거리 공간

수학에서 거리 공간(距離空間, )은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다.

 정의 
집합  위의 거리 함수(距離函數, )는 다음 조건을 만족시키는 함수

이다.
 (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 에 대하여, 
 (대칭성) 임의의 에 대하여, 
 (삼각 부등식, ) 임의의 에 대하여, 
마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.
 (삼각 부등식) 
여기서 로 잡으면 가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을 로 약화시키면 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

거리 공간 은 거리 함수가 주어진 집합이다.

 거리 공간의 특별한 집합 

거리 공간 에서, 점 를 중심으로 하는, 반지름이 인 열린 공 는 다음과 같다.(저자에 따라서는 로 적기도 한다.)

점 를 중심으로 하는, 반지름이 인 닫힌 공 는 다음과 같다.

거리 공간 의 유계 집합 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.
 인 점 가 존재한다.

 거리 위상 
거리 공간 의 거리 위상(距離位相, )은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 이다.
모든 에 대하여, 인 가 존재한다.
거리 위상은 거리 함수 를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합 의 시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다.

 완비 거리 공간 

모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다.

 지름 
거리 공간 의 지름() 는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

마찬가지로, 거리 공간의 부분 공간은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 거리 공간을 유계 공간이라고 한다.

 성질 
거리 공간 의 임의의 부분 집합 에 대하여, 는 거리 공간을 이룬다.

 위상수학적 성질 

모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
 하우스도르프 공간이다.
 파라콤팩트 공간이다.
 T6 공간이다.
 제1 가산 공간이다.
거리 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 분해 가능 공간이다.
 는 제2 가산 공간이다.
 는 린델뢰프 공간이다.

 예 
 실수 에서, 거리가 절댓값을 이용하여, 로 정의되었을 때, 는 완비 거리 공간이다.
 유리수의 집합 은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다.
 유클리드 공간에서, 에서, 거리를 로 정의하면, 는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.
 에서 을 거리로 정의하면, 는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.

노름 공간 에 대하여, 거리 함수를

로 정의한다면, 는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간 에 대하여 거리 함수를

로 정의한다면, 는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 우체국 거리()라고 한다.

임의의 연결 리만 다양체 에 대하여, 거리 함수를

로 정의한다면, 는 거리 공간이다.

임의의 집합  및 양의 실수 에 대하여,

는 초거리 함수를 이룬다. 이를 이산 거리 함수라고 한다.

임의의 연결 그래프 에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.

 참고 문헌 




 같이 보기 
 등거리변환
 리만 계량, 리만 다양체
 거리화 가능 공간
 초거리 공간
 길이 거리 공간

 외부 링크 






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