ಭ್ರಮಣಾಂಕ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು ಎಂದರೆ ಆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ಼್‍ನ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಾನಗಳು. ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ x ನ ಆವರ್ತಕ ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. r ನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಚರದ r ನೆಯ ಘಾತದ (power) ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಸ್ಪಷ್ಟನೆ ಹೀಗಿದೆ:

; f(x) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ

 ಮತ್ತು 

; f(x) ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ (discontinuous function)

ಅನುಕೂಲತೆಗಾಗಿ f(x) ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ (arbitrary number) a ಯನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಭ್ರಮಣಾಂಕದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಹೀಗಿದೆ:

ಈ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ (a) ಯನ್ನು ಮಧ್ಯಕಕ್ಕೆ (ಮೀನ್) ಸರಿಗಟ್ಟಿದಲ್ಲಿ ಮದ್ಯಕವನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ μr ಅಥವಾ ಭ್ರಮಣಾಂಕ-ಮಧ್ಯಕ ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಈ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ μ1, μ2,........ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು μ1', μ2',........ ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು:

μ1 = 0, μ2 = μ2' - (μ1')2

μ3 = μ3' - 3μ2'μ1' + 2(μ1')3

μ4 = μ4' - 4μ3'μ1' + 6μ2'(μ1')2 - 3(μ1')4

μ1' ಮಧ್ಯಕವೆಂದೂ μ2 ಕ್ಕೆ ಚಲನೀಯವೆಂದೂ ಹೆಸರು. ಮಧ್ಯಕ ಮತ್ತು ಚಲನೀಯದ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ತಿಳಿದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ವರ್ಗನೆ ತಿಳಿಯಬೇಕಾದರೆ ಮೊದಲೆರಡು ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳ ಪಾತ್ರ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಮಿಕ್ಕ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರುಹುವುವಾದರೂ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಅಷ್ಟು ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ.
ವಿಷಮತೆಯ ಮಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಮೂರನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕ-ಮಧ್ಯಕ μ3 ನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣುವಂಥ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ μ3 = 0 ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 2 ರ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವಿತರಣೆ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಓಲಿರುವುದರಿಂದ μ3 ಋಣಚಿಹ್ನೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 2 ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ f(x) ವಿತರಣೆ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಓಲಿರುವುದರಿಂದ μ3 ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಷ್ಟಕ್ಕೂ ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ ಬರೇ μ3 ರ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ವಿತರಣೆಯ ಚಿತ್ರಾಕೃತಿ ಇದೇ ರೀತಿ ಇದೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸಲಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ μ3 = 0 ಆಗಿದ್ದೂ f(x) ವಿತರಣೆ ಚಿತ್ರ 3 ದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ಇದೇ μ3 ≠ 0 ಆಗಿದ್ದಾಗ f(x) ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಡಾಖಂಡಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು.

ಶಿಖರತೆಯ ಮಾನವನ್ನು ತಿಳಿಯಬೇಕಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ μ4 ನಾಲ್ಕನೆಯ ಭಮಣಾಂಕ-ಮಧ್ಯಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಶಿಖರತೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟನೆ ಈ ರೀತಿ ಇದೆ:

ಶಿಖರತೆ = β2(μ4 / μ22)

ಇಲ್ಲಿ β2 = 3 ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ f(x) ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಮೀಪವಾಗಿರುವುದು.

 ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿತರಣೆಗೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೀತಿ 
x ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಚರ (continuous variable). ಪ್ರತಿಚಯನದಲ್ಲಿರುವ (sample) ಅದರ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು k ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ವಿಭಾಗಗಳ ಆವರ್ತಾಂಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ f1, f2,.......fk ಎಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು x ಚರದ ವಿಭಾಗಾಂತರದ ಮಧ್ಯಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x1, x2,.......xk ಎಂದಿರಲಿ.

ಆಗ 

 ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಷೆಪರ್ಡನ ತಿದ್ದುಪಡಿ 
ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ರೀತಿ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆವಲ್ಲಿ fi ಆವರ್ತಾಂಕ xi ಮಧ್ಯಕದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರಿಕೃತವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪಂಗಡದ ಅಂತರ h ಜಾಸ್ತಿಯಾಗುತ್ತ ಹೋದಷ್ಟು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಭಾವನೆ ತಪ್ಪಾಗುತ್ತ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಷೆಪರ್ಡ್ ಒಂದು ತಿದ್ದುಪಾಟು ಕಂಡುಹಿಡಿದ. f(x) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಕಡೆಯ ಕೊನೆಯ ಆವರ್ತಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಹೀಗಿರುವುದು:

 ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ಮೊಮೆಂಟ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್) 
ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತಾದರೆ ಅನುಕೂಲಕರ. ಇಂಥ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು.

x ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ. ಅದರ ವಿತರಣ ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ಎಂದಿರಲಿ. ಆಗ etx ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೆಸರು.

-h2 < t <h2 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ t ಗೆ etx ದೊರೆಯುವಂತಾದರೆ (ಯಾವುದಾದರೂ h2 ಬೆಲೆಗೆ)

ಅನುಕೂಲತೆಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿಯೂ f(x) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ದೊರೆವಲ್ಲಿ m(t) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿ ಅವಕಲನೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ m(t) ಯನ್ನು r ಸಲ ಅವಕಲಿಸಿದಲ್ಲಿ

t = 0 ಆದಲ್ಲಿ, 

ಅಂದರೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನದ r ನೆಯ ಅವಕಲನಕ್ಕೆ t = 0 ಆದಾಗ r ನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪ್ವಾಸಾನ್ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಕ ಮತ್ತು ಚಲನೀಯ ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದೆಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

ಮೊದಲನೆಯ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅವಕಲನಗಳು

m'(t) = e-λ.λeteλet

m'(t) = e-λ.λeteλet(1 + λe)

t = 0 ಅಂದಲ್ಲಿ μ'1 = m'(0) = λ

μ2  = m''(0) = λ(1 + λ)

σ2 = μ2' - (μ1')2 = λ

 ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ 
ಮೇಲಿನ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬಹುಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ x, y, z ಮೂರು ಚರಗಳಾದರೆ ಇವುಗಳ ವಿತರಣೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನ f(x,y,z) ∞ < x,y,z < ∞, y ಚರದ r ನೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕ

ಇದಲ್ಲದೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನೂ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಇಲ್ಲಿ q, r, s > 0 ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಸಹಚಲನ ಪಡೆಯುವುದರಲ್ಲೂ ಇದರ ಬಳಕೆ ಕಾಣಸಿಗುತ್ತದೆ. x ಮತ್ತು z ನ ಸಹಚಲ

-h2 < t1,t2,t3 < h2 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ t1,t2,t3 ಕ್ಕೆ (ಯಾವುದಾದರೂ h2 ಬೆಲೆಗೆ) Eexp(t1x + t2y + t3z) ದೊರೆಯುವಂತಾದರೆ x,y,z ನ ಸಂಯುಕ್ತ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನ m(t1, t2, t3) = Eexp(t1x + t2y + t3z)

ಇಲ್ಲಿಯೂ ಯಾವುದೇ ಚರದ ಭ್ರಮಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಆ ಚರದ ti ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಉತ್ಪಾದಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವಕಲಿಸಿ t1,t2,t3 ನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಗಟ್ಟಬೇಕು.

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

 ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದಿಗೆ 




 ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 


 Moments at Mathworld

ವರ್ಗ:ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ