ಘನ (ಬೀಜಗಣಿತ)

ರಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ n ನ ಘನ ಅದರ ಥರ್ಡ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಎರಡು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು:

 n3 = n × n × n.

 n3 = n × n2.

ಉದ್ದ n ನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಘನದ ಪರಿಮಾಣ ಸೂತ್ರವೂ ಇದಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೆಸರಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಅವರ ಘನವನ್ನು n ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಲವಾರು ಹುಡುಕುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಘನಮೂಲ n. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣದ ಘನದ ಬದಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮೂರನೇ ಒಂದು n ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಅಥವಾ ಇನ್ನಿತರ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ 3 ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ಅಥವಾ (x + 1) 3.

ವರ್ಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ f: x → x 3 (ಅಥವಾ y = x 3 ಸಮೀಕರಣ) ಅನ್ನು ವರ್ಗ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘನವು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳಿಲ್ಲ. 
 0 3 =  0  1 3 =  1  11 3 =  1331  21 3 =  9261  31 3 =  29,791 ರೂ  41 3 =  68,921  51 3 =  132,651  2 3 =  8  12 3 =  1728  22 3 =  10,648  32 3 =  32,768  42 3 =  74,088  52 3 =  140,608  3 3 =  27  13 3 =  2197  23 3 =  12,167  33 3 =  35,937 ರೂ  43 3 =  79,507  53 3 =  148,877  4 3 =  64  14 3 =  2744  24 3 =  13,824  34 3 =  39,304  44 3 =  85,184  54 3 =  157,464  5 3 =  125  15 3 =  3375  25 3 =  15,625  35 3 =  42,875  45 3 =  91,125  55 3 =  166,375  6 3 =  216  16 3 =  4096  26 3 =  17,576  36 3 =  46,656  46 3 =  97,336  56 3 =  175,616  7 3 =  343  17 3 =  4913  27 3 =  19,683  37 3 =  50,653  47 3 =  103,823  57 3 =  185,193  8 3 =  512  18 3 =  5832  28 3 =  21,952 ರೂ  38 3 =  54,872  48 3 =  110,592  58 3 =  195,112  9 3 =  729  19 3 =  6859  29 3 =  24,389  39 3 =  59,319  49 3 =  117,649  59 3 =  205,379  10 3 =  1000  20 3 =  8000  30 3 =  27,000  40 3 =  64,000  50 3 =  125,000  60 3 =  216,000 
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಒಬ್ಬರು m ವರ್ಗ ಘಟಕ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡದಾದ, ವರ್ಗವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 × 3 × 3 = 27 ರಿಂದ 27 ಸಣ್ಣ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಬಿಕ್ಸ್ ವರ್ಗದ ನೋಟದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು.

ಸತತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

 n3 − (n − 1)3 = 3(n − 1)n + 1.

 (n + 1)3 − n3 =  3(n + 1)n + 1.

ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗವು. ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನ ಇಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

 ಮೂಲ ಹತ್ತು 
ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 25, 75 ಮತ್ತು 00 ಮಾತ್ರ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು ಬೆಸ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಬಹುದು. ಸಮ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ನಿರ್ಬಂಧವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇವಲ 00, o 2, e 4, o 6 ಮತ್ತು e 8 ಮಾತ್ರ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು (ಇಲ್ಲಿ o ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು e ಯಾವುದೇ ಸಮ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ). ಕೆಲವು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 64 ಒಂದು ಚದರ ಸಂಖ್ಯೆ  ಮತ್ತು ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆ . ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಆರನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 2 6 ).

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲ 1, 8 ಅಥವಾ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲೋ 9 ಕೇವಲ −1, 1 ಮತ್ತು 0 ಆಗಿರಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲವನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

 X ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು,



 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದು 1 ರ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು,



 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಉಳಿದ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ 8 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅದು,



ಪ್ರತಿ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಒಂಬತ್ತು (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ) ಧನಾತ್ಮಕ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಂಬತ್ತು ಘನಗಳ ಈ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 23 ಅನ್ನು ಒಂಬತ್ತು ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

 23 = 2 3 + 2 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3.

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ