ಮಾನ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮಾನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳು (ಉದ್ದ, ಸಲೆ, ಘನ ಅಳತೆ) ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಹಾಗೂ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಂತಹ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಧ್ಯುಕ್ತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

ಮಾನಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದರೆ `ಉದ್ದ' ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಮೆಷರ್ ತಿಯರಿ).

 ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು 
ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ R ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಸರಳರೇಖೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು 0 ವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವೆಂದು ಆಯುತ್ತೇವೆ.

R ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಯನ್ನು ಇದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಧನವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ, ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಋಣವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ A, B ಬಿಂದುಗಳು a, b ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. ಇಲ್ಲಿ a ≤ b ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಅಂತರ: ಈಗ [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ಎಂಬ R ನ ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ಸಂವೃತಾಂತರ (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ವಿವೃತಾಂತರ (ಓಪನ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ a-b ಎನ್ನುವ ಅನೃಣವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು [a,b] ಅಥವಾ (a, b) ಅಂತರದ ಅಥವಾ AB ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆದು b-a = I [a, b] = {a}. ಇದು ಕೇವಲ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ b-a = 0. ಇಲ್ಲಿ [a, b] = {a}. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದಾದ ಗಣ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಅಂತರದ ಉದ್ದ 0 ಎಂದಾಯಿತು.

 ವಿಧಿಸಂಧಿತ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ ಮತ್ತು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳು 
S ಒಂದು ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು [a, b], (a, b), [a,b) ಅಥವಾ (a, b] ಯಂಥ ಒಂದು ಅಂತರವಾದರೆ (b-a) ಯು S ನ ಉದ್ದವೆಂದು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಈಗ S ಗಣ I1 = [a, b] ಮತ್ತು I2 = [c, d] ಸಂಯೋಗವಾಗಿದ್ದು I1 ಮತ್ತು I2 ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಧಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಡಿಸ್‌ಜಾಯಿಂಟ್) ಎಂದರೆ S = I1 ∪ I2 ಮತ್ತು I1 ∩ I2 = ϕ ಶೂನ್ಯ ಗಣ ಆದರೆ S ನ ಉದ್ದ I(S) = (b-a) + (d-c) = I(I1) + I(I2) ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ a,b,c,d ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a<c<b<d ಆಗಿದ್ದರೆ S = I1 ∪ I2 = {x∈ R | a ≤ x ≤ d} ∴ l(S) = l(AD) = d - a < (b-a) + (d-c) = l(I1) + l(I2). ಹೀಗಾಗಿ S ಎಂಬುದು ಎರಡು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗ. S = I1 ∪ I2 ಆದಾಗ l(S) ≤ l(I1) + l(I2) ಎಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.

S ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ x,y ∈ S ಆಗಿದ್ದು ಇವರೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಅಂತರ ಕೇವಲ S ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದಲೇ ಕೂಡಿರುವಂತಿದ್ದರೆ x ಮತ್ತು y ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ (ಕನೆಕ್ಟೆಡ್) ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಅಂಥ ಯಾವ ಅಂತರವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಇದ್ದರೆ x ಮತ್ತು y ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವಗಣ S ನ ಬಿಂದುಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗ ಅದನ್ನು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣವೆಂದು (disconnected set) ಕರೆಯೋಣ. ಇಂಥ ಒಂದು ಗಣದ ಉದ್ದ l(S) = ಇದರ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ = 0 + 0 + …… = 0 ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

 ಮಾನದ ಭಾವನೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ 
ಈಗ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: I = {x ∈ R | a < x < b} ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಉದ್ದ l(I) = b-a ≠ 0. I ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಪರಿಮೇಯ (ರ‍್ಯಾಶನಲ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I1 ಎಂದೂ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣವನ್ನು I2 ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ I = I1 ∪ I2, I1 ∩ I2 = ϕ ಹಾಗೂ I1 ಮತ್ತು I2 ಒಂದೊಂದೂ ವಿಸಂಧಿತಗಣಗಳು ಎಂದೂ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ∴ l(I1)=0=l(I2). ಆದರೆ b – a = l(I) = l(I1) + l(I2) = 0 + 0 = 0. ಇದು b-a ≠ 0 ಎಂಬ ಹಿಂದಿನ ವಾಸ್ತವಾಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ದತ್ತಗಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಅವುಗಳ ಉಪಗಣಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಸಲ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಏಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಹಾಗಾಯಿತು. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದ್ದವೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿ ಗಣಗಳ ಮಾನ (ಮೆಷರ್) ಎನ್ನುವ ನವ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಬಲು ಫಲಪ್ರದವೂ ಪ್ರಯೋಜನಕರವೂ ಆದ ಲೆಬೇಗ್ ಮಾನ ಎಂದು ಹೆಸರಾಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರತಿಪಾದಕ ಎಚ್.ಎಲ್.ಲೆಬೇಗ್ (1875-1941) ಎಂಬ ವಿಖ್ಯಾತ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ.

 ಗಣಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) 
A ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ (family). ಈಗ A ಗೆ ಸೇರಿದ ಸಮಸ್ತ S ಮತ್ತು T ಗಳಿಗೂ S ∪ T ∈ A ಮತ್ತು S – T ∈ A ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ A ಯನ್ನು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.. ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ A ಯ ಎಲ್ಲ {A1, A2, A3,……………} ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೂ  ಸಹ A ಯ ಒಂದು ಗಣವೇ ಆದರೆ A ಯನ್ನು ಒಂದು σ ವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಒಂದು ವಲಯದಲ್ಲಿ  ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

R ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಋಣ ಮತ್ತು ಧನ ಅನಂತಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತು  ಹಾಗೂ  ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ರೂಪಿತವಾಗುವ ಎರಡು ಹೊಸ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ  ಎಂಬ R ನ ಎಂದು ವಿಸ್ತರಣವನ್ನು (extension) ಪಡೆಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ  ನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾಗಣವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು (extended real numbers) ಕರೆಯೋಣ.

a ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ a ಯನ್ನು ಪ್ರಾಂತವಾಗಿಯೂ (ಡೊಮೇನ್) R ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ರೇಂಜ್) ಹೊಂದಿರುವುದಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಚಿತ್ರಣಗಳ (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನ (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

 ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು 
f: A → R ಒಂದು ದತ್ತ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ.

 ಎಂದರೆ A, B ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗಲೆಲ್ಲ f(A ∪ B) ≤ f(B) ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ f ಒಂದು ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು (ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್ ಸೆಟ್‍ಫಂಕ್ಷನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಚಿಹ್ನೆ ಇಲ್ಲದೆ , f(A ∪ B) = f(A) + f(B) ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ f ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆನ್ನಿಸುತ್ತದೆ (additive set function).

A ಯಲ್ಲಿ {An}, n=1,2,3,……. ಎಂಬುದು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಆಗಿದ್ದು ಇದರ ಗಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ i ≠ j ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ Ai ∩ Aj = ϕ ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಪಾಲಿಸಿದರೆ f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ (ಕೌಂಟೆಬ್ಲಿ ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್) ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ < ಇಲ್ಲದೆ ಕೇವಲ = ಚಿಹ್ನೆ ಇರುವುದಾದರೆ f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸುವುದು (countably additive set function).

 ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳು 
 ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ

(i) f(ϕ) = 0

(ii) A1, A2, …………An ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ f(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪.... ∪ An) = f(A1) + f(A2) + ……. + f(An)

(iii) f ಅನೃಣವಾಗಿದ್ದಾಗ A ⊂ B ಆದರೆ f(A) ≤ f(B). ಇದರಿಂದ f(A-B) = f(A) – f(B) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ  ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದೆ.

(iv) f ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೂ, {An} ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ A1 ⊂ A2 ⊂ A3…………⊂ An  ಮತ್ತು   ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ  ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

 ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನದ ರಚನೆ 
Rn ಎಂಬುದು n ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಕಾಶ ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಬಿಂದುಗಳು x = (x1, x2, ……….., xn) ರೂಪದಲ್ಲಿ n ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ x1, x2, ……….., xn ಗಳ ಕ್ರಮಯುತ ಜೋಡಣೆಗಳು. ai ≤ bi, i = 1, 2,…….n ಇವು ದತ್ತ 2n ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ai ≤ xi ≤ bi, i = 1,2…………..n ಆಗಿರುವಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದು x = (x1, x2, ……….., xn) ಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ Rn ನ ಉಪಗಣವನ್ನು Rn ನ ಒಂದು ಅಂತರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯ ≤ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಬೇಕಾದರೂ < ಎಂದೇ ಇರಬಹುದು. Rn ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನೂ ಮೂಲಗಣಗಳು (ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಸೆಟ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ ಅಂತರ I = { (x1,………….,xn) | ai ≤ xi ≤ bi} ಆದರೆ m(I) = (b1-a1)(b2-a2)………(bn-an) =  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ aj = bj ಇರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ 0 ≤ m(I) ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಯಾವುದಾದರೂ bj ಯು  ಆಗಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ  ಆದರೂ ಆಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ  ಎಂದರೆ m(I) ಒಂದು ಅನೃಣ ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ. ಈಗ A ಯು Rn ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲ ಗಣವಾದರೆ ಎಂದರೆ A = I1 ∪ I2 ∪ .... ∪ Ik ಎಂದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಆಕಾಶಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದರೆ,

m(A)= m(I1) + m(I2) +……….. + m(Ik)     .... * * ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಈಗ A = J1 ∪ J2 ∪ .... ∪ Js ಎಂಬುದಾಗಿ A ಯನ್ನು ಬೇರೊಂದು ವಿಧದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ,

m(I1) + m(I2) +……….. + m(Ik) = m(J1) + m(J2) +……….. + m(Js)

ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ● * ನಲ್ಲಿ m(A) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದ ಹಾಗಾಯಿತು.

ಈಗ ξ ಯು Rn ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಣಗಳ ಸಮೂಹವಾದರೆ ಅದು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯ, ಆದರೆ σ ವಲಯವಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ A,B ಗಳು ξ ನ ಯಾವ ಎರಡು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳಾದರೂ m(A ∪ B) = m(A) + m(B) ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ m ಎಂಬುದು ξ ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳಿವು:

(1) 0 ≤ m(A) ≤   

(2) m ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ m(A ∪ B) = m(A) + m(B). ಇದರಿಂದ S,T ∈  ξ ಆದರೆ m(S ∪ T) = m(S) + m(T) - m(S ∩ T) ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

 m ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣ - ಬಹಿರ್ಮಾನ (ಔಟರ್ ಮೆಷರ್) 
Rn ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಉಪಗಣ S ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ ξ ನಲ್ಲಿರುವ ವಿವೃತ ಮೂಲಗಣ A1, A2, A3, …………….. ಗಳು S ಗೆ ಒಂದು ಆವರಣವನ್ನು (ಕವರಿಂಗ್) ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುವಂತಿದ್ದರೆ ಎಂದರೆ  ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ

...

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ glb ಎಂದರೆ ಮಹತ್ತಮ ನಿಮ್ನಪರಿಬಂಧ (greatest lower bound). S ಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಆವರಣಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಂದು ಪ್ರತಿಸಲವೂ Σm(An) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಮ್ನ ಪರಿಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ m•(S). ಇದನ್ನು S ಗಣದ ಬಹಿರ್ಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಹಿರ್ಮಾನದ ಈ ಮುಂದಿನ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ಸ್ಟಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ:

(I) m•(S) ≥ 0, ∀(S) ⊂ Rn

(II) S1 ⊂ S2 ⊂ Rn

ಇವೆರಡೂ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ m•(S1) ≤ m•(S2)

(III)  ಆದರೆ 

ಎಂದರೆ m• ಒಂದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ.

(IV) ∀A ∈ ξ   ಎಂದರೆ A ಮೂಲಗಣವಾದರೆ m•(A)=m(A). ಹೀಗಾಗಿ m• ಎಂಬುದು ξ ನಿಂದ Rn ನ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಈಗ ಇದರ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸೀಮಿತ ಕುರಿತು ವಿಚಾರಿಸೋಣ.

 ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳು 
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: A ಯು Rn ನ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು {An}, n=1, 2, 3,………. ಎಂಬ ಮೂಲಗಣಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದರ ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ  ಆದರೆ A ಯನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣವೆಂದು (ಫೈನೈಟ್ಲಿ ಮೆಷರೆಬಲ್ ಸೆಟ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

Rn ನ ಯಾವಗಣ S ನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳಾದ S1, S2, S3…….. ಗಳ ಗಣನೀಯ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ  ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂಥ ಗಣ S ನ್ನು ಮಾಪನೀಯ ಗಣ (measurable set) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. Rn ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು M ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ A,B ∈ M ಆದರೆ m• ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

(1) m• : M → R ಎಂದು ಗಣನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ

(2) m• A ≥ 0

(3) m• (A ∪ B)= m• (A) + m• (B) – m• (A ∩ B) ಅರ್ಥಾತ್ m• ಸಂಕಲನೀಯ.

(4) m• : M → R ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ A1,A2,A3………… ಗಳು M ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದರೆ . ಹೀಗಿರುವುದರಿಂದ m• ಎನ್ನುವುದು ξ ನಿಂದ M ಗೆ m ಗಣೋತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯೇ ಸರಿಯೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. M ನ ಗಣಗಳಿಗೆ m• ನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ m• ನ್ನು M ಎಂದೇ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದು Rn ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನ. ನಿಜಕ್ಕೂ   ಒಂದು ಅನೃಣ ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಚ್ಫೇದ (I) ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸದ 'ಉದ್ದ'ದ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ತೋರಿಬರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಇದರಲ್ಲಿ ತೊಡೆದುಹೋಗಿದೆ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲೆಬೇಗ್‍ಮಾನ ಉದ್ದ, ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ಘನಫಲ, ಮುಂತಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ. ಏಕೆಂದರೆ

(1) n=1 ಆದರೆ l = {x | a ≤ x ≤ b} ಯು R1 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ರೇಖಾಖಂಡ. ಈಗ m(I) = (b-a) ಯು I ನ ಉದ್ದ.

(2) n=2 ಆದರೆ I = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} ಯು R2 ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಆಯತ. ಈಗ m(I) = (b-a)(d-c) ಆಯತದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ.

(3) n=3 ಆದರೆ I = {( x,y,z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f} ಎಂಬುದು R3 ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಆಯತಘನ, m(I) = (b-a)(d-c)(f-e) ಎಂಬುದು ಅದರ ಘನಫಲ.

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

 ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ 


 ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು 


 Tutorial: Measure Theory for Dummies

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ
ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ