ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿ

ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಚರದ (ವೇರಿಯೆಬಲ್) ಆರೋಹೀ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer) ಘಾತಗಳು (powers) ಪದಗಳಾಗಿರುವ (ಟರ್ಮ್ಸ್) ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ (ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್).Britannica, The Editors of Encyclopaedia. "power series". Encyclopedia Britannica, 23 Dec. 2024, https://www.britannica.com/science/power-series. Accessed 2 January 2025.Power series. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Power_series&oldid=54239"Power Series." McGraw-Hill Dictionary of Scientific & Technical Terms, 6E. 2003. The McGraw-Hill Companies, Inc. 2 Jan. 2025 https://encyclopedia2.thefreedictionary.com/Power+Series ಇದರ ರೂಪ ಹೀಗಿದೆ:

a0 + a1x + a2x2 + ……….. + anxn + ……..

ಇಲ್ಲಿ a ಗಳು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೂ, x ಚರ. ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿಯ ರೂಪ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಯೂ ಇರಬಹುದು:

a0 + a1(x - α) + a2(x - α)2 + ……….. + an(x - α)n + …….. (1)

 ಪ್ರಮೇಯ 
ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿ (1) x ನ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ – ಅದು x2 ಆಗಿರಲಿ. ಇಲ್ಲಿ x2 ≠ a – ಅಭಿಸರಿಸುವುದಾದರೆ (ಕನ್ವರ್ಜಸ್) ಮತ್ತು R = |x2 – α1|

ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ |x1 – α| < R ಆಗಿರುವಂಥ, α ಕೇಂದ್ರ (center) ಮತ್ತು R ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತ (disc of convergence) C ಯ ಒಳಗಿರುವ ಎಲ್ಲ x1 ಕ್ಕೂ ಘಾತಶ್ರೇಣಿ (1) ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಅದೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ಅವಶ್ಯವಾಗಿಯೂ C ಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಕ (ಅನಲಿಟಿಕ್) ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿ (1), α ವನ್ನು ಕುರಿತು ಇದರ, ಟೇಲರನ ಶ್ರೇಣಿ ಆಗಿರಬೇಕು. (ಇಲ್ಲಿ C, ಕೇಂದ್ರ α ದಲ್ಲಿರುವ ಹಾಗೂ ತ್ರಿಜ್ಯ R ಇರುವ, ಒಂದು ವೃತ್ತ). C ಯ ಒಳಗೆ ಶ್ರೇಣಿ (1)ನ್ನು ಪದವಾರು ಅವಕಲಿಸಬಹುದು (ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಟ್) ಅಥವಾ ಅನುಕಲಿಸಬಹುದು (ಇಂಟೆಗ್ರೇಟ್). ಅಂದರೆ

f(x) = a0 + a1(x - α) + a2(x - α)2 + a3(x - α)3 + …… …..(1)

ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ

f'(x) = a1 + 2a2(x - α) + 3a3(x - α)2 +…….. ….. (2)

ಮತ್ತು

 …. (3)

(3) ರಲ್ಲಿ ಅನುಕಲನಾಂಕವನ್ನು (ಇಂಟೆಗ್ರಲ್)

 …… (4)

ಎಂಬುದರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ F(x) ಎಂಬುದು C ಯ ಒಳಗಿನ ಎಲ್ಲ x ಗಳಿಗೂ  …… (5)

ಆಗಿರುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ. ಒಂದು ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅವಶ್ಯವಾಗಿಯೂ ಅದರ ಮೊತ್ತ ಉತ್ಪನ್ನದ (ಸಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಟೇಲರನ ಶ್ರೇಣಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಮುಂದಿನ ಪ್ರರೂಪದ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

a0 + a1(x - α) + a2(x - α)2 + ……… = b0 + b1(x - α) + b2(x - α)2 + …….. ….. (6)

ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2 ……… ….(7)

ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ α ಮತ್ತು x ಗಳನ್ನು ನೈಜಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ (real values) ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದಾಗ (6) ನಿಜವೆಂದು ಗೊತ್ತಿದ್ದರೆ ಆಗ ತೀರ್ಮಾನ (7) ಸಾಧುವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊತ್ತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಗಳು ಗೊತ್ತಿರುವಾಗ, ಒಂದು ದತ್ತ ಘಾತ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಹಲವಾರು ವೇಳೆ ಸಾಧ್ಯವೃತ್ತ C ಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲವೇ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯ x2 ನ್ನು ಶೋಧಿಸುವುದು ಶಕ್ಯವಾದರೆ ಆಗ ಈ ಮೊದಲು ನಿರೂಪಿಸಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

 ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 



 Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ