체비쇼프 다항식

수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, )은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.

 정의 
(실수 차 일계수 다항식의 집합을 로 적자.)

실수 차 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 차 체비쇼프 다항식이라고 한다.
 (재귀적 정의) 이며, 이며, 이다.
 (삼각 함수 정의) 항등식 가 성립한다.
 은 에서 서로 다른 개 실근을 가지며, 에서 절댓값이 서로 같은 개 극값을 갖는다.
 (최소 상한 노름)
드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 가 의 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 와 의 다항식이다.

 성질 
 직교성 
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다.

즉, 다음이 성립한다.

 대칭 
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

 근 
차 체비쇼프 다항식 은 닫힌구간  속에서 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

 분지점 
체비쇼프 다항식을 복소수 함수

로 여길 때, 의 경우 다음이 성립한다.
 분지점에서의 값들은 모두  또는 이다.
 값이 인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
 의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)
예를 들어,

의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 를 가지며, 그 값은  및 이다. 마찬가지로,

의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점  및 분지 지표 3의 분지점 를 가지며, 그 값은 각각  및 이다.

이에 따라, 는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.
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 예 
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. 

 역사 
파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 () 또는 독일어 표기 ()에서 딴 것이다.

 같이 보기 
 르장드르 다항식
 라게르 다항식
 에르미트 다항식

 각주 

 외부 링크 









분류:직교 다항식
분류:특수 초기하함수
분류:근사 이론