ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರುವ Jn, J-n ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.  ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು x ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ t ಯ ಧನ ಮತ್ತು ಋಣ ಘಾತಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ tn ನ ಗುಣಕವನ್ನು Jn(x) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. (-1) t-n ಗುಣಕವೂ Jn(x) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer) ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ

n ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ n=1-m ಆದರೆ

...............(2)

ಇದರಿಂದಲೂ J-m(x) = (-1)mJm(x) ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.5.

Jn ಮತ್ತು J-m(x) ನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವ ಶ್ರೇಣಿಗಳು x ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಅಭಿಸರಣ (ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್) ಆಗಿರುತ್ತವೆ. Jn ಮತ್ತು J-m ಗಳನ್ನು ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಗುಣಕಗಳು (Bessel multipliers) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಇಲ್ಲಿ n, m ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಆದರೆ ಬೇರೊಂದು ಪ್ರತೀಕ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತ

.............(3)

..............(4)

ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ π(n) ಎಂಬುದು ಗೌಸನ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆಯಿಲರನ ಗ್ಯಾಮಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ π(x) = Γ(x+1). ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಣ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು Jn ಮತ್ತು J-n ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ n ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ Jn ಮತ್ತು J-n ಗಳೇ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೇರೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಡಬಹುದು:

................(5)

ಎಂಬುದು ದ್ವಿತೀಯ ವರ್ಗದ (second order) ಒಂದು ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣ. ಇದಕ್ಕೆ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ (Bessel's equation) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅನುಸರಿಸಿ, ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, n ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ

y = AJn(x) + BJ-n(x)..............(6)

ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ A, B ಯಾವುವೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಈ ಪ್ರಕಾರ Jn ಮತ್ತು J-n ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ (3), (4) ಅನಂತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ Jn ನ ಬೆಲೆ (1) ರಲ್ಲಿರುವ ಶ್ರೇಣಿ. ಆದರೆ n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ J-n ಶ್ರೇಣಿ Jn ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. ಇದರಂತೆಯೇ n ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ Jn ಶ್ರೇಣಿ J-n ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. n=0 ಆದಾಗ ಎರಡು ಶ್ರೇಣಿಗಳೂ ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ n ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಮಾತ್ರ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬೇರೆ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ Jn(x) ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ n ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದಾದರೂ n ಧನ ಪೂಣಾಂಕವಿರುವ Jn ಗೆ ಅತಿಶಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಉಂಟು. ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ವ್ಯಾಪಕತ್ವ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

 ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು 
Jn(x) ನ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಿವು. n ಪೂಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.


 .Abramowitz and Stegun, p. 361, 9.1.27. ಇದಕ್ಕೆ Jn ನ ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸೂತ್ರ (recurrence formula) ಎಂದು ಹೆಸರು. Jn-1 ಮತ್ತು Jn ನ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಉತ್ಪನ್ನ Jn+1 ನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.




 , k= ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.
 , 
 n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ, 


ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಅವಕಲನಾಂಕವಿರುವ (continuous differential coefficient) ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ನ್ನು (0,π) ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:

ಇಲ್ಲಿ 

 ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳು 
φ(x) = 0 ಆಗುವಂಥ ಯಾವುದೇ x ನ ಬೆಲೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ (root of a function) ಎಂದು ಹೆಸರಿದೆ. ಪ್ರೌಢವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಗುಣಗಳಿವೆ.

n ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ Jn(x) ಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳಿವೆ.Bessel, F. (1824), article 14. ಎಲ್ಲ ಶೂನ್ಯಗಳೂ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳು. Jn(x) ನ ಎರಡು ಧನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವೆ Jn+1(x) ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ Jn-1(x) ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ ಇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ Jn, Jn-1 ನ ಶೂನ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತವೆ.  ಆದಾಗ Jn(x) ಆಸನ್ನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿ π ಗಿಂತ ಅಧಿಕ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿಯನ್ನು π ಗಿಂತ ಕೋರಿದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ ಮೀರುವಂತೆ ಆಯಬಹುದು.

ಧನ x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ π ಉದ್ದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲೂ J(x) ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿದೆ.

ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉಕ್ತಿ n ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ n ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಇದರಿಂದ Jn ಎಂಬ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವೆವು.

n=0 ಆದಾಗ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರ

ಆದ್ದರಿಂದ, 

ಎಂಬ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

y = AJ೦ + By೦

n ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ

y = AJn + Byn

ಇಲ್ಲಿ, 

y0, yn ಉತ್ಪನ್ನಗಳು x=0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

 ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು 

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು


 Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). .
   Reproduced as pages 84 to 109 in  English translation of the text.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

 .
 .
 .
 Wolfram function pages on Bessel J and Y functions, and modified Bessel I and K functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators.

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ