지수 함수

지수 함수(指數函數, )란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

 정의 
 거듭제곱을 통한 정의 
지수 함수는 거듭제곱을 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 거듭제곱 를 다음과 같이 정의하자.
 가 음이 아닌 정수일 때,

 가 음의 정수일 때,

 가 유리수이며, 과 이 서로소이며, 일 때,

 가 실수이며, 일 때,

이제 지수 함수를 정의하자. 1이 아닌 양의 실수

를 밑으로 하는 지수 함수 는 다음과 같다.

여기서 우변은 밑이 , 지수가 인 거듭제곱이다. 즉, 지수 함수는 밑이 고정된 채 변화하는 지수에 대한 거듭제곱을 구하는 함수이다.

함수

는 자연로그의 밑

을 밑으로 하는 지수 함수

를 나타낸다. 지수 함수는 흔히 이 특수한 지수 함수만을 일컫는다. 또한, 이를 사용하여 일반적인 밑의 지수 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 은 자연로그이다. 물론, 다른 특수한 밑부터 시작하여 일반적인 지수 함수에 이를 수도 있다. 하지만 다른 밑에 대한 지수 함수의 직접적인 정의는 상대적으로 더 복잡하다.

 극한을 통한 정의 
지수 함수 는 다음과 같다.

우변은 수열의 극한이다. 수열

은 유계 수열이며, 인 경우 순증가, 인 경우 순감소한다. 이는 보통 이항 정리를 사용하여 증명하며, 산술-기하 부등식을 통한 증명도 존재한다. 단조 수렴 정리에 따라, 이 수열은 수렴한다.

일반적인 밑

에 대한 지수 함수는 다음과 같다.

특히,

이다.

 멱급수를 통한 정의 
지수 함수 는 다음과 같다.

우변은 지수 함수의 테일러 급수이다. 이 급수가 모든 에 대하여 수렴함은 이를테면 비 판정법 또는 코시-아다마르 정리를 사용하여 보일 수 있다. 다른 정의를 사용하는 경우, 우변의 멱급수가 테일러 급수임은 이를테면 라그랑주 나머지 항에 대한 테일러 정리를 사용하여 보일 수 있다.

일반적인 밑

에 대한 지수 함수는 다음과 같다.

특히,

이다.

 로그 함수의 역함수로서의 정의 
로그 함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수 함수를 로그 함수의 역함수로 정의할 수 있다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.

이때 는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

즉, 이다. 또한,  이므로, 이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

로 놓으면
이므로 로그의 성질에 의하여 
따라서 가 성립한다.

로그함수 는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 를 만족하는 해 가 존재하며, 단사함수이므로 실수 는 단 한개만 존재한다. 방정식 의 해를 라 하자.

이제 로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 가 자연수일 때 임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를  로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 에 대하여 임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.
1에 대하여 성립

에 대하여 성립한다는 가정 아래, 에 대하여 성립

양변에 a를 곱하면

위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.

따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 에 대하여 로 정의된 는 a를 x번 곱한 것과 같다.

 성질 
지수 함수의 정의역은 실수 전체이다. 지수 함수의 치역은 양의 실수의 집합 이다.

 단조성 
지수 함수는 단조함수이다. 만약 이라면, 지수 함수 는 증가함수이다. 만약 이라면, 지수 함수 는 감소함수이다.

 극한 
일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.

일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.

따라서, 지수 함수는 축을 점근선으로 갖는다.

지수 함수의 유한한 점에서의 극한은 함수의 값과 같다. 즉, 지수 함수는 연속 함수이다.

 미분 
밑이 자연로그의 밑인 지수 함수 의 도함수는 스스로와 같다.

이므로, 일반적인 지수 함수의 도함수는

가 된다.

연쇄 법칙에 따라,

 양변에 로그를 취하면 다음을 얻는다.

양변을 에 대하여 미분하면 다음을 얻는다.

정리하면 다음과 같다.

지수 함수 는 미분 방정식

의 유일한 해이다. 이는 지수 함수의 정의로 삼을 수 있다.

 체론적 성질 
다음과 같은 유리수 계수 다항식을 생각하자.

즉, 이는 지수 함수 의 테일러 급수의 부분합이다. 이 다항식은 유리수 계수 다항식이며, 인 경우 기약 다항식이다. 또한, 이 다항식의 분해체의 갈루아 군은 다음과 같다.

 같이 보기 
 자연로그의 밑
 행렬 지수 함수
 지수열

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:함수와 사상
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