동치 관계

수학에서 동치 관계(同値關係, )는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.

 정의 
 동치 관계 
집합  위의 동치 관계는 다음 세 조건을 만족시키는,  위의 이항 관계 이다.
 (반사 관계) 임의의 에 대하여, 
 (대칭 관계) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 
 (추이적 관계) 임의의 에 대하여, 만약 이고 라면 

 동치류와 몫집합 
집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 에 대한 동치류(同値類, ) 는 와 동치인 원소들을 모은 집합이다.

집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 의 에 대한 몫집합(-集合, ) 은 모든 동치류들을 모은 집합이다.

 모임의 경우 
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다.

모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임  위의 동치 관계는 곱모임 의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, 을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.

모임  위에 동치 관계 가 주어졌다고 하자. 원소 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

즉, 는 와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 라고 할 때, 는 집합 의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임

을 정의할 수 있다.

 성질 
집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다.

즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다.

 집합의 분할과의 관계 
집합 가 주어졌을 때,  위의 동치 관계들과 의 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 몫집합 은 집합의 분할이다. 즉, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 의 분할 가 주어졌다고 하자 (즉, 는 의 부분 집합들의 집합이며, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 의 원소에 속한다).  위에 다음과 같은 이항 관계 를 정의하자.

그렇다면 는  위의 동치 관계이다. 과 는 서로 역함수이다. 즉,

이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.

 순서론적 성질 
집합 가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 에 대하여, 를 포함하는 최소의 동치 관계 가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

 다음 조건을 만족시키는 열 가 존재한다.


 에 대하여, 이거나 

집합  위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 는 완비 격자이다. 의 최소 원소는 (로 국한된) 등호 이며, 최대 원소는 전체 관계 이다. 동치 관계들의 집합 의 만남 는 교집합

이다. 의 이음 은 합집합 을 포함하는 최소의 동치 관계

이다.

동치 관계 격자 는 항상 대수적 격자()이자 반모듈러 격자()이다. 유한 집합 의 경우, 는 단순 격자(, 합동 관계가 자명한 격자)이다.

 예 
임의의 집합  위에서, 등호 는 동치 관계를 이룬다.

평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다.

임의의 함수 에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계

는 정의역  위의 동치 관계이다. 이를테면, 가 어떤 사람들의 집합이며, 가 사람의 생일을 찾는 함수라면, 는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다.

 반례 
 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계 
임의의 집합  위에서, 공관계

는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다.

 대칭 관계가 아닌 반사 추이적 관계 
정수의 집합  위의 표준적인 순서

를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, 이지만, 이다.

 추이적 관계가 아닌 반사 대칭 관계 
정수 집합  위의 이항 관계

는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.

 같이 보기 
 집합의 분할

 각주 

 외부 링크 







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