뫼비우스 반전 공식

수론에서, 뫼비우스 반전 공식(Möbius反轉公式, )은 수론적 함수의 약수에 대한 합으로부터 원래 함수를 되찾는 공식이다.

 정의 
양의 정수의 집합 을 정의역으로 하고 아벨 군 을 공역으로 하는 임의의 두 함수

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

여기서 두 등식의 우변의 합은 의 양의 약수 에 대한 합이며, 는 뫼비우스 함수이다.

두 조건에서 에 대한 전칭은 필수적이다. 즉, 어떤 에 대하여 첫째 등식이 성립한다고 하여 그 에 대하여 둘째 등식이 성립하지는 않으며, 그 역도 마찬가지다.

뫼비우스 반전 공식에서 사용되는 아벨 군 의 군 연산은 덧셈이거나 ( 등) 곱셈일 수 있다 (,  등). 곱셈으로 쓴 뫼비우스 반전 공식의 두 조건은 다음과 같다.

인 경우, 두 함수가 곱셈적 함수인지 여부는 서로 동치이다. 즉, 만약 가 곱셈적 함수라면 그 상  역시 곱셈적 함수이며, 반대로 만약 가 곱셈적이라면 그 원상  역시 곱셈적이다.

 디리클레 합성곱과의 관계 
함수 들의 점별 덧셈 아벨 군은 디리클레 합성곱

에 따라 가환환을 이룬다. 이 환의 곱셈 항등원은 함수

이다. 상수 함수

은 이 가환환의 가역원이며, 그 역원은 뫼비우스 함수이다.

즉, 임의의 에 대하여

이다.

임의의 아벨 군 이 주어졌을 때, 함수 들의 점별 덧셈 아벨 군 위에 위 가환환에 대한 가군 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.

특히, 가환환의 연산과 가군의 연산은 다음과 같이 호환된다.

이제, 뫼비우스 반전 공식의 두 조건은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.

이 두 조건이 동치라는 사실은 위 논의로부터 자명하다.

 일반화 
 구간 위의 함수 
아벨 군 이 주어졌을 때, 임의의 두 함수

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

여기서 우변의 합은 모든 양의 정수 에 대한 합이다.

뫼비우스 반전 공식은 이에 대한 특수한 경우이다. 구체적으로, 두 함수가 양의 정수가 아닌 곳에서 0인 경우를 생각하라.

 부분 순서 집합 위의 함수 

아벨 군 과 부분 순서 집합 이 주어졌다고 하자. 또한, 임의의 에 대하여 가 유한 집합이라고 하자 (특히, 는 국소 유한 부분 순서 집합이다). 그렇다면, 임의의 두 함수

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

여기서 는 근접 대수 에서 값 1 상수 함수 의 역원이다.

뫼비우스 반전 공식은 이에 대한 특수한 경우이다. 구체적으로, 양의 정수와 약수 관계의 부분 순서 집합

을 생각하라. (모든 양의 정수의 약수의 개수는 유한하다.) 이 경우

이다.

구간 위의 함수에 대한 뫼비우스 반전 공식 역시 이에 대한 특수한 경우이다. 구체적으로, 다음과 같은 부분 순서 집합

을 생각하라. 이 경우

이다.

 예 
수론적 함수의 뫼비우스 반전의 몇 가지 예는 다음과 같다.
    1  약수 함수    약수 함수  오일러 피 함수    뫼비우스 함수   크로네커 델타     폰 망골트 함수   자연로그    방정식 의 정수해의 개수의 1/4

 역사 
19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다.

 같이 보기 
 페어리 수열
 포함배제의 원리

 참고 문헌 

 외부 링크 







분류:수론적 함수
분류:열거조합론
분류:수론 정리