 오래 걸리므로 충분조건 부분을 통해 소수를 판별하는 것은 매우 느리다.

 증명 
 필요조건의 증명 
인 경우는 자명하다. 만약 가 3 이상의 소수라면, 법 에 대한 합동류들로 구성된 가환환 는 체를 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여,

인 가 존재한다. 는 의 법 에 대한 곱셈 역원이다. 역원은 유일하며, 역원의 역원은 스스로와 같다. 따라서, 정수 들을 서로 역원인 것들끼리 짝을 지을 수 있다. 다만, 스스로의 역원인 것들은 혼자 짝을 이룬다. 스스로의 역원인 조건 은 곧 조건

와 같다. 이는 양변에서 1을 빼 얻는 조건

와 동치이다. 가 정역이므로, 이는 다시

이거나

인 것과 동치이다. 이므로, 전자는 이며, 후자는 이다. 이제 모든 의 곱을 생각하자. 1과 을 제외한 것들은 역원끼리 짝을 지어 곱하면 1과 합동이 되므로, 1과 만 남는다. 즉,

이다.

예를 들어, 인 경우

이다.

 충분조건의 증명 
이제 이 1보다 큰 양의 정수이며,

이며, 가 인 의 약수라고 가정하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
 이며 이므로 
 이므로 
즉, 는  과 의 공약수이다. 와 는 서로소이므로, 일 수밖에 없다. 즉, 는 1과 를 제외한 양의 약수를 가지지 않으며, 는 소수이다.

 따름정리 
임의의 자연수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 소수이다.


 증명 
임의의 소수 에 대하여,

이다. 역의 증명도 윌슨 정리의 증명과 유사하다.

 일반화 
 가우스의 일반화 
임의의 양의 정수 에 대하여, 다음이 성립한다 (는 소수의 집합).

윌슨 정리(의 필요조건 부분)은 이 소수인 경우이다.

 증명 
인 경우는 자명하다. 이 소수인 경우는 윌슨 정리이며, 소수의 거듭제곱인 경우의 증명은 윌슨 정리의 증명과 유사하다. 이제, 의 소인수 분해가

이며, 이며,

라고 하자. 가 서로소이므로, 임의의 에 대하여

임을 보이면 충분하다.

중국인의 나머지 정리에 따라, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다. (이는 군의 동형이며, 환의 동형 으로부터 유도되지만, 이 사실들은 이 증명에서 사용되지 않는다.)

따라서, 법 에 대한 나머지를 다음과 같이 구할 수 있다.

인 데 주의하자. 만약 이거나 이거나 이라면, 이므로,  는 짝수이며, 따라서

이다. 만약 라면 (는 홀수 소수, 는 양의 정수), 이므로

이며, 또한

이다.

 유한체 
임의의 유한체 에서, 다음이 성립한다.

윌슨 정리는 유한체의 크기가 소수 인 경우이다. (유한체의 크기는 항상 소수의 거듭제곱이다.)

 증명 
윌슨 정리의 증명과 유사하다. 의 가역원(즉, 0이 아닌 원소)들은 서로 역원인 것들끼리 짝을 지을 수 있다. 표수가 2가 아닌 경우, 은 과 동치이며, 이는 다시 과 동치이다. 따라서

이다. 표수가 2인 경우, 이므로, 은 과 동치이며, 이므로 이다. 즉,

이다.

 외부 링크 






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