ಗಣಿತ ಆದರ್ಶಗಳು

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು (ideals) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಿತ್ಯ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಹಾಗೂ ವಿಜ್ಞಾನ, ಮಾನವಿಕ ಮುಂತಾದ ಶಾಸ್ತ್ರ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಧಾರ, ಪದ್ಧತಿ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಹೇರಳವಾಗಿ ದೊರೆಯುತ್ತಿರುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಯೂ ವಿಚಾರ ಮಂಥನದಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆ p ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಸನ್ನಿವೇಶ Σ ವನ್ನು ಒಂದೊಂದು ಅಂಶದಲ್ಲಿಯೂ ಹೋಲುವಂಥ ಒಂದು ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (mathematical system) σ ವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಅದರಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆ p ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಗಣಿತ ಸಮಸ್ಯೆ p ಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಣಿತಮಾರ್ಗದ ಸೌಲಭ್ಯದಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಮೊದಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆ p ಗೆ Σ ದಲ್ಲಿ ತಕ್ಕ ಪರಿಹಾರ ದೊರೆತಂತಾಯಿತು. ಇಲ್ಲಿ σ ವನ್ನು ಮೂರ್ತ ಸನ್ನಿವೇಶ Σ ದ ಗಣಿತ ಆದರ್ಶ (ಮ್ಯಾಥ್‌ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಐಡಿಯಲ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥವು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಗಣಿತ ಆದರ್ಶಗಳು. ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಅಮೂರ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ (abstract form) ಕೆಲವು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಅನೇಕವೇಳೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೂಲಕ ಚಿತ್ರೀಕರಿಸಿ ಮೂರ್ತರೂಪಕ್ಕೆ (concrete form) ತರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಥ ಚಿತ್ರಣಗಳ ಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ಮೂರ್ತ ಆದರ್ಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇವು ಎರಡನೆಯ ರೀತಿಯ ಆದರ್ಶಗಳು.

 ಮೂರ್ತ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಗಣಿತ ಆದರ್ಶಗಳು (ಮ್ಯಾಥ್‌ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಐಡಿಯಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಸಿಚುಯೇಷನ್ಸ್) 
ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆ: ನಿತ್ಯ ಜೀವನದಲ್ಲೂ, ವಿಜ್ಞಾನವೇ ಮುಂತಾದ ಶಾಸ್ತ್ರಪ್ರಕಾರಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲೂ ಎಷ್ಟೊ ವೇಳೆ ಕೆಲವು ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಭಾವನೆಗಳ ಸಮೂಹಗಳನ್ನೂ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿರುವ ಬಿಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನೂ ಕುರಿತು ವಿಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನೋ, ಒಂದು ದೇಶದ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಜೆಗಳನ್ನೋ, ಒಂದು ರಾಸಾಯನಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ಎಲ್ಲ ರಾಸಾಯನಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನೋ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪಡೆದಿರುವ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಾಣಿಗಳನ್ನೋ ಕುರಿತು ವಿಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತಿರುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ವಿವಿಧ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂಬ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತ ಆದರ್ಶವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿರುತ್ತಾರೆ. ಗಣವೆಂದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುವ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಭಾವನೆಗಳ ಸಮೂಹ, ಗುಂಪು ಅಥವಾ ವರ್ಗವೆಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. Here: p.85 ಈ ವಿಚಾರ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಗಣವೆಂಬುದೇ ಮೂಲವಾದ ಶಬ್ದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲು ಹೊರಟರೆ ವರ್ತುಲೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿ ಬೀಳುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಅನಿವಾರ್ಯ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಲೇ ಗಣವೆಂಬ ಶಬ್ದದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಮೂಹ, ಸಮುಚ್ಚಯ, ಸಮಾಹಾರ, ವರ್ಗ ಮುಂತಾದ ಹಲವು ಪರ್ಯಾಯ ಪದಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಿ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲು ಬಿಡುವುದೇ ವಾಡಿಕೆ; ಮತ್ತು ಇಷ್ಟೇ ಸಾಧ್ಯ.

ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒದಗುವ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಭಾವನೆಗಳ ಸಮೂಹಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಹಲವು ಬಗೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆಲ್ಲ ಏಕ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅದೇ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಇದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ 51 ವಿದ್ಯಾಥಿಗಳಲ್ಲಿ 20 ಮಂದಿ ಚರಿತ್ರೆಯಲ್ಲೂ, 44 ಮಂದಿ ಗಣಿತದಲ್ಲೂ ಪ್ರವೀಣರಾದರೆ ಇವೆರಡರಲ್ಲೂ ಎಷ್ಟು ಮಂದಿ ಪ್ರವೀಣರು? A ಎಂಬುದು ಚರಿತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರವೀಣರ ಗಣವನ್ನೂ, B ಎಂಬುದು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರವೀಣರ ಗಣವನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, A ∪ B ಎಂಬುದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲ 51 ಹುಡುಗರ ಗಣವನ್ನೂ, A ∩ B ಎಂಬುದು ಚರಿತ್ರೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಪ್ರವೀಣರ ಗಣವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ A ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n(A), B ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n(B) ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸೋಣ. ಈಗ n(A) = 20, n(B) = 44 ಮತ್ತು n(A ∪ B) = 51. ಇಲ್ಲಿ n(A ∩ B)=x ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ

n(A ∪ B) = n(A - B) + n(B - A) + n(A ∩ B)

ಏಕೆಂದರೆ A-B ಎಂಬುದು ಗಣಿತವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಚರಿತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರವೀಣರ ಗಣವನ್ನೂ, B-A ಎಂಬುದು ಚರಿತ್ರೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರವೀಣರ ಗಣವನ್ನೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

∴ 51 = (20 - x) + (44 - x) + x

∴ x = 13

ಆದ್ದರಿಂದ ಚರಿತ್ರೆ, ಗಣಿತಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಪ್ರವೀಣರ ಸಂಖ್ಯೆ 13. ವೆನ್ ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಕೂಡ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗೆಯೇ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಕ್ಲಿಷ್ಟವಾದ ಅನೇಕ ಬಗೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆಲ್ಲ ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಈಗಿನ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಬಹು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಶಾಖೆಯಾಗಿರುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತವೆಲ್ಲಕ್ಕೂ ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ಭಾಷೆಯಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸಿ, ಗಣಿತದ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಶಾಖೆಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಒಂದೇ ಧಾಟಿಯಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಸಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿದೆ.

 ಅಮೂರ್ತಗಣಿತದ ಮೂರ್ತ ಆದರ್ಶಗಳು - ಅಭಿಗೃಹೀತ ಇಲ್ಲವೇ ಆದ್ಯುಕ್ತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಂಜಸ್ಯ (ಕನ್ಸಿಸ್ಟೆನ್ಸಿ ಆಫ್ ಎ ಪಾಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ ಸಿಸ್ಟಂ) 
ಒಂದು ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬೇಕಾದ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳಿವು:

 ಮೂಲ ಭಾವನೆಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗದ ಮೂಲಭೂತವಾದ ಕೆಲವು (ಪಾರಿಭಾಷಿಕ) ಶಬ್ದಗಳು;
 ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇವುಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ವಿವರಿಸುವ ಹಲವು ಮೂಲವಾಕ್ಯಗಳು. ಇವನ್ನು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. (ಸೂಚನೆ: ಇವು ಸರಿಯೇ ತಪ್ಪೇ ಅಥವಾ ಇವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬೇಕೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಏಳುವುದಕ್ಕೂ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ.)

ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬೇಕಾದ ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಶಬ್ದಗಳನ್ನು (1) ಮತ್ತು (2) ರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇನ್ನು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಗಮನದಿಂದ (ಲಾಜಿಕಲ್ ಡಿಡಕ್ಷನ್) ಈ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇವೆಲ್ಲ ಸೇರಿ ದೊರೆಯುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಒಂದು ಗಣಿತವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಗಣಿತವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿರ್ಮಿತವಾಗಿರುವ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳು ಆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಬಹು ಪ್ರಧಾನವಾದ ಘಟಕಗಳು. ಇವು ಹಲವು ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿರಬೇಕು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಸಾಮಂಜಸ್ಯ ಎಂದರೆ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳ ಒಂದು ಸಮಾಹಾರದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ನಿಷೇಧಗಳಾದ ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಿದ್ಧಿಸಬಾರದು. ಹಾಗಾದರೆ ದತ್ತ ಗಣಿತವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳು ಸಮಂಜಸವೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ತಾನೇ ಹೇಗೆ? ಕುರ್ಟ್ ಗೋಯ್ಡಲ್ ಎಂಬ ಪ್ರಖ್ಯಾತನಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ದತ್ತ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳ ಸಾಮಂಜಸ್ಯವನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾನೆ. (1931).Smullyan, R. M. (1992). Gödel's Incompleteness Theorems. New York, Oxford: Oxford University Press, ch. IX.

ಇದಕ್ಕೋಸ್ಕರ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಾಮಂಜಸ್ಯ (ರಿಲೆಟಿವ್ ಕನ್ಸಿಸ್ಟೆನ್ಸಿ) ಎಂಬ ಒಂದು ನವೀನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ದತ್ತಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದೊಂದು ಅಂಶದಲ್ಲೂ ಹೋಲುವಂಥ ಒಂದು ಮೂರ್ತ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ದತ್ತ ಗಣಿತವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಂದು ಮೂರ್ತ ಆದರ್ಶ (ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಐಡಿಯಲ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಈಗ ಈ ಆದರ್ಶ ಎಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಮಂಜಸವಾಗಿರುವುದೋ ಅಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ದತ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೂ ಸಾಪೇಕ್ಷವಾಗಿ ಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

 ಇವನ್ನೂ ನೋಡಿ 
 ಪರಿಕರ್ಮ
 ಪರಿವರ್ತನೆ
 ಗ್ರೂಪ್
 ರಿಂಗ್
 ಸದಿಶ
 ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ
 ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ
 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ