ಬಾನಾಕ್ ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ

ಬಾನಾಕ್ ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಾಧಾರಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದ ವೇಳೆ ತಲೆದೋರಿರುವ ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸ. ಇದನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದವರು (1924) ಬಾನಾಕ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಎಂಬ ಗಣಿತವಿದರು.

 ಆಂಶಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ 
ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ (ಆರ್ಡರ್ ರಿಲೇಶನ್): S ಒಂದು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಎಂದರೆ . ಇದರಲ್ಲಿ  (ಚಿಕ್ಕದು ಅಥವಾ ಸಮ) ಎಂಬ ದ್ವಿಗುಣ ಸಂಬಂಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮುಂದೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು (ಪಾಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಸ್) ಪಾಲಿಸುತ್ತಿರಲಿ:


  ಮತ್ತು  ಅಂದರೆ x = y ಆಗಲೇಬೇಕು
  ಮತ್ತು  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗಲೇಬೇಕು

ಹೀಗಿದ್ದರೆ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ  ವನ್ನು S ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಆಂಶಿಕ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧ (ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಆರ್ಡರ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು S ಅಂಶಿಕ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ S ಗೆ ಸೇರಿದ ಯಾವ ಎರಡು ಧಾತು x,y ಗಳಿಗೂ  ಅಥವಾ  ಎನ್ನುವ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುವಂತಿದ್ದರೆ  ವನ್ನು S ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

 ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ 
ಈ. ಜೆರ್ಮಲೋ ಎಂಬ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತವಿದ 1904ರಲ್ಲಿ ಈಗ ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯ (ದ ವೆಲ್ ಆರ್ಡರಿಂಗ್ ತೀಯರಮ್) ಎಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಾಧಿಸಿದ: S ಯಾವುದೇ ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೂ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ  ವನ್ನು ಯುಕ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣದ ಒಂದೊಂದು ಉಪಗಣದಲ್ಲೂ ಅದರದರ ಪ್ರಥಮ (ಎಂದರೆ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ) ಧಾತು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಈ ಬಗೆಯ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಪ್ರಕಟಣೆ ಗಣಿತವಿದರಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಉಂಟು ಮಾಡಿತು. ಇಂಥ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಪ್ಪುವುದೇ ಅವರಿಗೆ ಕಷ್ಟಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ಗಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕ್ರಮ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ. ಆದರೆ ಇದರ ಉಪಗಣವಾದ  ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಥಮ ಅರ್ಥಾತ್ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಧಾತು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ r > 0 ಇಂಥ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಧಾತುವಾದರೆ   ಮತ್ತು r ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಧಾತುವಾಗಿದ್ದು ಪೂರ್ವ ಪಕ್ಷವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಾಧನೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೊ ಲೋಪದೋಷ ನುಸುಳಿರಬಹುದೆಂದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಶೀಲನೆ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸಿನ ಈ. ಬೊರೆಲ್ ಎಂಬಾತ ಜೆರ್ಮೆಲೋ ತನ್ನ ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಧನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆದ್ಯುಕ್ತಿ (axiom) ಉಪಯೋಗಿಸಿರುವುದನ್ನು ಗೊತ್ತು ಹಚ್ಚಿದ. ಇದಕ್ಕೆ ಈಗ ಜೆರ್ಮೆಲೋನ ಆಯ್ಕೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ (ಆ್ಯಕ್ಸಿಯಮ್ ಆಫ್ ಚಾಯ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.. ಇದರ ಒಕ್ಕಣೆ ಹೀಗಿದೆ: ಒಂದು ಗಣ S ನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಉಪಗಣ A, B, C, ... ಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿದರೆ ಈ A, B, C, ... ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದಲೂ ಒಂದೊಂದೇ ಧಾತು ಪಡೆದಿರುವಂಥ ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ ಒಂದು ಗಣ R ನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ A ಯಿಂದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನೂ, B ಯಿಂದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನೂ, C ಯಿಂದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನೂ ಹೀಗೆ ಒಂದೊಂದೇ ಧಾತುವನ್ನು ಆಯಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. ಎಂದೇ ಈ ಮೇಲಿನ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ ಎಂಬ ಹೆಸರು.

 ಬಾನಾಕ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯ 
ಮೇಲ್ನೋಟಕೆ ಅತಿ ಸರಳವಾಗಿ ತೋರುವ ಇದು ಕ್ಲಿಷ್ಟವೂ, ನಂಬಲು ಅಸಾಧ್ಯವೂ ಆದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಎಡೆಕೊಟ್ಟಿದೆ. ಇದರ ಅನ್ವಯದಿಂದ 1924ರಲ್ಲಿ ಬಾನಾಕ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಸಾಧಿಸಿದರು; ಆಯಾಮ n > 2 ಆಗಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಆಕಾಶ En ಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವ ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಗಣಗಳೇ ಆಗಲಿ ಪರ್ಯಾಪ್ತ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಕ್ಲಿಷ್ಟಪೂರ್ಣ ಸಾಧನೆಯ ವಿವರಗಳನ್ನು ಪಂಡಿತರಿಗೆ ಬಿಟ್ಟು ಇಲ್ಲಿ ಇದರ ಒಂದು ಪ್ರಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ಆಯಾಮ ಮೂರರ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಮಷ್ಟಿ E3 ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗೋಳಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಒಂದು ಕಡಲೆಕಾಳು ಗಾತ್ರದ್ದು, ಇನ್ನೊಂದು ಸೂರ್ಯ ಗಾತ್ರದ್ದು. ಇವೆರಡೂ ಸೀಮಿತ ಹಾಗೂ ಅಂತರ್ಬಿಂದುಯುತ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಹೀಗಾಗಿ ಬಾನಾಕ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ P ಯನ್ನು P1, P2, ..., Pn ಉಪಗಣಗಳಾಗಿಯೂ S ನ್ನು S1, S2, ..., Sn ಉಪಗಣಗಳಾಗಿಯೂ ವಿಂಗಡಿಬಹುದು. ಮೇಲಾಗಿ ಈ ವಿಂಗಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಮುಂದಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ನಿಲ್ಲುವಂತೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿಸಬಹುದು:

 ಎಂದರೆ P ಯು P1, ...., Pn ಗಳ ಸಂಯೋಗ,

 ಎಂದರೆ S ಎಂಬುದು S1, ...., Sn ಗಳ ಸಂಯೋಗ, 

 ಆದರೆ  ಎಂದರೆ P1, ...., Pn ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಮತ್ತು ಎಂದರೆ S1, ...., Sn ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಇಷ್ಟರಮೇಲೆ  ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ Pi ಅದರ ಸಂವಾದಿ Si ಗೆ ಸಮಾನತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಈಗ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಆಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತ್ವವೆಂದರೆ (equivalence) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರ್ವಸಮತ್ವ, ಎಂದರೆ ಕೇವಲ ಆವರ್ತನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳ ಚಲನೆಗಳು. ಇವುಗಳಿಂದಲೇ ಒಂದು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಒಂದೆಡೆಯಿMದ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆಗೆ ಒಯ್ಯಬಹುದು ಎಂದು ಅರ್ಥ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ನಂಬುವುದಾದರೂ ಎಂತು? ಸೂರ್ಯನ ಗಾತ್ರದ ದೊಡ್ಡ ಗೋಳದ ಭಾಗಗಳು ಕಡಲೆಗಾತ್ರದ ಗೋಳದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನತ್ವದಲ್ಲಿವೆಯೆಂದೂ S ಮತ್ತು P ಗಳು ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಹಾರಗಳೆಂದೂ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯಾವ ಊಹೆಗೂ ನಿಲುಕದ ವಿಷಯವೇ ಸರಿ. ಇಂಥ ವಿರೋಧ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಎಡೆ ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಾನಾಕ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವೆಂದು ಕರೆಯುವುದು ಔಚಿತ್ಯಪೂರ್ಣ ಅನ್ವರ್ಥವೇ ಸರಿ.

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

 ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 

 The Banach-Tarski Paradox by Stan Wagon (Macalester College), the Wolfram Demonstrations Project.
 Irregular Webcomic! #2339 by David Morgan-Mar provides a non-technical explanation of the paradox. It includes a step-by-step demonstration of how to create two spheres from one.
  gives an overview on the fundamental basics of the paradox.
 Banach-Tarski and the Paradox of Infinite Cloning

ವರ್ಗ:ರೇಖಾಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ