ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ

ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ (ಮೆಟ್ರಿಕ ಸ್ಪೇಸ್). ಇದರ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಮುಂದೆ ನಿರೂಪಿಸಿದೆ.

 ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು 
1.  P, Q ಗಳು ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳಾದರೆ ಇವೆರಡರ ನಡುವಿನ ದೂರ ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಜನಸಾಮಾನ್ಯರಿಗೆ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಮೂಲಭಾವನೆ. ಈ ದೂರ ಒಂದು ನಾನೃಣ (ನಾನ್-ನೆಗೆಟಿವ್) ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದನ್ನು d(P,Q) ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಿದರೆ ಮುಂದಿನ ನಿಯಮಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟ.

(i) d(P,Q) ≥ 0  ಮತ್ತು d(P,Q) = 0 ಆದರೆ P,Q ಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತವೆ. P = Q ಆದರೆ d(P,Q) = 0. ಇದನ್ನು d(P,Q) = 0 ↔ P = Q ಎಂದು ಬರೆಯುವುದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯ ↔ ಪ್ರತೀಕವನ್ನು ಆಗ ಮತ್ತು ಆಗ ಮಾತ್ರ ಎಂದು ಓದಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

(ii) d(P,Q) = d(Q,P) ಮತ್ತು

(iii) R ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಳವಾದರೆ, d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(R,Q).

ಏಕೆಂದರೆ P ಯಿಂದ ನೇರವಾಗಿ Q ಗೆ ಹೋಗುವ ದೂರ P ಯಿಂದ R ಗೆ ಹೋಗಿ, ಅಲ್ಲಿಂದ Q ವನ್ನು ತಲುಪುವ ಒಟ್ಟು ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಅನುಭವವೇದ್ಯ. ಈ ಮೂಲಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಇತರ ಅಪ್ರಕೃತ ವಿವರಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ, ಹಲವಾರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನ್ವಯಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂಥ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶಗಳೆಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯಭಾಗ ಮತ್ತು 20ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಆದಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ರೀಮಾನ್, ವೀಬರ್, ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಲಿಬೇಗ್, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್, ರೀಸ್ ಮುಂತಾದ ಉದ್ದಾಮ ಗಣಿತವಿದರು ರೂಪಿಸಿದರು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೊಸ ಮಾರ್ಗ, ಒಂದು ಹೊಸ ಆಯಾಮವೇ ಮೂಡಿಬಂತು.

2. P,Q ಗಳು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾದರೂ ದೂರ d(P,Q) ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ನಾನೃಣ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಮಯುತ ಬಿಂದುಯುಗ್ಮ (P,Q) ಒಂದಿಗೂ ಒಂದು ನಾನೃಣ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದು.  ಇದೇ ವಾದಸರಣಿಯನ್ನು ಹೀಗೇ ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಅಶೂನ್ಯ (X ≠ ∅) ಗಣ ಆಗಿರಲಿ X x X ಎನ್ನುವುದು X ಗೆ ಸೇರಿದ x,y ಗಳ ಎಲ್ಲ ಕ್ರಮಯುತ ಯುಗ್ಮಗಳ (x,y) ಗಣ. ಅಂದರೆ,  ಎನ್ನುವುದು ಎಲ್ಲ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈ X x X ನಿಂದ R ನೊಳಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿರುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ d:   ಎಂಬುದು ಮುಂದೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳನ್ನು (ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್) ಪರಿಪಾಲಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, d ಯನ್ನು X ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿರುವ ಒಂದು ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನ (distance function) ಅಥವಾ ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ (metric) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ.

X ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ x,y,z ಗಳಿಗೂ

[M-1] ನಾನೃಣನಿಯಮ (Positivity): d(x,y) ≥ 0 ಮತ್ತು d(x,y) = 0 ↔ x = y

[M-2] ಸಮಾಂಗತಾನಿಯಮ: d(x,y) = d(y,x)

[M-3] ತ್ರಿಭುಜನಿಯಮ: d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

ಯುಗ್ಮ (X,d) ಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಈಗ X ನ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೊಂದು ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸಿದೆ ಎಂದು ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ.

D:  ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು D(x,y) = d(x,y)/(1 + d(x,y)) ಎಂದು ನಿಗದಿಮಾಡಿದರೆ; D ಸಹ X ಗಣದ ಮೇಲೆ, (X, D) ಯು X ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ ಎಂದಾಯಿತು. ಇದರಿಂದ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡುತ್ತವೆ. ಒಂದೇ ಗಣದ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶಗಳಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದು ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ (d(x,y)) ಹೊರಟು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ದೂರಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು D(x,y) = d(x,y)/(1 + d(x,y)) ರಚಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣದ ಮೇಲೂ ಒಂದು ದೂರಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು; ತನ್ಮೂಲಕ ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ.

X ಒಂದು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ∀ x,y ∈ X ಗೂ x = y ಆದರೆ d(x,y) = 0, ಮತ್ತು x ≠ y ಆದರೆ d(x,y) = 1 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ, d ಯು ಒಂದು ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನ, ಹಾಗೂ (X,d) ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ ಎನ್ನುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟ.

 ಉದಾಹರಣೆಗಳು 
ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಚಿರಪರಿಚಿತ ಹಾಗೂ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶಗಳ ಪರಿಚಯ ಇದೆ:

 ಉದಾಹರಣೆ ೧ 
R ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ.

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. |x| ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನ (ಆಬ್ಸೊಲ್ಯೂಟ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಈಗ

(1) |x| ≥ 0 ಮತ್ತು |x| = 0 ↔ x = 0

(2) |-x| = |x|, ∀ x ∈ R

(3) |x + y| ≤ |x| + |y| ಎಂಬ ಮೂರು ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದಲೇ ಸ್ವಯಂವೇದ್ಯ.

ಈಗ  ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು d(x,y) = |x - y| ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಗುಣವಿಶೇಷ (1), (2), (3) ರಿಂದ d ಯು  ಮೇಲಿನ ಒಂದು ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು  ಮೇಲಿನ ರೂಢಿಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ (ಯೂಶುಯಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ.  ಮೇಲೆ ನೈಜ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (real functions) ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲೆಲ್ಲ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇದೇ. ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಿರೂಪಣೆಯಂತೆ ದತ್ತ ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಿದಾಗ, P,Q ಬಿಂದುಗಳು ನಿರೂಪಿಸಿದರೆ d(p,q) ಎನ್ನುವುದು P,Q ರೇಖಾಖಂಡ (ಲೈನ್ ಸೆಗ್‌ಮೆಂಟ್) ಎಂಬುದು ವೇದ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

 ಉದಾಹರಣೆ ೨ 
R ಎಲ್ಲ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ n ಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ (ನ್ಯಾಚ್ಯುರಲ್ ನಂಬರ್) ಆದಾಗ Rn = R X R X . . . . X R (n ಅಪವರ್ತನಗಳವರೆಗೆ (factors)) ಎಂಬುದು x=(x1, x2, . . . . xn) | x1, x2, . . . .xn ∈ R ಎಂಬ ಎಲ್ಲ n ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ x1, x2, . . . . xn ಗಳ ಕ್ರಮಯೋಜನೆ, x = (x1, x2, ……xn) ಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ.

ಈಗ ∀ x ∈ Rn ಯೂಕ್ಲಡೀಯ ನಾರ್ಮ್ (Euclidean norm) ||x|| ಅನ್ನು ||x|| = ||x1, x2,……..xn|| =  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಟಷ್ಟವಾಗಿ,

1) ||x|| ≥ 0 ಮತ್ತು ||x|| = 0 ↔ x=0

2) ||-x|| = ||x||

3) ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| ಎಂಬ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ವೇದ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದಾಗಿ  ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು d(x,y) = ||x-y|| ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಈಗ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಮೂರು ಗುಣವಿಶೇಷಗಳಿಂದ (Rn, d) ಯು ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಇದನ್ನು n ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಆಕಾಶ ಎಂದೂ d ಯನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯುವುದಿದೆ. n=1 ಆದಾಗ, ಇದು ಹಿಂದೆ ವಿವೇಚಿಸಿದ (R,d) ಯೇ ಆಗುತ್ತದೆ. n=2 ಆದಾಗ, R2 = R x R ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಚಿರಪರಿಚಿತ ಸಮತಲವೇ. ಇದರಲ್ಲಿ x = (x1,x2) ಮತ್ತು y = (y1,y2) ಆದರೆ  ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದೂ ಚಿರಪರಿಚಿತವಾದ ದೂರಸೂತ್ರ. ಇದರಿಂದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ (R2,d) ಯ ಅಧ್ಯಯನವೂ, ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವೂ ಒಂದೇ ಎಂದ ಹಾಗಾಯಿತು. ಅಲ್ಲದೆ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ C = {x+iy | x,y ∈ R}, i2 = -1 ಗಳನ್ನು R2 ನ ಬಿಂದುಗಳಾದ (x,y) ಯೊಂದಿಗೆ ಏಕೀಭಾವನೆಗೈದರೆ  ಎನ್ನುವುದೂ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ R2 ನಲ್ಲಿ ವಿಧಿಸಿರುವ ದೂರಉತ್ಪನ್ನ d ಯನ್ನೇ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೇಗೆಂದರೆ ||z-z'|| = |z-z'| ಎಂದು ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ (R2,d) ಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಅಡಗಿಸಿದಂತಾಗುತ್ತದೆ. 

 ಉದಾಹರಣೆ ೩ 
Rn ಮೇಲೆ ಬೇರೆ ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಒಂದು ದೂರ ಉತ್ಪನ್ನ D ಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. x=(x1, x2, ……. xn) ಮತ್ತು y=(y1, y2, ……. yn) ಗಳು R ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾದರೂ D(x,y) = ಗರಿಷ್ಠ {|x1-y1|, |x2-y2|, ……., |xn-yn|}. ಅಂದರೆ |x1-y1|, |x2-y2|, ……., |xn-yn| ಗಳ ಪೈಕಿ D(x,y) ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ, D ಯು Rn ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು Rn ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಿದ ವರ್ಗ ಮೆಟ್ರಿಕ್ (ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ (Rn,d) ಯು ಬೇರೊಂದು ರೀತಿಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ. 

 ಉದಾಹರಣೆ ೪ 
C[0,1] ಎನ್ನುವುದು [0,1] ಮೇಲೆ ಉಕ್ತವಾದ ಎಲ್ಲ ಅವಿಚ್ಫಿನ್ನ ನೈಜ ಮೌಲಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (continuous real valued functions) ಗಣವಾಗಿರಲಿ. f ∈ C[0,1] ಆದರೆ f' ನ ನಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು  ಎಂದು ಬರೆದು [0,1] ರ ಮೇಲೆ |f(x)| ಎಂಬ ಧನಾತ್ಮಕ ಉತ್ಪನ್ನದ (positive function) ರೀಮಾನ್ ಸಮಾಸಕಲನದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ

1) ||f|| ≥ 0 ಮತ್ತು ||f|| = 0 ↔ f=0

2) ||-f|| = ||f||

3)  ಎಂಬ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ; ಈಗ d: C[0,1] x C[0,1] → R ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು d(f,g) = ||f-g|| ಎಂದು ∀ f, g ∈ C[0,1] ಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು (1), (2), (3) ರಿಂದ d ಯು C[0,1] ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ. ಇದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ೨ ರ (Rn,d) ಯನ್ನು ಹೋಲುವುದು.

 ಉದಾಹರಣೆ ೫ 
ಉದಾಹರಣೆ ೪ ರ C[0,1] ಗಣದ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. f ∈ C[0,1] ಆದರೆ sup |f| ಎನ್ನುವುದು {|f(x) | ∀ x ∈ C[0,1]} ಗಣದ ಕನಿಷ್ಠ ಊರ್ಧ್ವಮಿತಿ (ಲೀಸ್ಟ್ ಅಪ್ಪರ್ ಬೌಂಡ್ ಅಥವಾ ಸುಪ್ರಿಮಮ್). f ನ ವರ್ಗನಾರ್ಮ್ (square norm) ||f|| ಅನ್ನು ||f|| = sup |f| ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ

1) ||f|| ≥ 0 ಮತ್ತು ||f|| = 0 ↔ f =0

2) ||f|| = f ಹಾಗೂ

3) ||f+g|| ≤ ||f|| + ||g|| ಎಂಬ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ಸ್ವಯಂವೇದ್ಯ. ಇಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ D: C[0,1] x C[0,1] → R ಅನ್ನು D(f,g) = ||f|| - ||g|| ಎಂದು ವಿಧಿಸಿದರೆ D ಯು C[0,1] ರ ಮೇಲೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ದೂರಉತ್ಪನ್ನ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು C[0,1] ರ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಹೀಗಾಗಿ [C[0,1], D] ಯು ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾಶ. ಇದು ಉದಾಹರಣೆ ೩ ರ (Rn,d) ಯನ್ನು ಹೋಲುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

 ಉದ್ಧರಣಗಳು 



 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 





 ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 

 Far and near—several examples of distance functions at cut-the-knot.

ವರ್ಗ:ರೇಖಾಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ