약수 함수

정수론에서 약수 함수(約數函數, )는 주어진 수의 약수들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 수론적 함수다.

 정의 
양의 정수 과 복소수 에 대하여, 약수 함수 는 다음과 같다.

여기서 은 의 양의 약수들에 대한 합이다. 이 경우 1과  자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

은 로도 나타내며, 의 약수의 개수에 해당한다.

은 시그마 함수 라고 하며 의 모든 약수의 합을 나타낸다.

은 진약수의 합 이다.

 표 
낮은 지수의 약수 함수의 열은 다음과 같다.
σ0
 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, … 
σ1
 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, … 
σ2
 1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, … 
σ3
 1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, … 
σ4
 1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, … 
σ5
 1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, … 
σ6
 1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, … 
σ7
 1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, … 

 성질 
양의 정수 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 소수이다.


왜냐하면 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 
로 소인수 분해된다면,
,

이 된다. 일반적으로 인 경우,

이 성립한다.

 최대·최소 크기 
다음이 성립한다.

여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 상극한들에 대응하는 하극한들은 자명하게 0이므로, 이 상극한들은 극한이 아니다. 즉, 약수 함수의 크기는 매우 불규칙적이다.

 평균 크기 
약수 함수의 부분합은 보다 좋은 점근적 근사를 갖는다. 예를 들어, 다음과 같은 점근 공식이 있다.

이에 따라, 양의 정수 은 평균적으로 약 개의 약수를 갖는다. 이는 디리클레 쌍곡선 방법()을 사용하여 보일 수 있다. 디리클레 약수 문제(Dirichlet約數問題, )는 이 점근 공식의 오차 를 개선하는 문제다.

다음과 같은 점근 공식이 성립한다.

이에 따라, 양의 정수 의 약수의 합은 평균적으로 약 이다.

 로뱅 부등식 
다음 네 명제는 서로 동치이다.
 리만 가설
 임의의 정수 에 대하여, 로뱅 부등식(Robin不等式, ) 은 참이다.
 충분히 큰 에 대하여, 로뱅 부등식은 참이다.
 임의의  및 에 대하여, 충분히 큰 에 대하여 이다.

임의의 정수 에 대하여, 로뱅 부등식보다 약한 부등식

이 성립한다.

만약 리만 가설이 거짓이라면, 로뱅 부등식의 반례가 되는 거대 과잉수가 존재한다.

 참고 문헌 



 외부 링크 


 같이 보기 
 수론적 함수
 오일러 피 함수
 유니타리 약수


분류:수론
분류:해석적 수론
분류:제타 함수와 L-함수