최소 공배수

수론에서, 여러 개의 정수의 최소 공배수(最小公倍數, , 약자 lcm)는 그들 모두의 배수가 되는 음이 아닌 정수 가운데 가장 큰 하나이다. 정수 집합의 약수 관계에 대한 원격자에서의 상한이다. 기호는  또는 .

최소 공배수는 모든 정수에 대해서 정의된다. 일부 문헌에서는 최소 공배수의 정의를 0이 아닌 정수 또는 양의 정수 따위로 제한한다.

최소 공배수 값을 음이 아닌 정수로 정하는 것은 일종의 표준화 작업이다. 체 계수 다항식의 최소 공배수도 정의할 수 있으며, 흔히 최소 공배수 값을 (0 또는) 일계수 다항식으로 정한다. 가환환의 원소에 대해서도 정의할 수 있는데, 추가적인 데이터가 없는 한 최소 공배수 값을 표준적으로 선택하는 방법은 정해져 있지 않다.

 정의 
두 정수 의 공배수()는 의 배수이자 의 배수인 정수이다. 두 정수 의 최소 공배수 는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.
 , 의 공배수인 음이 아닌 정수 가운데 가장 작은 하나
 , 의 공배수이며, , 의 모든 공배수의 약수인 유일한 음이 아닌 정수
유한 개의 정수 의 최소 공배수 는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.
 가장 작은 음이 아닌 공배수
 공배수이며, 모든 공배수의 약수인 유일한 음이 아닌 정수
 (재귀적 정의) 
마찬가지로, 임의의 정수 집합 의 최소 공배수 를 정의할 수 있다. 일부 문헌의 경우, 0이 아닌 정수들에 대해서만 최대 공배수를 정의한다. 일부 문헌의 경우, 양의 정수에 대해서만 정의한다.

 성질 
 약수 관계와의 관계 
공배수는 최소 공배수의 배수와 동치이다.

약수 관계는 최소 공배수를 통해 다음과 같이 기술할 수 있다.

이는 격자의 순서론적 구조와 대수적 구조 사이의 관계의 특수한 경우이다.

 항등식 
임의의 정수들에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
 (멱등 법칙) 
 (교환 법칙) 
 (결합 법칙) 
 (흡수 법칙) 
 (흡수 법칙) 

 즉, 1은 격자 의 최소 원소이다.

 즉, 0은 격자 의 최대 원소이다.
 이들 항등식에 따라, 는 유계 격자를 이룬다.
 (곱에 대한 분배 법칙) 

 특히, 적어도 하나가 0이 아닌 두 정수의 최소 공배수는 최대 공약수를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 특히, 두 서로소 정수 의 최소 공배수는 다음과 같다.

 (최대 공약수에 대한 분배 법칙) 
 (최대 공약수에 대한 분배 법칙) 
 이 두 항등식에 따라, 격자 는 분배 격자이다.

 소인수 분해와의 관계 
소인수분해가 주어진 양의 정수들의 최소 공배수는 소인수의 지수의 최댓값을 취하여 얻는다. 두 정수의 경우, 소인수분해가

라면, 최소 공배수는

이다.

 계산법 
두 수 a와 b의 최소 공배수를 구하는 방법은 소인수 분해를 사용하는 방법이 있다.

두 수 192와 72의 최소 공배수를 소인수 분해를 이용하여 구하여 보자. 일단 두 수를 소인수 분해한다.

구하고 나면, 두 소인수 분해 결과의 한 소인수 중에서 지수가 가장 큰 수를 찾아 서로 곱한다. 두 결과에서 2가 여섯 번 3이 두 번 한 소인수 중에서 가장 큰 수를 찾아서 나왔다. 즉  최소 공배수가 576이라는 결론이 나온다.

 응용 
 통분 
통분은 분수끼리 더하거나 뺄 때 사용되는 기법이다. 통분 과정에서 최소공분모(=분모의 최소 공배수)를 공분모로서 사용하면, 분모의 곱을 사용하는 경우보다 더 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어,

는 최소공분모 를 사용하여 계산한 것이다.

 같이 보기 
 인수 분해

 참고 문헌 

분류:수론
분류:산수