ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ.Möbius function. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=M%C3%B6bius_function&oldid=54235 ಈ ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ (ಅರಿತ್‌ಮೆಟಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್)  ಎಂಬುದು ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ನೀಡಿದ ಉತ್ತಮ ಕೊಡುಗೆ. ಇಲ್ಲಿ x = ಚರ. ಇದು ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಂದರೆ  ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾದರೆ, x ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಅರ್ಥಾತ್  ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಾಂತ್ಯ (domain) N ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.

N ಪ್ರಾಂತ್ಯವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ. ಈಗ  ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಯಾವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಲಿ, ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಅನುವರ್ತಿಸುವುದು. ಇಂಥ ಅಪವರ್ತನವು (factor) ಏಕೈಕ ಮಾತ್ರ. ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು (ಪ್ರೈಮ್ಸ್) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಲ ಬಂದಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ (1): 12 = 2 x 2 x 3. ಇಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ 2. ಇದು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ (2): 15 = 3 x 5. ಇದು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾದ 3 ಮತ್ತು 5 ರ ಗುಣಲಬ್ಧ.

 ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 
ಈ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ  ವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 1:  ಮತ್ತು ಆದಾಗ x ಎಂಬುದು n ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ  ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಲ್ಲದೆ x ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚುಸಲ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ್ದರೆ,  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ (1):  ಮತ್ತು 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 2:  ಯಾವುದೇ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಈಗ  ಆಗುವಂಥ ಕನಿಷ್ಠತಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (whole number) n ಏಕೈಕವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ n ನನ್ನು  ನ ಪೂರ್ಣಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು  ಎಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದು.

 ಪ್ರಮೇಯಗಳು 
ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1: a ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ
 ಆದಾಗ

ಇಲ್ಲಿ d ಯು a ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Σ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕವಾದರೊ Σ ಸಂಕಲನ a ಯ ಎಲ್ಲ ಅಪವರ್ತನ d ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2: ; ; j=1

ಪ್ರಮೇಯ 3: m > 1 ಆದರೆ, 

ಪ್ರಮೇಯ 4: P ಯಾವುದೇ ಅಂಕೋತ್ಪನವಾದರೂ  ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದರ ವಿಲೋಮ ಸಂಬಂಧ ಪರಿಪಾಲಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮೋಬಿಯಸ್ ವಿಲೋಮಸೂತ್ರ.

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

 ಮೂಲಗಳು 

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ