ಚಾಪ್‍ಮನ್-ಕಾಲ್ಮೊಗೊರಾಫ್ ಸಮೀಕರಣ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಮಾರ್ಕಾವಿಯನ್ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಚಾಪ್‍ಮನ್-ಕಾಲ್ಮೊಗೊರಾಫ್ ಸಮೀಕರಣವು (ಸಿಕೆಇ) ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಗಣಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಒಂದು ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.https://mathworld.wolfram.com/Chapman-KolmogorovEquation.htmlhttps://notes.camargomau.com/Sciujo/Mathematics/Chapman-Kolmogorov-Equation

 ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಉಪಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಿವರಗಳು 
{Xn, n = 0, 1, 2, . . . . .} ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯಾಗಿರಲಿ (ಚೇನ್). Xn ನ ಬೆಲೆಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿಗಳು (1, 2, . . .) ಆಗಿರಲಿ. i ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ j ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗುವ ಸ್ತಬ್ಧ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟೀಸ್) (i, j = 1, 2, . . . . .)

 ............................(1)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಇದು n ಹೆಜ್ಜೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು (transitional probability) ತಿಳಿಸುವುದು. ಒಟ್ಟು ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಸೂತ್ರದ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯ ಗುಣದಿಂದ

.....................................................(2)

ಆಗಿರುವುದು. ಇದನ್ನು  .........................(3)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣ (2)ಕ್ಕೆ ಚಾಪ್‌ಮನ್-ಕಾಲ್ಮೊಗೋರಾಫ್ (ಚಾ-ಕಾ) ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಹೆಸರು.  ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು  ಎಂದು ಬರೆದರೆ ಮಾತೃಕಾರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು

 ............................................(4)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು  ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  ..................................(5)

ಎಂದು ಕಂಡಿಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಚಾ-ಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ n- ಹಜ್ಜೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳ ಮಾತೃಕೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಈ ಮೇಲಿನ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುವು. P [mn = r | nm = r ] ಯು i, j, m, n ಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು Pij (m,n) ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಆಗ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಸ್ತಬ್ಧವಿರುವುದಿಲ್ಲ (n-m ನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (2) ನ್ನು

 ....................................................(6)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗೆ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರಪಣಿಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು. ಆ ಸರಪಣಿಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುವಾದರೂ, ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಒಂದು ಸರಪಣಿಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಆ ಸರಪಣಿ ಮಾರ್ಕಫ್‌ನ ಸರಪಣಿಯೆಂದು ಹೇಳಲು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಈ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳುಳ್ಳ ಮಾರ್ಕಫನ ಸರಪಣಿಯೊಂದು ಇರುವುದೆಂದು ಮಾತ್ರ ಹೇಳಬಹುದು. 

ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಸಮೂಹ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ವಿರತವಾಗಿರಬೇಕಿಲ್ಲ; Xn ನ ಬೆಲೆಗಳು R ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ, Γ ಅದರ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿರಲಿ, ಮಾರ್ಕಫ ಗುಣವನ್ನು

 ............................................(7) 

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದು n ನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರದಿದ್ದರೆ ಈ ಅಧಿಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯ ಸ್ತಬ್ಧ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುವುದು. (1) ರ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇದನ್ನು  ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಟ್ಟು ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಮಾರ್ಕಫ್ ಗುಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸಮೀಕರಣ (2) ರ ಅನುಗುಣವಾಗಿ,

 .................................(8)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ  ಎಂಬುದು x ನಿಂದ ಹೊರಟು r ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲಿ (y, y + dy) ಅಂತರಾಳದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸುವುದು. ಈ y ಬೆಲೆ r ನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಯಾಗಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ y ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅನುಕಲಿಸಿ (8) ನ್ನು ಪಡೆದುದಾಗಿದೆ. ಇದೇ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಸಕ್ತ ಸ್ವರೂಪ.

ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಸತತವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗುತ್ತ ಹೋಗಬಹುದು. ಆಗ n ಹೆಜ್ಜೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ  ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಬದಲಾಗಿ t ವೇಳೆಯಲ್ಲಾಗಬಹುದಾದ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಬೇಕಾಗುವುದು. Xt ಯು t ವೇಳೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬೆಲೆಯಾಗಿದ್ದರೆ Xt ವಿರತವಾಗಿ (1,2, .....) ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು; ಅಥವಾ Xt ಸತತವಾಗಿ R ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. Xt ವಿರತವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ (2)ರ ಅನ್ವಯ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು

 ........................................(9)

ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. i ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಹೊರಟು t ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ k ಯಲ್ಲಿದ್ದು ಮುಂದೆ  ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ j ಯನ್ನು ತಲುಪುವುದು ಸಾಧ್ಯವೆಂದೂ, k ಯು (1,2.....) ಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿ ಆಗಿರಬಹುದೆಂದೂ (9) ಹೇಳುವುದು. Xt ಯ ಬೆಲೆಗಳೂ ಸತತವಾಗಿದ್ದರೆ P(t)(x, Γ) ವು x ನಿಂದ ಹೊರಟ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ t ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ Γ ದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು ತಿಳಿಸಿದರೆ (9) ಮತ್ತು (8) ರ ಅನ್ವಯ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣ,

 ....................................(10)

ಎಂಬ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದುವುದು.

u0 (Xt) ಯು Xt ಯ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. x ನಿಂದ ಹೊರಟ ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ u0 (Xt) ಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆ ಏನು ಎಂದು ತಿಳಿಯಬೇಕಾದರೆ

 ..........................................(11)

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ (11) ನ್ನು p(t)u0 (x) ಎಂದು ಪರಿಕರ್ಮಿ (ಆಪರೇಟರ್) ವಿಧಾನದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸದಿರೆ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ p(t) ಪರಿಕರ್ಮಿ

 ......................................(12)

ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂತೃಪ್ತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಪರಕರ್ಮಿಗಳು ಒಂದು ಅರೆಗ್ರೂಪಿನ  (ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್) ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುವು. ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಈ ಪರಿಕರ್ಮಿಗಳನ್ನು ಆಕುಂಚನ ಪರಿಕರ್ಮಿಗಳು ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಆಧಾರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅರೆಗ್ರೂಪಿನ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಿರುವ ಎಷ್ಟೋ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದೇ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸುವ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನ. 

ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು, ಸ್ತಬ್ಧ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಅನೇಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೂಡ, ಉತ್ತರಿಸಲು ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದು.  ಯು ಕೆಲವೊಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: 

........................................(13)

ಇಲ್ಲಿ h ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದಂತೆ 

 ..............................................(14)

ಎಂದು ಗ್ರಹಿಸಬೇಕು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾಲ್ಮೊಗೊರಾಫ್-ಫೆಲ್ಲರರ ಮುಮ್ಮಖ (ಫಾರ್ವರ್ಡ್) ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಇವನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿ  ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. h ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಆದಂತೆ  ನ ಮತ್ತು  ನ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಹಿಮ್ಮುಖ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮುಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಹಿಮ್ಮುಖ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಉತ್ತರ ದೊರೆಯುವುದೆಂದು ಫೆಲ್ಲರ್ ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾನೆ.

ಅನ್ವಯಗಳು: ಜನನ ಮರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಪೋಸೋನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಕವಲೊಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮೊದಲಾದ ಮಾರ್ಕಫ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಲು ಮೇಲಿನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುವರು.

ಸಮೀಕರಣ (10) ಮತ್ತು (11) ಇರುವಂತೆ X ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ  ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ ಆಗ u(t,x)

 ....................................(15)

ಎಂಬ ಹಿಮ್ಮುಖ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದು. ಈ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಯಾವುವೆಂದರೆ, t ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದಂತೆ    

 .............................................(16) 

ಸಮೀಕರಣ (15)ರಲ್ಲಿ b(x) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುವುದು. b(x) = px ಆಗಿದ್ದು a(x) = c ಆಗಿದ್ದರೆ ಓರ್ನಸ್ಟೈನ್ ಉಲ್ಲೇನ್‌ಬೆಕ್ಕರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುವುದು.

X0 ಯ ಬೆಲೆಗಳು v0(x) ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, Xt ಯ ವಿತರಣೆ

  .........................................(17)

ಆಗಿರುವುದು. ಆಗ v (t, y) ಉತ್ಪನ್ನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಮ್ಮಖ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದು.

 ........................................(18)

ಈ ಸಮೀಕರಣ ಫೋಕ್ಕರ್-ಪ್ಲಾಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ ಇತ್ಯಾದಿ ಅನೇಕ ಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಇಂಥ ಎಲ್ಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ಚಾ-ಕಾ ಸಮೀಕರಣ.

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

ವರ್ಗ:ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ