정수

수학에서 정수(整數, , integer)는 양의 정수(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  ... , n), 음의 정수(-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8...) 및 0으로 이루어진 수의 체계이다. 또는 자연수, 자연수의 음수 및 영을 통칭하는 말이다. 수론의 가장 기본적인 연구 대상이다. 정수 전체의 집합의 기호는 이다.

 정의 
정수 체계는 (0을 포함하는) 자연수 체계 으로부터 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합  위에 다음과 같은 조건을 만족시키는 최소 동치 관계를 주자.

이 동치 관계에 대한 몫집합을 정수 집합 라고 정의하자. 그 위에 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의한다.

그렇다면 정수의 집합 는 환을 이루며, 이를 정수환(整數環, )이라고 한다. 이러한 구성은 소거 가환 모노이드를 아벨 군으로 확장하는 그로텐디크 군 구성의 한 예다.

 성질 
 대수적 성질 
자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.

덧셈  곱셈 닫힘  a + b  은 정수  a × b  은 정수 결합법칙  a + (b + c)  =  (a + b) + c  a × (b × c)  =  (a × b) × c 교환법칙  a + b  =  b + a  a × b  =  b × a 항등원  a + 0  =  a  a × 1  =  a 역원  a + (−a)  =  0 -------- 분배법칙    (a × b) + (a × c)=a × (b + c)  

 관련 개념 
유리수와 정수의 관계는 대수적 수와 대수적 정수의 관계까지 일반화될 수 있다.

 같이 보기 
 수학
 음수
 양수
 유리수

 외부 링크 





분류:초등 수학
분류:아벨 군론
분류:환론

분류:대수적 수론
분류:수 체계