ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ

ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ವಿಭಾಗದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳನ್ನು (ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್) ಬದಲಾಯಿಸಿಯೊ ಇಲ್ಲವೆ ತೊರೆದೊ ನಿರೂಪಿತವಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವೇ ಅಯೂಕ್ಲೀಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ (ನಾನ್‌ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿಟ್ರಿ). ಇದನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯುವುದಿದೆ.

 ಇತಿಹಾಸ 
ಆದ್ಯುಕಿಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿತವಾಗಿ ತಾನು ಸಾಧಿಸಿರುವುದಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಭಾವಿಸಿದ್ದ. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪ್ರಯತ್ನದ ಫಲವಾದ ಸುಲಭಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾದವಶಾತ್ ಕೆಲವು ಲೋಪದೋಷಗಳು ನುಸುಳಿಕೊಂಡು ಬಂದಿರುವುದೇನು ಆಶ್ಚರ್ಯದ ಸಂಗತಿಯಲ್ಲ. ಇವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಕಾಲಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಮಂದಿ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದರು. ಇವರಲ್ಲಿ ಅಗ್ರಗಣ್ಯನಾದ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಎಂಬಾತ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಲೋಪದೋಷರಹಿತವಾದ ಭದ್ರ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಇದನ್ನು ತನ್ನ `ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಡಿಪಾಯಗಳು' (ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಜೊಮೆಟ್ರಿ) ಎಂಬ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ.

ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಮಹಾಕೃತಿಯನ್ನು ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ವಿಮರ್ಶಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹಿಂದೆ, ಎಂದರೆ 1200-1800 ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರ ಗಮನ ಯೂಕ್ಲಿಡನ 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತದ ಕಡೆಗೆ ಸೆಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿತ್ತು. ಅದರ ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ: ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮೂರನೆಯ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಸಂಧಿಸಿದಾಗ ಅದರ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಎರಡು ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ (straight angle) ಕಡಿಮೆ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಈ ಒಳಕೋನಗಳಿರುವ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿಯೇ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನ ಕಡೆಗಾದರೂ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು, ಎಂದು ಹೇಳುವ 1ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತದೊಂದಿಗೋ ಎಲ್ಲ ಲಂಬಕೋನಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮ ಎನ್ನುವ 4ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತದೊಂದಿಗೋ ಹೋಲಿಸಿದರೆ 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹಿತ ಇವುಗಳಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಆಗಿನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳು ಭೌತ ಪ್ರಪಂಚದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸತ್ಯಗಳೆಂದೂ, ಅವು ಬಲು ಸರಳವೂ, ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸುಲಭ ಶೀಘ್ರಗ್ರಾಹ್ಯವಾಗಿರಬೇಕೆಂದೂ ಭಾವಿಸಿದ್ದರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಲಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದಂತೆ ಕಂಡುಬಂದ 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತವನ್ನು ಉಳಿದವುಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸಾಧಿಸಲು ಅನೇಕರು ಮುಂದೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ವಿಫಲರಾದರು.

ಜಾನ್ ಪ್ಲೇಫೇರ್ (1748-1819) ಎಂಬಾತ ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಇನ್ನೊಂದು ವಾಕ್ಯವನ್ನು 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ. ಇದು, ದತ್ತ ಸರಳರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ದತ್ತ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಏಕೈಕವಾದ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಉಂಟು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನೂ ಉಳಿದ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲಾಧಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿನ 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತ ಒಂದು ಕಳಂಕ ಇಲ್ಲವೆ ಒಂದು ತೊಡಕು ಎಂಬುದಾಗಿಯೇ ಕಂಡುಬಂತು. ಪ್ಲೇಫೇರನ ಉಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬರುವ m ರೇಖೆ l ನ್ನು ಎಷ್ಟು ದೂರ ವೃದ್ಧಿಸಿದರೂ ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ನಿರೂಪಣೆಯಿಂದ ಅನಂತದೂರದಲ್ಲಿಯೂ ಅವು ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದಂತಾಯಿತು. ಆದರೆ ಅನಂತದೂರವು ಅನುಭವದ ಅವಗಾಹನೆಗೆ ದೊರೆಯುವಂತಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಲಿ ಏನಾಗುವುದೆಂದು ಹೇಳುವುದು ತಾನೆ ಹೇಗೆ? ಹೀಗಾಗಿ, ಹದಿನೆಂಟನೆಯ ಶತಮಾನದ ವೇಳೆಗೆ ಕೆಲವರು ಅನ್ಯಮಾರ್ಗವನ್ನೇ ಹಿಡಿದರು. ಈ ಸಮಾಂತರ ಅಭಿಗೃಹೀತವನ್ನು (ಪ್ಯಾರಲಲ್ ಪ್ಯಾಶ್ಚುಲೇಟ್) ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಉಳಿದ ಮೂಲಾಧಾರ ಹಾಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸಾಧಿಸಬಹುದೇನೋ ಎಂದು ಅವರು ಯೋಚಿಸಿದರು.

ಈ ಅಭಿಗೃಹೀತಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅದನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವಂತೆ ದತ್ತರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಿಸದಂತೆ ಅದರ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ದತ್ತಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಉಂಟು ಎಂದೂ ಅಂಥ ರೇಖೆ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಗಮನದಿಂದ ಅಸಾಮಂಜಸ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಇವೆರಡೂ ಅಸಂಬದ್ಧವೆಂದು ವರ್ಜಿಸಿ ತನ್ಮೂಲಕ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅಭಿಗೃಹೀತ ಅನಿವಾರ್ಯವೆಂದು ತೋರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ನಡೆದುವು.

ಇಂಥವರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಗೆರೊಲಾಮೋ ಸಚ್ಚೇರಿ (1667-1733) ಯೂಕ್ಲಿಡನ 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ದತ್ತಬಿಂದು P ಯಿಂದ l ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲವೆಂದೂ, ಇನ್ನೊಂದು ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಅಂಥ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತವೆಂದೂ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಂಡು ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಗಮನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ, ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಗೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸತೊಡಗಿದ. ಆದರೆ ಸಚ್ಚೇರಿಯ ಉದ್ದೇಶವೇ ಬೇರೆ ಇತ್ತು. ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಗಮನದಿಂದ ದೊರೆತ ಫಲಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಏಳಬಹುದೆಂದೂ ಅದರಿಂದಾಗಿ ತಾನು ಊಹಾಪೋಹವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಅಸಹಜವೆಂದೂ ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ ತನ್ಮೂಲಕ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಐದನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿಕೊಟ್ಟಂತಾಗುವುದೆಂದು ಆಶಿಸಿದ್ದ ಸಚ್ಚೇರಿಗೆ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಯಾವ ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವೂ ದೊರೆಯಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಬಲು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿ ಕಾಣುವಂಥ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಚ್ಚೇರಿ ಸಾಧಿಸಿದ. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹೆಗಳಿಂದ ಸಿದ್ಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವೈಚಿತ್ರ್ಯದ ದೆಸೆಯಿಂದ ಭ್ರಮೆಗೊಂಡ ಈತ ಕೊನೆ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಬಿಗಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಡಿಲಿಸಿ, ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಉಂಟಾದುವೆಂದೂ ಹೇಳಿ ತನ್ಮೂಲಕ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಮಾಂತರ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದನೆಂದೂ ಭ್ರಾಂತಿಗೊಂಡ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈತ ಸಾಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಯೂಕ್ಲೀಡಿಯ ಜಾಮಿತಿಯ ಮೂಲರೂಪ ಆಗಿತ್ತು.

ಇದು ಮೊದಲಿಗೆ ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಹೊಳೆದಿರಲಿಲ್ಲ. ಇದಾದ ಬಳಿಕ ಇದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ನಡೆಸಿ ಶ್ರಮಿಸಿದವರ ಪೈಕಿ ಯೋಹಾನ್ ಹೈನ್ರಿಕ್ ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ (1728-77) ಮತ್ತು ಆಡ್ರಿಯನ್ ಮೇರಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ (1752-1831) ಇವರು ಪ್ರಮುಖರು. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಮಾಂತರ ಅಭಿಗೃಹೀತ ಎಂದರೆ ದತ್ತ ಸರಳರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲಿಲ್ಲದ ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದಲೂ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ತತ್ತ್ವವೂ, ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳಾದ ಅನೇಕ ಸಮಾಂತರಗಳಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಒಂದೂ ಸಮಾಂತರವಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎನ್ನುವ ಅನೇಕ ತತ್ತ್ವಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಒಂದು ಉಳಿದ ಎರಡರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಿಷಯ ಮನದಟ್ಟಾದರೂ ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದ ಮೂರು ಮಂದಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣತವಿದರು ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮೊದಲನೆಯವ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೀಡ್‌ರಿಕ್ ಗೌಸ್ (1777-1855), ಗಾಟಿಂಗೆನ್ನಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನಾಗಿದ್ದ. ಈತ ತನ್ನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಅರಸುಪುತ್ರ ಎಂದು ಕೀರ್ತಿ ಪಡೆದಿದ್ದ. ಈತ ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಐದನೆಯ ಸಮಾಂತರ ಅಭಿಗೃಹೀತಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ದತ್ತ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಹಾದುಹೋಗದ ದತ್ತ ಸರಳರೇಖೆಗೆ ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಉಳಿದ ಎಲ್ಲ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇರಿಸಿಕೊಂಡು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯ ಹಾಗೂ ಉಪಪ್ರಮೇಯಾದಿಯಾಗಿ ಸಾಂಗೋಪಾಂಗವಾದ ಗಣಿತರಚನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ವಿರೋಧಾಭಾಸವೂ ತಲೆದೋರದಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಿದ. ದೊರೆತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿಯೂ ಅನುಭವಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಯೂ ಇದ್ದರೂ ಪರಸ್ಪರ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಿರಲಿಲ್ಲ. ಇವರು ಯೋಚಿಸಿದಂತೆ ಅಸಾಮಂಜಸ್ಯವೇನೂ ಕಂಡುಬರಲಿಲ್ಲ; ಬದಲಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯವಲ್ಲದ ಆದರೆ ಅದರಷ್ಟೇ ಸಮಂಜಸವಾದ ಒಂದು ಹೊಸ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಈ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಿಂದ ದೊರೆಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಬಗೆಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ (ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮ). ಹೀಗೆ ಒಂದು ಬಗೆಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಗೌಸ್ ತಳಹದಿ ಹಾಕಿದ. ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾದರೊ ಭೌತ ಪ್ರಪಂಚದ ನಿತ್ಯಸತ್ಯಗಳ ನಿರ್ಧಾರ ಹಾಗೂ ಹೇಳಿಕೆ ಎಂದು ದೃಢನಂಬಿಕೆ ಆಗ ಬೇರೂರಿತ್ತು. ಅಂದಿನ ಆ ಕಾಲಧರ್ಮಕ್ಕೆ ಅಂಜಿದ, ಶಂಕಿಸಿದ ಈತ ತನ್ನ ಪರಿಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಗೊಳಿಸಲಿಲ್ಲ.In the letter to Wolfgang (Farkas) Bolyai of March 6, 1832 Gauss claims to have worked on the problem for thirty or thirty-five years . In his 1824 letter to Taurinus  he claimed that he had been working on the problem for over 30 years and provided enough detail to show that he actually had worked out the details. According to  it wasn't until around 1813 that Gauss had come to accept the existence of a new geometry.Greenberg 2008, p. 243-244 ತನ್ನ ಗಣಿತಮಿತ್ರರಲ್ಲಿ ಈ ಬಗ್ಗೆ ವಿಚಾರ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದ ಅಷ್ಟೇ. ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತವಿದ ಜೆ.ಎಂ.ಸಿ. ಬಾರ್ಟಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಸ್ಟ್ರಿಯದ ಉಲ್ಫ್‌ಗ್ಯಾಂಗ್ ಬೋಲ್‌ಯಾಯ್ ಮುಖ್ಯರಾದವರು.

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ ಇನ್ನಿಬ್ಬರೆಂದರೆ ಬಾರ್ಟಲ್ಸ್‌ನ ಶಿಷ್ಯVictor J. Katz.  A history of mathematics: Introduction. Addison-Wesley. 2009. p. 842. ಲೊಬಾಚೆವ್‌ಸ್ಕಿ (1793-1856) ಮತ್ತು ಉಲ್ಫ್‌ಗ್ಯಾಂಗ್ ಬೋಲ್‌ಯಾಯ್‍ನ ಮಗ ಯೋಹಾನ್ ಬೋಲ್‌ಯಾಯ್ (1802-60).Stephen Hawking. God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs that Changed History. Running Press. 2007.  pp. 697–703. ಇವರಿಬ್ಬರೂ ಗೌಸನಂತೆಯೇ ದತ್ತಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ದತ್ತರೇಖೆಗೆ ಅವುಗಳ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಇದೇ ತೆರನ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಲೊಬಚೇವ್‍ಸ್ಕಿಯ ಹೈಪರ್‌ಬಾಲಿಕ್ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

 ರೀಮಾನೀಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ 
ಅನಂತರ ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತವಿದ ಬರ್ನ್‌ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮಾನ್ (1926-66) ಮತ್ತೊಂದು ಬಗೆಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ. ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಮೂಲತತ್ತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಈತ ಮೂರು ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ:

 ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಭಿಗೃಹೀತ (1)ಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಒಂದಾದರೂ ಸರಳರೇಖೆಯಿರುತ್ತದೆ.
 ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಭಿಗೃಹೀತ (2)ಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸರಳರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಆದ್ಯಂತವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉದ್ದ ಸಾಂತ.
 ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಭಿಗೃಹೀತ (5)ಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಯಾವ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಉಳಿದವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇರಿಸಿಕೊಂಡು ಈ ಹೊಸ ಬಗೆಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ. ಇದಕ್ಕೆ ಈಗ ರೀಮಾನೀಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದೇ ಹೆಸರಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಅಧಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಗೋಳಾಧಿಕ್ಯ (ಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಎಕ್ಸೆಸ್) ಅವೆರಡರ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸರಳರೇಖೆ. ರೀಮಾನೀಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲೂ, ಗೌಸ್, ಲೊಬಾಚೆವ್‌ಸ್ಕಿಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲೂ ಯಾವ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದರ ಕೋನಗಳು ಇನ್ನೊಂದರ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳೇ ಸರ್ವತಾಸಮ (ಕಾನ್‌ಗ್ರುಯಂಟ್) ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಥ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿರಬಹುದೇ ಹೊರತು ಸರ್ವತಾಸಮವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ದೊಡ್ಡದು ಆಗಿರಬಹುದು; ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು; ರೀಮಾನ್‌ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದದ ನಿರೂಪಣೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವೆನಿಸಿದೆ.

ಈ ಲೊಬಚೇವ್‍ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ರೀಮಾನರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಹೊಂದುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ವಿವರಿಸಿ ಇವುಗಳಿಂದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಾಮಂಜಸ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದಾರೆಂದು ನೋಡೋಣ.

 ಪೋಂಕಾರೆಯ ವೃತ್ತ ಆದರ್ಶ 
ಲೊಬಚೇವ್‍ಸ್ಕಿಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಹೆನ್ರಿ ಪೋಂಕಾರೆಯ ವೃತ್ತ ಆದರ್ಶ: Σ ಎಂಬುದು ದತ್ತವೃತ್ತವಾಗಿರಲಿ.

ಇದಕ್ಕೆ ಮೂಲವೃತ್ತವೆಂದು ಹೆಸರು. ಲೊಬಚೇವ್‍ಸ್ಕಿಯ ಸಮತಳದ (L-ಸಮತಳದ) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಈ ವೃತ್ತದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇವನ್ನು L-ಬಿಂದುಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲವೃತ್ತವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಸಂಧಿಸಿ ಅದರ ಒಳಗೆ ಸೇರಿರುವ ಸರಳರೇಖೆ ಅಥವಾ ವೃತ್ತಗಳ ಖಂಡಗಳಿಂದ L-ಸಮತಳದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇವನ್ನು ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ L-ಸರಳರೇಖೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. A ಮತ್ತು B ಗಳು ಎರಡು L ಬಿಂದುಗಳಾದರೆ ಇವೆರಡರ ನಡುವಿನ L-ಉದ್ದವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ: A ಮತ್ತು B ಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾಯ್ದು Σ ವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಸಂಧಿಸುವಂತೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ವೃತ್ತವಿರುತ್ತದೆ. ಇದು Σ ವನ್ನು S ಮತ್ತು T ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ. ಈಗ A ಮತ್ತು B ಗಳ ನಡುವಿನ L - ಉದ್ದವನ್ನು AB ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸೋಣ.

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ AT ಮುಂತಾದವನ್ನು ಆಯಾ ಖಂಡದ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಉದ್ದಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಛೇಧಿಸುವ ಎರಡು L- ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಧಾರಣ ಕೋನದ ಅಳತೆಯನ್ನೇ L -ಕೋನದ L- ಅಳತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು L -ರೇಖಾಖಂಡಗಳ L-ಉದ್ದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವೆರಡು ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸರ್ವಸಮವೆಂದು (ಕಾಂಗ್ರುಯೆಂಟ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ ಒಂದೇ L-ಅಳತೆಯುಳ್ಳ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸರ್ವಸಮವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈಗ L -ಸಮತಳದ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯ ಧಾತುವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಒಂದು ಆದರ್ಶವನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದಾಯಿತು. 

ಈ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಲೊಬಚೇವ್‍ಸ್ಕಿಯ ಸಮತಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಒಂದೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿದಂತೆ ನಮ್ಮ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾದ ಒಂದು ಅಂಶ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಅರ್ಥವಿಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ ಲೊಬಚೇವ್‍ಸ್ಕಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಈ ಆದರ್ಶದ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಹೀಗಾದ ಮೇಲೆ ಈ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಒಂದೊಂದು ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೂ ಅನುಸಾರವಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಒಂದೊಂದು ಪ್ರಮೇಯ ನಮ್ಮ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಡಿಪಾಯಗಳು ಎಷ್ಟರಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತವೆಯೋ ನಿಖರವಾಗಿ ಅಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಲೊಬಚೇವ್‍ಸ್ಕಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಡಿಪಾಯಗಳೂ ಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಎಂದರೆ ಪೋಂಕಾರೆಯ ವೃತ್ತ ಆದರ್ಶದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಲೊಬಚೇವ್‍ಸ್ಕಿಯ ಸಮತಳೀಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಾಮಂಜಸ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದಂತಾಯಿತು. 

 ರೀಮಾನ್‌ನ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಗೋಳ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂರ್ತ ಆದರ್ಶ 
ರೀಮಾನನ ಸಮತಳವನ್ನು (R-ಸಮತಳವನ್ನು) ದತ್ತಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ S ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. R ಸಮತಳದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು S ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರ O ಮೂಲಕ ಹೋಗುವ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಮತಳಗಳು ಗೋಳವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯಾಸವುಳ್ಳ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು (ಗ್ರೇಟ್ ಸರ್ಕಲ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಇವುಗಳಿಂದ R-ಸಮತಳದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. P ಮತ್ತು Q ಗಳು ಎರಡು R-ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, P,Q ಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗುವ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಲಘುಖಂಡದ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಉದ್ದವನ್ನು P ಮತ್ತು Q ಗಳ ನಡುವಿನ R ದೂರವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಂತಾದ ಆಕೃತಿಗಳಿಗೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಈ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರ R ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಒಂದು ಮೂರ್ತಾದರ್ಶ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ R ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮತಳ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳೂ ಪಾಲಿತವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ R ಸಮತಲೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಷ್ಟೇ ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ; ಅರ್ಥಾತ್ ರೀಮಾನನ ಸಮತಳೀಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಾಮಂಜಸ್ಯವನ್ನು ಈ ಆದರ್ಶದ ನೆರವಿನಿಂದ ಸಾಧಿಸಲಾಯಿತು.

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

 ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ 



 ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 

 Roberto Bonola (1912) Non-Euclidean Geometry, Open Court, Chicago.
 MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry

 Non-Euclidean geometries  from Encyclopedia of Math of European Mathematical Society and Springer Science+Business Media
 Synthetic Spacetime, a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis. Archived by WebCite.

ವರ್ಗ:ರೇಖಾಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ