ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ

ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಎನ್ನುವುದು ಪೋಲಿಷ್ ಗಣಿತವಿದ ಸ್ಟೀಫನ್ ಬಾನಾಕ್ (1892-1945) 1932ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಗ್ರಂಥ ‘ಸರಳ ಪರಿಕರ್ಮಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ’ದಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಿದ ನೂತನ ಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ (ಬಾನಾಕ್ ಸ್ಪೇಸಸ್). ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಅವೆಲ್ಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೂ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂಥ ಅಮೂರ್ತ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಿ ಈ ಬಗೆಯ ಆಕಾಶಗಳನ್ನು ಈತ ನಿರ್ಮಿಸಿದ.

 ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳು (ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸಸ್) 
V ಒಂದು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿದ್ದು ಅದರಲ್ಲಿ + (ಸಂಕಲನ) ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವಾಗಿರಲು, ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ V ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಂಕುಲವಾಗಿರಲು (ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗ್ರೂಪ್), ಎಂದರೆ   (V ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಧಾತು x, y, z ಗಳಿಗೂ) ಈ ಮುಂದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಐದು ಗುಣಗಳಿರಲಿ:

 x + y Ԑ V
 (x+y) + z = x + (y+z)
 x + y = y + z
 V ಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ x ಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ಮತ್ತು O + x = x ಆಗುವಂತೆ ಇರುವ ಒಂದು ಧಾತು O ಯು V ಯಲ್ಲಿರಬೇಕು.
 V ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತು x ಗೂ ತಕ್ಕ ಧಾತು –x ಎಂಬುದು –x + x = O ಆಗುವಂತಿರಬೇಕು.

ಹೀಗಿದ್ದರೆ V ಯನ್ನು ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಯ (ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ಸಂಕುಲವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ V ಯ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸದಿಶಗಳು ಇಲ್ಲವೇ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಸಂದರ್ಭೋಚಿತವಾಗಿ ಕರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ F ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ (field). ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಅದಿಶಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ  ಮತ್ತು  ಗಳಿಗೂ V ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸದಿಶ αx ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತಿರಲಿ. ಮೇಲಾಗಿ ಇಂಥ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಈ ಮುಂದಿನ ನಾಲ್ಕು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು (ಪಾಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಸ್) ಪಾಲಿಸುವಂತಿರಲಿ:

 ಮತ್ತು 

 α(x+y) = αx + αy
 (α+β)x = αx + βx
 α(βx) = (αβ)x
 1x = x

ಇಲ್ಲಿ 1 ಎಂಬುದು F ನ ಏಕಾಂಶ.

ಹೀಗಿದ್ದರೆ V ಯನ್ನು F ನ ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ (ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ F ಮೇಲಿನ) ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ (ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಅಥವಾ ಸದಿಶ ಆಕಾಶ (ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

 ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳು (ನಾರ್ಮ್ಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸಸ್) 
F ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ R ಅಥವಾ ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ C ಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. L ಎಂಬುದು F ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಸರಳ ಸಮಷ್ಟಿಯಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ಈ ಮುಂದಿನ ಮೂರು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ  ನ್ನು L ನಿಂದ R ನೊಳಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ್ದೇವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಂದರೆ L ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು x ಗೂ ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ  ಅನ್ವಯಯಾಗುತ್ತದೆ:

 ಮತ್ತು  ಗಳಿಗೂ

  ಮತ್ತು 


ಈ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮಾನಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ನಾರ್ಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಅಥವಾ, ಸರಳವಾಗಿ, ಮಾನಕ ಎಂದು ಹೆಸರು.  ನ್ನು x ನ ಮಾನಕವೆಂದೂ, ಇಂಥ ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ L ಗೆ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶ ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಾನಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು L ನ್ನು ಒಂದು ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶವಾಗಿ (ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಮಾಡಬಹುದು.

 ಗಳಿಗೂ

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಹೀಗೆ ದೊರೆತ ಉತ್ಪನ್ನ (x, y) → d(x, y) ಎಂಬುದು ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನದ (distance function) ಎಲ್ಲ ಅಭಿಗೃಹಿತಗಳನ್ನೂ ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

 d(x, y) ≥ 0,  = ⇔ x=y
 d(x, y) = d(y, z)
 d(x, y) ≥ d(x, x) + d(x, y)

ಹೀಗಾಗಿ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳೆಲ್ಲ ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶಗಳೂ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

 ಸಂಪೂರ್ಣತೆ(ಕಂಪ್ಲೀಟ್‌ನೆಸ್) 
ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾನಕಯುಕ್ತ ಸರಳ ಆಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಅಭಿಸರಣೆ ಮುಂತಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಈಗ {xi | i = 1, 2, 3……} ಎಂಬುದು L ನ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಅಗಿರಲಿ. Є > 0 ಎಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ ಇದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡು

ಆಗುವಂತಿರುವ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಾದರೆ ಅಂಥ ಶ್ರೇಣಿ {xi} ಯು ಇದರಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

 ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 
ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶವೊಂದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿಯೂ ಅಭಿಸರಣೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೂರಾತ್ಮಕ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಎಂದರೆ {xi} ಯು ಇದರಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಕೌಷೀ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಇದೇ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು x ಗೆ ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ (xi→x). ಹೀಗೆಂದರೆ Є>0 ಎಷ್ಟೇ ಅಲ್ಪವಾಗಿದ್ದರೂ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ  ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೆಂದು ಅರ್ಥ.

ಈವರೆಗೆ ವಿವರಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪಾರಿಭಾಷಿಕ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶಗಳನ್ನು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾನಕಾತ್ಮಕ ಸರಳ ಆಕಾಶಕ್ಕೆ (complete normed vector space) ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಹೆಸರು.see Theorem 1.3.9, p. 20 in .

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

1. ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ  ನ್ನು  ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಸರಳ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಇದು ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ. ಹಾಗೆಯೇ ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ  ಯು  ಮೇಲಾಗಲಿ  ಮೇಲಾಗಲಿ ರಚಿಸಿದ ಒಂದು ಸರಳ ಅಕಾಶ. ಇದರಲ್ಲಿ  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗಿ  ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಇದನ್ನೇ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ F= ಅಥವಾ  ಆಗಿದ್ದರೆ Fn = {(z1,z2,…..,zn) | z1,z2,….,zn Є F} ಎಂಬ ಆಯಾಮದ ಸರಳ ಆಕಾಶ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದರಲ್ಲಿ

||z1,z2,…..,zn) ||1 = 

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಈ ಬಗೆಯ ಮಾನಕದಲ್ಲೂ Fn ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗುತ್ತದೆ. 

3. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ Fn ನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಆಗಿಸಬಹುದು: 1≤ p<∞ ಇರುವಂತೆ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ p ಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, 

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಈ ಬಗೆಯ ಮಾನಕದಲ್ಲೂ Fn ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶ ಆಗುತ್ತದೆ.  ಇದನ್ನು  ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

4. Fn ನ್ನು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು:

||(z1,……….,zn)|| = ಗರಿಷ್ಠ {|z1| ,….., |zn|} ಎಂದರೆ |z1|,…..,|zn| ಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠತಮವಾದುದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾನಾಕ್ ಅಕಾಶ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

5. X ಒಂದು ಸಂಸ್ಥಿತೀಯ ಆಕಾಶ (ಟಾಪಾಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಆಗಿರಲಿ. ಎಂದಿನಂತೆ F ಎಲ್ಲ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಥವಾ ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ) ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. X ನಿಂದ F ನೊಳಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಪರಿಬಂಧಿತ (ಬೌಂಡೆಡ್) ಅವಿಚ್ಫಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ (continuous function) f :X→F ಗಳ ಗಣವನ್ನು C(X) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ C(X) ಎಂಬುದು F ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಆಕಾಶ ಆಗುವುದು. ಇದರಲ್ಲಿ  ಮಾನಕವನ್ನು

||f|| = ಗರಿಷ್ಠ ಪರಮಾವಧಿ (ಸುಪ್ರಿಮಮ್) { | f(x) | ∀ f Є C(X)  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇದು C(X) ನ್ನು ಒಂದು ಬಾನಾಕ್ ಆಕಾಶವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

 ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 




ವರ್ಗ:ಬೀಜಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ