ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿ

ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿ ಎನ್ನುವುದು Nx2+1 = y2 (N ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (6-7ನೆಯ ಶತಮಾನ) ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಭಾಸ್ಕರ (12ನೆಯ ಶತಮಾನ) ತಮ್ಮ ತಮ್ಮ ಕಾಲಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಡಯೊಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ-ಭಾಸ್ಕರ ಸಮೀಕರಣವೆಂಬ ಹೆಸರು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಜಾನ್ ಪೆಲ್ (1610-85) ಎಂಬಾತ ಇದೇ ರೂಪದ x2-Dy2 = 1 (ಇಲ್ಲಿ D ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive non-square integer)) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ರಾಷ್ಟ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿ ಅಥವಾ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ-ಭಾಸ್ಕರ ಸಮೀಕರಣ ಪೆಲ್ಲಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣವೆಂದೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

 ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಪರಿಹಾರ 
ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿಗೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಪರಿಹಾರ ಪಡೆದ ಬಗೆ ಬಲು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಂದರ. ಮೊದಲು ಅದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು
 Nα2 + κ = β2                            Nα'2 + κ = β'2
ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಆಗ αβ'+α'β ಮತ್ತು ββ'+Nαα' ಎಂಬವು Nx2+κκ' = y2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನ ಉಪಪ್ರಮೇಯ (ಲೆಮ್ಮ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರಲ್ಲಿ α=α' ಮತ್ತು β=β' ಎಂದು ಆದೇಶಿದಾಗ 2αβ, β2+Nα2 ಎಂಬವು Nx2+1 = y2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗುತ್ತವೆ. κ=±1 ಮತ್ತು κ=±2 ಆದಾಗ ಇವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. K=4 ಆದಾಗ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ  ಎಂಬವನ್ನೂ,  ಎಂಬವನ್ನೂ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲನೆಯ ಜೊತೆ, α,β ಎರಡೂ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದಾಗ, ಅಂತೆಯೇ ಎರಡನೆಯ ಜೊತೆ b ವಿಷಮಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತವೆ.

ಉದಾರಣೆಗೆ κ=-4 ಆದಾಗ  ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಇಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು 628ರಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತವಿದ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ ಸಾಧಿಸಿದುದು ಅಂದಿನ ಗಣಿತ ಚಿಂತನೆಯ ಹಿರಿಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂಚ್ಯಂಕ. ಮುಂದೆ ಭಾಸ್ಕರ 1150 ರಲ್ಲಿ ಈ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಉತ್ತಮೀಕರಿಸಿದ. ವರ್ಗಪ್ರಕೃತಿಯ ಪೂರ್ಣಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜ್ (1776-1813) 1766 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ.

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

 ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 



 Pell equation solver (n has no upper limit)
 Pell equation solver (n < 1010, can also return the solution to x2 − ny2 = ±1, ±2, ±3, and ±4)

ವರ್ಗ:ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ