코사인 법칙

기하학에서 코사인 법칙(cosine法則, )은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다.

 정의 
섬네일|삼각형의 세 각  및 이들이 마주하는 변 
삼각형 의 세 각 가 마주하는 변이 각각 라고 하면, 다음이 성립한다.

여기서 은 삼각 함수의 하나인 코사인이다. 이를 코사인 법칙이라고 한다.

코사인 법칙을 통해 삼각형의 두 변과 그 사잇각으로부터 제3의 변을 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변으로부터 세 각을 다음과 같이 구할 수 있다.

코사인 법칙에서 가 직각일 경우, 이므로, 다음과 같은 피타고라스의 정리를 얻는다.

 역사 
유클리드의 《원론》 2권 명제12 및 명제 13은 코사인 법칙과 동치인 명제를 서술한다.

레기오몬타누스는 1462~3년에 작성한 《삼각형에 대하여》()에서 (제1) 구면 코사인 법칙을 제시하였다. 프랑수아 비에트는 1579년 저서 《표준 수학》()에서 제2 구면 코사인 법칙을 제시하였다.

 증명 
 유클리드의 《원론》에서의 증명 
섬네일|코사인 법칙의 유클리드의 《원론》에서의 증명
그림과 같이, 를 둔각으로 하는 둔각 삼각형 의 높이선 를 긋자. 그렇다면, 는 를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, 피타고라스의 정리에 따라 다음이 성립한다.

또한, 이므로, 다음이 성립한다.

마지막 두 항을 직각 삼각형 에 대한 피타고라스의 정리를 통해 정리하면 다음을 얻는다.

이로써 유클리드의 《원론》 2권 명제12가 증명된다. 코사인의 정의에 따라

이므로, 코사인 법칙

이 가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다. 가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다.

 삼각법을 통한 증명 
섬네일|코사인 법칙의 삼각법을 통한 증명
삼각형의 세 변을 각각 높이선으로 안에서 또는 밖에서 나누면 다음을 얻는다.한국의 일부 문헌에서는 이를 제1 코사인 법칙이라고 부르며, 원래의 코사인 법칙을 제2 코사인 법칙이라고 부른다. 예시로는 다음을 참고할 수 있다. 

세 등식의 양변에 각각 를 곱하면 다음을 얻는다.

이제 첫째 등식에 둘째 등식을 더한 뒤 셋째 등식을 빼면 다음을 얻는다.

이로써 코사인 법칙이 증명된다.

 벡터와 스칼라곱을 사용한 증명 
다음과 같은 세 벡터를 정의하자.

그렇다면, 벡터 의 길이는 각각 이며, 벡터 와  사이의 각도는 이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.

 비유클리드 기하학의 경우 
 구면 코사인 법칙 
섬네일|구면 삼각형의 세 각 와 이들이 마주하는 세 변 
단위 구면 위의 구면 삼각형 의 세 각 가 마주하는 세 변이 각각 라고 하면, 다음이 성립한다.

여기서 은 각각 코사인, 사인이다. 이를 (제1) 구면 코사인 법칙(第一球面cosine法則, )이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다.

이를 제2 구면 코사인 법칙(第二球面cosine法則, )이라고 한다.

이 둘은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.

 제1 구면 코사인 법칙의 증명 (법벡터 사용) 
다음과 같은 벡터들을 정의하자.

즉, 는 각각 에서 를 향하는 구면의 단위 접벡터이다. 그렇다면,  사이의 각도는 이다. 또한, 는 각각 평면 의 정규 직교 기저를 이루므로, 를 각각 다음과 같이 분해할 수 있다.

따라서, 다음이 성립한다.

 제1 구면 코사인 법칙의 증명 (비네-코시 항등식 사용) 
단위 구면의 중심을 라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자.

그렇다면, 의 길이는 모두 1이며,  사이의 각도는 이며,  사이의 각도는 이며,  사이의 각도는 이다. 따라서, 벡터곱 , , 의 길이는 각각 , , 이다. 또한, 와  사이의 각도는 이며, 와  사이의 각도는 이며, 와  사이의 각도는 이다. 이제, 비네-코시 항등식에 따라 다음이 성립함에 주의하자.

여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다.

이로써 제1 구면 코사인 법칙이 증명된다.

 제2 구면 코사인 법칙의 증명 
구면 삼각형 의 극삼각형을 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

따라서 제1 구면 코사인 법칙을 극삼각형 에 적용하면, 구면 삼각형 에 대한 제2 구면 코사인 법칙을 얻는다.

 쌍곡 코사인 법칙 
가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 세 각 이 마주하는 변이 각각 라고 하면, 다음이 성립한다.

여기서 는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 (제1) 쌍곡 코사인 법칙((第一)雙曲cosine法則, )이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.

이를 제2 쌍곡 코사인 법칙(第二雙曲cosine法則, )이라고 한다.

이 두 법칙은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

특히, 가 직각일 경우의 제1 쌍곡 코사인 법칙은 쌍곡 피타고라스 정리가 된다.

 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명 
복소 평면  위의 열린 단위 원판  위에서 푸앵카레 원판 모형을 취하자. 쌍곡 삼각형 의 세 각의 크기를 , 세 변의 길이를 라고 하자.  위에 적절한 등거리 변환을 가하여 을 각각 원점 0, 양의 실수 , 허수부 가 0보다 큰 복소수 로 옮길 수 있다. 등거리 변환의 성질에 따라 새로운 삼각형 의 세 변 및 세 각은 원래의 삼각형 와 같으므로, 새로운 삼각형 에 대하여 증명하는 것으로 족하다. 쌍곡 거리의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다.

여기서 은 자연 로그이며, 은 복소수의 절댓값이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다.

여기서 는 쌍곡 탄젠트이다. 쌍곡선 함수의 항등식을 사용한 뒤 위의 결과를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

넷째 등호에서 분자 부분은 평면 삼각형 에 대한 평면 코사인 법칙에 따르며, 분모 부분은 절댓값이 실수부와 허수부의 제곱합임에 따라 계산할 수 있다. 이제, 여기에 다음을 대입하면 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명이 완성된다.

 제2 쌍곡 코사인 법칙의 증명 
쌍곡 사인 법칙에 나오는 비율의 구체적인 값은 다음과 같다.

이에 따라 각 의 사인 값은 다음과 같다.

또한, 제1 쌍곡 코사인 법칙에 따라 의 코사인 값은 다음과 같다.

따라서, 다음이 성립한다.

마지막 등호에는 항등식 이 사용되었다. 이로써 제2 쌍곡 코사인 법칙이 증명된다.

 평면 코사인 법칙과의 관계 
평면 코사인 법칙은 제1 구면 및 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 예를 들어, 평면 코사인 법칙이 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한임을 다음과 같이 보일 수 있다. 푸앵카레 원판의 반지름이 일 경우, 제1 쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같이 된다.

이 경우, 일 때 쌍곡 거리 는 유클리드 거리의 2배 로 수렴하며, 쌍곡각 은 유클리드 각 로 수렴한다. 테일러 정리에 따라 다음이 성립한다.

이를 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.

다음에 주의하여, 양변에 을 곱한 뒤 극한 을 취하고 다시 양변에 4를 나누자.

그러면 평면 코사인 법칙을 얻는다.

제2 쌍곡 코사인 법칙

에 극한 을 취하면 다음과 같은 자명한 항등식이 된다.

이는 이므로 자명하다. 따라서 유클리드 기하학에는 제2 코사인 법칙이 존재하지 않는다.

 같이 보기 

 사인 법칙
 탄젠트 법칙
 코탄젠트 법칙
 삼각함수

 각주 

 외부 링크 


분류:삼각법
분류:삼각형에 대한 정리