ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ

ರೂಢಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ (ನೋಡಿ- ಬೀಜಗಣಿತ) ಹಿನ್ನೆಲೆಯಿಂದ ವಿಕಸಿಸಿರುವ, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಆ ಭಾವನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ರೂಪಗೊಂಡ ಇತರ ಅಮೂರ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ, ಒಟ್ಟು ಹೆಸರು (ಮಾಡರ್ನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ); 1830ರಿಂದೀಚೆಗೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿಯೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಯೂ ವರ್ಧಿಸಿದೆ. 19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಆದಿಭಾಗದವರೆಗೂ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕೇವಲ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಅಂಕಗಣಿತವೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದೇ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿತ್ತು; ಎಂದರೆ ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಪರಿಕರ್ಮಗಳಾದ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನೂ ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳಾದ ವ್ಯವಕಲನ, ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನೂ ಯಥಾವತ್ತಾಗಿ ನಡೆಸಿಕೊಂಡು ಬರುವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಪಾರವಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... ಗಳ ಗಣ Z  ಅಥವಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ ಎಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಟ್ಟ ಸಮೂಹ ಕಿ  ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ (ರಿಯಲ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹ ಖ  ಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕೆಂಬ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಾದ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಪರಿಪಾಲಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ನಿಲ್ಲಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆಯಾಗಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.  ಯಾವ ಒಂದು ಗಣದ (ಸೆಟ್)  ಮೇಲಾದರೂ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿ ಅದರಿಂದ ದೊರೆಯುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನೇ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಸಂಗಿಸುವುದು ಈ ವಿಷಯದ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಧ್ಯೇಯ.

ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಕೇತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹರಿಸಿಕೊಂಡಿರಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉದ್ಧರಿಸಿ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಶಾಖೆಯನ್ನಾಗಿ  ಮಾಡುವ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಫಲಮಂಜರಿಯೇ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ.  ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಐರಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹ್ಯಮಿಲ್ಟನ್ (1805-1865) ಮತ್ತು ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಗ್ರಾಸ್‍ಮನ್ (1809-1977) ಇವರ ಚಿಂತನೆಯ ಫಲವಾಗಿ ಸುಮಾರು 1830-1840ರ ವೇಳೆಗೆ, ಈ ಬೀಜಗಣಿತ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿತು.  ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ   ಚಿ+b = b+ಚಿ  ಮತ್ತು ಚಿ.b = b.ಚಿ  ಎಂಬ ಪರಿವರ್ತನೀಯ (ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ನಿಯಮಗಳು ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆ.  ಆದರೆ ಈ ನಿಯಮಗಳು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ರಚಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಸದಿಶಗಳ (ವೆಕ್ಟರ್ಸ್) ಮತ್ತು ಪರಿಭ್ರಮಣೆಗಳ (ರೊಟೇಷನ್ಸ್) ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ತಾಳೆಯಾಗಲಿಲ್ಲ. ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳ ಪರಿಶೋಧನೆ ಫಲಿಸದಿರಲು ಒಂದು ಸಲ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನೇ ತ್ಯಜಿಸಬಾರದೇಕೆಂದು ಈತ ಯೋಚಿಸಿ ಒಂದ ಸಮಂಜಸ ಬೈಜಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (ಆಲ್ಜಿಬ್ರೈಕ್ ಸಿಸ್ಟಂ) ರಚಿಸಿದ. ಈ ಪರಿಶೋಧನೆಗಳಿಂದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್‍ರ ಕ್ವೇಡರ್ನಿಯಾನ್‍ಗಳ ಅಪರಿವರ್ತನೀಯ (ನಾನ್ ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪುಗೊಂಡಿತು. 1844ರಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಸ್‍ಮನ್ ವಿಸ್ತರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ (Ausdehnungslehre) ಎಂಬ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರಂಥವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ; ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನನ ಕ್ವೇಟರ್ನಿಯಾನ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿತವಾಗಿವೆ. 1857ರಲ್ಲಿ ಕೇಲಿ (1821-1895) ಕೋಶಗಳ (ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಒಂದು ಅಪರಿವರ್ತನೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರಚಿಸಿದ. ಈ ಮೊದಲಿಗರ ಶ್ರಮದ ಫಲವಾಗಿ ವಾಡಿಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಪಾಲಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಎಲ್ಲ ಬೈಜಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿಯೂ ತಾಳೆಯಾಗಬೇಕೆಂಬ ಭಾವನೆಗಳು ಸಡಿಲಿಸಿದವು. ಇದೇ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗೌಸ್ (1777-1855), ಬೊಲ್ಯಾಯ್ (1802-1860) ಮತ್ತು ಲೊಬಚೇವ್ಸ್ಕಿ  (1793-1856) ಇವರುಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾದ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತದ(ನೋಡಿ- ರೇಖಾಗಣಿತ)http://www.uasbagrilibindia.org/cgi-bin/koha/opac-detail.pl?biblionumber=130059%20%7C%20130059
(ನೋಡಿ- ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ-ಮತ್ತು-ಆಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ-ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು)

ಅವತರಣಿಕೆಯಿಂದ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಅವತರಣಿಕೆಯಿಂದ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸ್ವತಸ್ಸಿದ್ಧಗಳು (ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್) ಬದಲಿಸಲಾಗದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯಮಗಳೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದ್ದ ಬಲು ಹಳೆಯ ಭಾವನೆ ವಿಚಲಿತವಾಯಿತು. ಜೊತೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಸ್ವತಸ್ಸಿದ್ಧಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಬೈಜಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಪದ್ಧತಿ ಬಲವಾಗತೊಡಗಿತು. ಯಾವುದಾದರೂ ಗಣದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿ, ಅವು ಪಾಲಿಸಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕೃತ ಭಾವನೆಗಳೆಂದು (ವಾಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಸ್) ಪರಿಗಣಿಸಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಿಗಮನದಿಂದ ಲಭಿಸುವ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನೂ ವ್ಯಾಸಂಗಿಸುವುದೇ ಈ ಪದ್ಧತಿಯ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕಾರ. ಈ ಪ್ರಕಾರ ಅನೇಕ ಬೈಜಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿರುತ್ತಾರೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಕೆಲವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಕೊಟ್ಟಿದೆ.http://tera-3.ul.cs.cmu.edu/cgi-bin/udlcgi/ULIBAdvSearch.cgi?listStart=300&&&&&&language1=Kannada&perPage=20
ಸಂಕುಲಗಳು (ಗ್ರೂಪ್ಸ್) 
ಗಣಗಳು (ಸೆಟ್ಸ್): ಗಣ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಯಾವುದೇ ವಿಧವಾದ ವಸ್ತು ಅಥವಾ ಭಾವನೆಗಳ ಸಮೂಹಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೈಸೂರು ನಗರವಾಸಿಗಳ ಗಣ, ಒ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1,2,3,.. ಇವುಗಳ ಗಣ ಓ  ಲಂಬಕೋನ  ತ್ರಿಕೋಣಗಳ ಗಣ ಖಿ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. S ಎಂಬುದು S ಗಣದ ಒಂದು ಅಂಶವಾದರೆ, ಅದನ್ನು Sನ ಗಣಾಂಶವೆಂದು (ಎಲಿಮೆಂಟ್) ಕರೆದು S ( S ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು, S. ಗೆ ಸೇರಿದುದು ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ. ಉದಾ: 4( ಓ.  ಂ ಗಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶ ಚಿ, ಃ ಗಣದಲ್ಲಿರುವುದಾದರೆ ಂ, ಃಯ ಉಪಗಣವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ; ಮತ್ತು ಂ  ಃ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.  S  ಖಿ ಮತ್ತು ಖಿS ಆದಾಗ S ಮತ್ತು ಖಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವೆಂದು ಕರೆದು S=ಖಿ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಂ  ಃ ಎಂಬ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತದಿಂದ ಂ ಅಥವಾ ಃ ಅಥವಾ ಇವೆರಡರಲ್ಲೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಗಣಾಂಶಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಟ್ಟ ಗಣವನ್ನೂ ಂ ( ಃ ಯಿಂದ ಇವೆರಡರಲ್ಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇರುವ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗಣವನ್ನೂ ತಿಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಂ, ಃ ಗಳ ಸಂಯೋಗ (ಯೂನಿಯನ್) ಂ (ಃ; ಛೇದನ (ಇಂಟರ್‍ಸೆಕ್ಷನ್) ಂ ಃ.  ಗಣಾಂಶವೇ ಇಲ್ಲದೆ ಬರಿದಾಗಿರುವ ಗಣ ಶೂನ್ಯಗಣ (ನಲ್‍ಸೆಟ್).  ಇದರ ಚಿಹ್ನೆ ಚಿತ್ರಣಗಳು (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಸ್)  ಘಿ ಮತ್ತು  ಙ ಎರಡು ಗಣಗಳಾಗಿರಲಿ.  ಈಗ ಚಿತ್ರಣ (; ಘಿ  (ಙ,ಘಿ ನಿಂದ ಙಗೆ ಹೊರಡುವ ಚಿತ್ರಣವೆಂದರೆ,  ಘಿ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶ x ನೊಂದಿಗೂ, ಙಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಂಥ ಒಂದು ಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ಙಯನ್ನು  ಘಿನ (ಚಿತ್ರಣದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬ (ಇಮೇಜ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಙ=((ಘಿ) ಎಂದು; ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಙಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶ ಙಯೂ ಘಿ ನ ಯಾವುದೋ ಘಿ ನ( ಚಿತ್ರಣವಾಗಿರುವುದಾದರೆ (ವನ್ನು ಒಂದು ಮೇಲ್ಚಿತ್ರಣ (ಸರ್‍ಜೆಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಘಿ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ x 1 ( x 2 ಗಳಿಗೂ, ( ( x 1) ( (x 2) ಆಗಿದ್ದರೆ ವನ್ನು ಘಿನ ಪ್ರತಿ xಗೂ  ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ಚಿತ್ರಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.  ಎಂಬ Sನ ಎಲ್ಲಗಳಿಗೂ ಹೊಂದುವ ಚಿತ್ರಣ Sನ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆಯೇ. ಇದನ್ನು Sನ ಏಕ ಚಿತ್ರಣವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಜಿ 1 
S(S  ಮತ್ತು  ಜಿ 2 :S(S  ಇವು ಎರಡು ಚಿತ್ರಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ S ನ ಎಲ್ಲ s ಗಳಿಗೂ   (ಜಿ1 ಜಿ2) (ss) = ಜಿ1 (ಜಿ 2 (ss)) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ (ಜಿ 1  ಜಿ 2 )  (ss)  ಎಂಬುದೂ S ನಲ್ಲೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಜಿ1  ಜಿ2  ಸಹ S  ನಿಂದ Sಗೆ  ಹೊರಡುವ ಒಂದು ಚಿತ್ರಣವೇ. ಇದನ್ನು ಜಿ1  ಮತ್ತು ಜಿ2 ರ ಸಂಯೋಜನೆ (ಕಾಂಪೊಸಿಷನ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.  
ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಮತ್ತು ಅಪರ್ಯಾಪ್ತ ಗಣಗಳು : ಟಿ  ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಊಟಿ  ಎಂಬುದು (1,2,3,....., ಟಿ( ಎಂಬ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ S  ಒಂದು ಗಣವಾಗಿದ್ದು, S ಮತ್ತು ಊಟಿ ಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ದ್ವೈವ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದರೆ, Sನ್ನು  ಪರ್ಯಾಪ್ತ (ಫೈನೈಟ್) ಗಣವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಅಂಶಾಂಖ (ಆರ್ಡರ್) ( ಎಂದೂ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.  S  ಗಣವನ್ನು ಯಾವ ಊಟಿ ನೊಂದಿಗೂ ದ್ವೈಚಿತ್ರಣವೊಂದರ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಲಾಗದೇ ಹೋದರೆ, ಅದು ಅಪರ್ಯಾಪ್ತ ಗಣವೆನ್ನಿಸುವುದು.ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು :  S,  ಖಿ  ಗಳು ಎರಡು ದತ್ತಗಣಗಳಾದರೆ, (s,ಣ),   s ( S,  ಣ ( ಖಿಎಂಬ ಎಲ್ಲ ಯುಗ್ಮಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ S ಮತ್ತು ಖಿ ಗಳ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಗುಣಲಬ್ಧವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು S(ಖಿ  ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.

ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು
S ಒಂದು ಗಣವಾದರೆ, ಜಿ : S ಘಿ S(S ಎಂಬ S ಘಿ  S ನಿಂದ S ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಿತ್ರಣ ಜಿ ನ್ನು S ಮೇಲಿನ ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.  ಇದರಿಂದ s1, s2 ( S ಆದರೆ ಜಿ  (s1,  s2) ಇದನ್ನು s1. s2 ಅಥವಾ s1, s2  ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.  ಹೀಗಾಗಿ s1, s2( s  ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.  S ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ s1,s2,s3 ಗಳಿಗೂ (s1,s2). s3= s1. (s2.s3)  ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜಿ ನ್ನು ಒಂದು ಸಹವರ್ತನೀಯ (ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್) ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾ :  1 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳು ದ್ವಿಗುಣಪರಿಕರ್ಮಗಳು.  2.0ಯನ್ನುಳಿದು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಕಿ 0  ಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮ.
ಅರ್ಧ ಸಂಕುಲಗಳು (ಸಿಮಿಗ್ರೂಮ್ಸ್) : S ಒಂದು ಗಣವಾಗಿಯೂ ಜಿ ಅದರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ S,ಜಿ ಎಂಬ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಒಂದು ಅರ್ಧಸಂಕುಲವೆನಿಸುವುದು. ಉದಾ :  1  ಓ,+ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ 1,2,3,... ಗಳ ಗಣ ಸಂಕಲನಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅರ್ಧ ಸಂಕುಲ.  ಹೀಗೆಯೇ ಓ,. ಎಂಬುದು ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಸಂಕುಲ.  2  S ಒಂದು ಗಣವೂ ಂ (S)  ಎಂಬುದು S(S ಚಿತ್ರಣಗಳೆಲ್ಲವುಗಳ ಗಣವೂ ಆದರೆ ಂ (S)  ಎಂಬುದು ಚಿತ್ರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯೆಂಬ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಸಂಕುಲವಾಗಿರುವುದು.
ಏಕಾಂಶಗಳು :  1  ಓ,. ನಲ್ಲಿರುವ 1 ಎಂಬುದು ಓ ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವ ಟಿ  ನೊಂದಿಗೂ 1.ಟಿ=ಟಿ=ಟಿ.1 ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಓ,. ನ ಏಕಾಂಶವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.   ಓ, +  ನಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಶವಿಲ್ಲವೆಂದು ಗಮನಿಸಿ.
 ಂ  (S)  ನಲ್ಲಿರುವ (  ಎಂಬ ಏಕ ಚಿತ್ರಣ ಂ ( S ) ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವ ಚಿತ್ರಣ ಜಿ  ನೊಂದಿಗೂ (.ಜಿ =ಜಿ=ಜಿ.(   ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ.

ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಅರ್ಧಸಂಕುಲಗಳು
S,ಜಿ  ಅರ್ಧಸಂಕುಲದಲ್ಲಿ Sನ ಎಲ್ಲಿ s1, s2  ಗಳಿಗೂ (s1 ಜಿ, s2)=ಜಿ (s2,s1)  ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಅರ್ಧಸಂಕುಲವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಓ,. ಮತ್ತು ಓ,+ ಗಳು ಪರಿವರ್ತನೀಯಗಳು:  ಂ  (S) ಹಾಗಿಲ್ಲ.ಸಂಕುಲಗಳು : ಉ  ಒಂದು ಏಕಾಂಶವನ್ನುಳ್ಳ ಅರ್ಧಸಂಕುಲವಾಗಿರಲಿ. ಉ ಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಅಂಶ g  ದತ್ತವಾದಾಗ ಉ ಯಲ್ಲೇ ಇರುವ ಒಂದು ಅಂಶ g -1 (ಎನ್ನೋಣ) ಎಂಬುದು g-1g=e=gg-1  ಎಂದಾಗುವಂತಿದ್ದರೆ g-1 ನ್ನು g  ಯ ವಿಲೋಮವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಈಗ g,   g-1 ರ ವಿಲೋಮವೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೇಲಿನ  ಉ ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶಕ್ಕೂ ವಿಲೋಮವೊಂದಿರುವುದಾದರೆ ಉ ಒಂದು ಸಂಕುಲವೆನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವನ್ನು ಗ್ಯಾಲ್ವಾ (evಚಿಡಿisಣo ಉಚಿಟois,  1811-1832) ಎಂಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ 1830ರಲ್ಲಿ ಮೊಟ್ಟ ಮೊದಲು ಉಪಯೋಗಿಸಿದ.  19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಕೌಷಿ (1789-1857), ಕೇಲಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ (1832-1922),  ಸೈಲೋ (1832-1918) ಮತ್ತು ಸೋಷóಸ್ ಲೀ (1842-1899)  ಮುಂತಾದವರು ಈ ಭಾವನೆಯನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸಿದರು.  ಇದರಿಂದ ಗಣಿತದ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಶಾಖೆಗಳಿಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ತೋರಿಬಂದು ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಏಕೀಕರಣಗಳು ನಡೆದುವು; ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾ ಗಣಿತಗಳ ಕೆಲವು ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದ್ದು ಅದುವರೆಗೆ ಗೋಚರಿಸದಿದ್ದ ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎದ್ದು ಕಾಣಿಸುವಂತಾಯಿತು. ಭೌತ ಪ್ರಪಂಚದ ಮೂಲರಚನೆಯ ಪರಿಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿರುವ ಶಕಲ ಬಲ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ (ಕ್ವಾಟಂ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) ಸಂಕುಲಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾರ್ಗಗಳು ಬಹು ಫಲಕಾರಿಯಾದ ಅಸ್ತ್ರಗಳಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸಿವೆ.ಸಂಕುಲಗಳನ್ನು ಹೀಗೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು : ಉ ಒಂದು ಗಣವೂ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೂ ಆಗಿರಲಿ.  ಈಗ ಮುಂದೆ ಕಾಣಿಸಿರುವ ಸ್ವತಸ್ಸಿದ್ಧಗಳು ತಾಳೆಯಾದರೆ ಉ,. ಎಂಬ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸಂಕುಲವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.1   ಉಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಚಿ,b,ಛಿ, ಗಳಿಗೂ (ಚಿ,b).ಛಿ=ಚಿ.  (b.ಛಿ) ಎಂಬ ಸಹವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮ ನಿಲ್ಲಬೇಕು. 2   ಉ ಗೆ ಸೇರಿದ ಪ್ರತಿ ಅಂಶ ಚಿ ಗೂ,  ಚಿ.e=ಚಿ=e.ಚಿ ಎಂದಾಗುವಂತೆ ಉ ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣಾಂಶ e ಇರಬೇಕು. (ಇದು ಏಕೈಕ ಮತ್ತು ಇದೇ ಉ ಯ ಏಕಾಂಶ - ಯೂನಿಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್).  3  ಉ ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ g ಗೂ g.g-1=e=g-1.g ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲತಕ್ಕ ಒಂದು ಗಣಾಂಶ g-1 ಎಂಬುದು ಉಯಲ್ಲಿರಬೇಕು. (g-1ನ್ನು g ಯ ವಿಲೋಮವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  g,g-1  ರ ವಿಲೋಮ). 4  ಇದರ ಮೇಲೆ ಉ ಯ ಎಲ್ಲ ಚಿ,b ಗಳಿಗೂ ಚಿ,b=b,ಚಿ  ಎಂಬ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮವೂ ತಾಳೆಯಾದರೆ ಉ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಸಂಕುಲ (ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್) ಅಥವಾ ಅಬೆಲಿಯನ್ (ಎನ್. ಎಚ್. ಅಬೆಲ್‍ನಿಂದ ಬಂದದ್ದು, 1802-1829) ಸಂಕುಲವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ ಕೆಲವು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಸಂಕುಲಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ.
1   Z,  +     = ಸಂಕಲನ ಪರಿಕರ್ಮ, ಪೂಣಾಂಕಗಳ ಗಣ.
2    ಕಿ, +    =  ಸಂಕಲನ ಪರಿಕರ್ಮ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. 
3   ಖ,   +    =  ಸಂಕಲನ ಪರಿಕರ್ಮ, ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. 
4   ಕಿ0,.          =  ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮ, 0 ಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ.
5   ಖ0,.     =  ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮ, 0 ಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. 
6   Uಟಿ,.   = xಟಿ-1= 0   ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಳು, ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ.

ಪರಿವರ್ತನ ಸಂಕುಲಗಳು
ಜಿ:ಘಿ(ಙ  ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣವಾದರೆ x( ಜಿ (x)  = ಥಿ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಙ ಯ ಪ್ರತಿ ಥಿ ಯೊಂದಿಗೂ ಏಕೈಕವಾದ x(ಘಿ  ಒಂದು ಅನ್ವಯವಾಗುವುದರಿಂದ ಙ  ನಿಂದ ಘಿ ಗೆ ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಿಸುತ್ತದೆ;  ಇದನ್ನು ಜಿ   ನ ವಿಲೋಮವೆಂದು ಕರೆದು ಜಿ—1 ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.  ಜಿ—1 ಜಿ ಎಂಬುದು ಘಿ ನಲ್ಲೂ ಜಿಜಿ- -1  ಎಂಬುದು ಙ ನಲ್ಲೂ ಏಕ ಚಿತ್ರಣಗಳಾಗುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.  ಙ=ಘಿ ಆಗುವ ವಿಶೇಷ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಜಿ  ಎಂಬುದು x  ನ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆಯಾದರೆ ಜಿ- -1 ಸಹ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆಯೇ.  ಘಿ ನ  ಎಲ್ಲ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಗಣ ಖಿ (ಘಿ), ಚಿತ್ರಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂಬ ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು (ಅಪರಿವರ್ತನೀಯ) ಸಂಕುಲವಾಗುವುದು; ಇದನ್ನು ಘಿ ನ ಪರಿವರ್ತನ ಸಂಕುಲವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಘಿ ಪರ್ಯಾಪ್ತಗಣವಾಗಿ, ಅದರ ಅಂಶಾಂಕ (ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಟಿ ಆದರೆ ಅದರ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳು (ಪಮ್ರ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಖಿ(ಘಿ) ನ್ನು ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳ ಟಿ  ಘಾತದ ಸಂಕುಲ (ಅಥವಾ ಟಿ ಘಾತದ ಸಮಾಂಗತೆಯ ಸಂಕುಲ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ;  ಅದನ್ನು Sಟಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. Sಟಿನ ಅಂಶಾಂಕ ಟಿ! ಎಂದರೆ 1, 2, 3......ಟಿ ಆಗಿದೆ.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ S3ರಲ್ಲಿ ಮೂರು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲ ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳೂ ಇವೆ.  ಈ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ 1, 2, 3  ಎಂದುಕೊಂಡರೆ ಮೇಲಿನ 6 ಕ್ರಮ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು; ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಆಯಾ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು  ತೋರಿಸಿದೆ; ಇವು ಯಾವುವೆಂದರೆ,

ಸಮಬಾಹುತ್ರಿಕೋನ				
ಈಗ ಒಂದು ಸಮಬಾಹುತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು  1,2,3 ಎಂದು ಕರೆದರೆ ಮೇಲ್ಕಂಡ 6 ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆಯೇ ನಕ್ಷೀಕರಿಸುವ ಚಿತ್ರಣಗಳೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ((1, (2 ಗಳು ಕ್ವಾಗಿ 00, 1200, 2400 ಗಳ ಮೂಲಕ  ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವ ಪರಿಭ್ರಮಣೆಗಳನ್ನೂ (1, (2 (3 ಗಳು ಅದರ ಮಧ್ಯಕಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಬಹುದಾದ (ದರ್ಪಣ) ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನೂ (ರಿ¥sóÉ್ಲಕ್ಷನ್ಸ್) ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಇವು ತ್ರಿಕೋನ ಎಲ್ಲ ಸಮಾಂಗತೆಗಳನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದರಿಂದ S3 ಸಂಕುಲಕ್ಕೆ 3ನೆಯ ಘಾತದ ಸಮಾಂಗತೆಯ ಸಂಕುಲವೆಂಬ ಹೆಸರು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ.  ಇದನ್ನು 3ನೆಯ ಘಾತದ ದ್ವಿತಲ ಸಂಕುಲ (ಹೈಹೆಡ್ರಲ್  ಗ್ರೂಪ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

ಉಪಸಂಕುಲಗಳು
ಉ ಸಂಕುಲದ ಒಂದು ಉಪಗಣ ಊ, ಉ ಯ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿಯೇ ಒಂದು ಸಂಕುಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಉಯ ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕುಲ Z,+ ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಮ (ಈವನ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣ Z2 ಎಂಬುದು ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲ ಹೀಗೆಯೇ ಎಂಬ S3 ಯ ಉಪಗಣ ಅದರ ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲ,  ಉ ಸಂಕುಲದಲ್ಲಿ ಊ ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲವಾಗಿಯೂ ಚಿ,ಉಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶವಾಗಿಯೂ ಇದೆ ಎನ್ನೋಣ.  ಈಗ ಊನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ hಗಳನ್ನೂ ಉಪಯೋಗಿಸಿ hಚಿರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಉಯ ಎಲ್ಲ ಗುಣಾಂಶಗಳೂ ಸೇರಿ ಆದರೆ ಒಂದು ಉಪಗಣವಾಗುವುವಷ್ಟೆ;  ಇದನ್ನು ಉ ಯಲ್ಲಿ ಊ ನು ಕುರಿತ ಚಿ ಯ ಬಲಸಹಗಣ (ರೈಟ್‍ಕೋಸೆಟ್) ಎನ್ನುವೆವು. ಇದನ್ನು ಊಚಿ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ ಎಡಸಹಗಣವನ್ನೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲ ಓ ಎಂಬುದು ಉಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ  g ಗಳಿಗೂ ಓg=gಓ ಎಂದಾಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಓ ಉಪಸಂಕುಲ ಉ ಯಲ್ಲಿ ಶಿಷ್ಟ (ನಾರ್ಮಲ್) ಉಪಸಂಕುಲವಾಗುವುದೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಉಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ g1, g2ಗಳಿಗೂ ಓg1g2 ಸಹ ಓ ನ ಒಂದು ಸಹಗಣವೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಹಗಣಗಳ ಸಮೂಹದಲ್ಲಿ ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಉ/ಓ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಉಯಲ್ಲಿ ಓ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಲ್ಲ ಸಹಗಣಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಉ/ಓ ಒಂದು ಸಂಕುಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಏಕಾಂಶ ಓ. ಉ ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾದರೆ ಇದೂ ಪರಿವರ್ತನೀಯ. ಉ/ಓನ್ನು  ಉಯ ಒಂದು ಭಾಗ ಸಂಕುಲ ಅಥವಾ ಅಪವರ್ತನ ಸಂಕುಲವೆಂದು (ಕ್ವೋಷಂಟ್ ಗೂಪ್, ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಗೂಪ್) ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಸಮಾನ ರೂಪತ್ವ  (ಹೋಮೋಫಾರ್ಮಿಸóóಂ)  ಸಮಾನ ರೂಪತ್ವ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ  ಎಲ್ಲೆಡೆಗಳಲ್ಲೂ ಬಹು ಪ್ರಧಾನವಾದ ಭಾವನೆ. ಇದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರ ಬದಲಾಗಿ ಇವೆಲ್ಲ ಗುಣಗಳಿರುವ ಅಮೂರ್ತ ಅಂಕುಲ (ಆಬ್‍ಸ್ಟ್ರೇಕ್ಟ್ ಗ್ರೂಪ್) ಒಂದನ್ನು ವ್ಯಾಸಂಗಿಸಬಹುದಾದಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉ ಮತ್ತು  ಉ'ಗಳು ಸಂಕುಲಗಳಾಗಿದ್ದು ( : ಉ ( ಉ'  ಒಂದು ಚಿತ್ರಣವಾಗಿರಲಿ.  ಈಗ ಉ ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಚಿ, b ಗಳಿಗೂ ((ಚಿb) = ( (ಚಿ). ( (b)  ಎಂಬ ನಿಯಮ ನಿಲ್ಲುವುದಾದರೆ (ಯನ್ನು ಉ ಯಿಂದ ಉ' ಗೆ ಇರುವ ಒಂದು ಸಮಾನರೂಪತ್ವವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಒಂದು ಸಮನರೂಪತ್ವ ( ( ಉ ( ಉ' ಒಂದು ದ್ವೈತಚಿತ್ರಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಉ ಯಿಂದ ಉ' ಮೇಲಕ್ಕಿರುವ ಒಂದು ಏಕೈಕ ಸಮಾನರೂಪತ್ವ (ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ; ಉ ( ಉ' ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಂಕುಲವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆಯೇ ಚಿತ್ರಿಸುವ ಏಕೈಕಸಮಾನರೂಪತ್ವಗಳನ್ನು ಆ ಸಂಕುಲದ  ಸ್ವಏಕೈಕಸಮಾನರೂಪತ್ವ (ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.ಉ ಯಾವ ಸಂಕುಲವಾದರೂ ಅದು ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನ ಸಂಕುಲ ಖಿ ಗೆ ಏಕೈಕ ಸಮಾನರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಕೇಲಿಯ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಪ್ರಮೇಯ. ಇದರ ಉಪಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಕುಲವೂ ಒಂದು ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಕುಲಕ್ಕೆ ಏಕೈಕ ಸಮಾರೂಪತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು :  1ಖo,.  ಎಂಬುದು ಅಶೂನ್ಯ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಕುಲವೂ U2 ಎಂಬುದು (1, _1( ಎಂಬ ಅದರ ಉಪಸಂಕುಲವೂ ಆಗಿರಲಿ.
( : ಖo ( U2ನ್ನು  ( ( ಖo  ಧನಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ ( (() = 1,  ಋಣಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ ( (() = _1 ಎಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ( : ಖo (U2  ಒಂದು ಸಮಾನರೂಪತ್ವ.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ( :  ಉ ( ಉ' ಸಮಾನರೂಪತ್ವದಲ್ಲಿ ಉ' ನ ಏಕ್ಯ e'  ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರೀಕೃತವಾಗುವ ಉ ಯ ಎಲ್ಲ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗಣ ಉಯ ಒಂದು ಉಪಗಣ. ಇದನ್ನು ( ಯ ಸಾರ (ಕರ್ನಲ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಉ ಯ  ಒಂದು ಶಿಷ್ಟ ಉಪಸಂಕುಲ.ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ( ಯ ಸಾರ = ಏ ( = ಎಲ್ಲ ಧನವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ;  ಇದು ಖo,. ನ ಒಂದು ಶಿಷ್ಟ ಉಪಸಂಕುಲವೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.
2 ( : Z, (( Z(, (  ಅನ್ನು  Z ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟಿ ಗಳಿಗೂ ( (ಟಿ) = 2ಟಿ   ಎಂದು  ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ( ಎಂಬುದು ಒಂದು ಏಕೈಕಸಮಾನ ರೂಪತ್ವ.
3 ಉ  ಒಂದು ಸಂಕುಲವೂ, ಚಿ ಅದರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಾಂಶವೂ ಆಗಿರಲಿ. ( : ಉ     (ಉ   ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ( (() = ಚಿ -1 (( ಎಂದು ಉ ಗೆ ಸೇರಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ( ಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ( ಚಿತ್ರಣ ಉ ಯ ಒಂದು ಸ್ವಏಕೈಕಸಮಾನರೂಪತ್ವ (ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸóಂ) ಆಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕುಲಗಳ ಸಮಾನರೂಪತ್ವಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪ್ರಧಾನವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದೆ
1 ( : ಉ (ಉ' ಒಂದು ಉ' ಮೇಲಿನ ಸಮನರೂಪತ್ವವೂ ಖ ಅದರ ಸಾರವೂ ಆದಾಗ   ಉ/ಏ ಭಾಗ ಸಂಕುಲ  ಉ' ಗೆ ಏಕೈಕಸಮಾನರೂಪತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ : ಎಂದರೆ ಉ/ಏ ( ಉ.                     
2  ಮೇಲಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ  ಊ, ಏ ಯನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಉ ಯ ಒಂದು ಶಿಷ್ಟ ಉಪಗಣವಾದರೆ  ಅದರ ( ಚಿತ್ರಣ ಊ ಸಹ ಉ' ನಲ್ಲಿ ಶಿಷ್ಟ ಉಪಗಣವಾಗುವುದೇ ಅಲ್ಲದೆ ಉ/ಊ ( ಉ'/ಊ' ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.
3   ಉ1 ಮತ್ತು ಉ2ಗಳು ಉ ಯ ಉಪಸಂಕುಲಗಳಾಗಿದ್ದು ಉ2, ಉ ಯಲ್ಲಿ ಶಿಷ್ಟವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಉ1( ಉ2    ಸಹ ಉ1ರಲ್ಲಿ ಶಿಷ್ಟ ಉಪಸಂಕುಲವಾಗುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು  ಉ1 ಉ2/ ಉ2 ( ಉ1/ ಉ1  ( ಉ2 ಎಂದೂ ಆಗುತ್ತದೆ.  (ಉ( ಉ2 ಎಂದರೆ ಉ1ಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ g1  ಮತ್ತು ಉ2 ರ ಎಲ್ಲ g2ಗಳ ಎಲ್ಲ ಗುಣಲಬ್ಧ g1g2ಗಳನ್ನೂ ಹೊಂದಿದ ಗಣವೆಂದು ಅರ್ಥ.)

ಸಂಕುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತ
ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ (1849  -1925) ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞ 1872ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಯ ಎರ್‍ಲಾಂಗೆನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ಎರ್‍ಲಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವೆಂದು ಹೆಸರು ಪಡೆದಿರುವ ಒಂದು  ಭಾಷಣಮಾಲೆಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟ. ಇದರಲ್ಲಿ ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವಷ್ಟು ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನೆಲ್ಲ ಸಂಕುಲಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದ. ಸಮಾನರೂಪತ್ವಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಕುಲಗಳ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಸಂಗಿಸುವುದೇ ಯಾವ ರೇಖಾಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಆಯಾ ಸಂಕುಲದೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದೂ, ಅದೇ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯುವುದೂ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವೇ ಸರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಅಫೈನ್ ರೇಖಾಗಣಿತ, ವಿಕ್ಷೇಪ(ಪ್ರೊಜಿಕ್ಟಿವ್) ರೇಖಾಗಣಿತ ಮುಂತಾದ ಪ್ರಕಾರಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನ, ಪರಿಭ್ರಮಣ, ಸರಳಚಲನಗಳಿಂದ (ಟ್ರೇನ್ಸ್‍ಲೇಷನ್) ಏರ್ಪಡುವ ದೃಢ ಚಲನೆಗಳ ಸಂಕುಲವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಈ ಚಲನೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಗದ, ರೇಖಾಕೃತಿಗಳ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತೇವೆ; ಹೀಗೆಯೇ, ಇತರ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿಯೂ.

ವಲಯಗಳು, ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು(ರಿಂಗ್ಸ್, ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಡೊಮೇನ್ಸ್ ಎಂಡ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್) 
( ಮತ್ತು o  ಎಂದು ಸೂಚಿತವಾದ ಎರಡು ದ್ವಿಗುಣಪರಿಕರ್ಮಗಳಿರುವ ಒಂದು ಗಣ (, ಮುಂದೆ ಕಾಣಿಸಿರುವ ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿದ್ದರೆ (,, o ಎಂಬ ಸಮುಚ್ಚಯವನ್ನು ಒಂದು ವಲಯವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ : 1, ಂ,  ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಸಂಕುಲವಾಗಿರಬೇಕು.  2  (( o ಒಂದು ಅರ್ಧಸಂಕುಲವಾಗಿರಬೇಕು. 3 ( o ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಚಿ, b,ಛಿ ಗಳಿಗೂ ಚಿ o b(ಛಿ) = ಚಿ o b ( b o ಛಿ  ಮತ್ತು (b (ಛಿ)  ಚಿ = b o ಚಿ  ( ಛಿ o ಚಿ ಎಂಬ ವಿಭಾಜಕನಿಯಮಗಳು ನಿಲ್ಲಬೇಕು. (, o ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾದರೆ (ಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಲಯವೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.    (, o ದಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಶವಿದ್ದರೆ (ಯನ್ನು ಏಕಾಂಶವುಳ್ಳ ವಲಯವೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾ : ಎಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ Z, ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಶವನ್ನುಳ್ಳ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವಲಯವಾಗಿದೆ.ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ, ( ಮತ್ತು. ಗಳನ್ನೇ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ( ಮತ್ತು o ಗಳಿಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸುವುದೇ ಅಲ್ಲದೇ ಈ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಕರೆಯೋಣ; ಇದರಿಂದ ವಲಯಗಳು ಎಂಬ ಭಾವನೆ ಹೇಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.  ವಾಸ್ತವಕ್ಕೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾದ ಕಿ (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಖ (ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಅ (ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಏಕಾಂಶಗಳನ್ನುಳ್ಳ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವಲಯಗಳೇ. ಈ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯ ಪರಿಕರ್ಮ ಸಂಕಲನ ( ಆಗಿಯೂ,  0 ಸಂಕಲನದ ಏಕಾಂಶವಾಗಿಯೂ ಇರುವುದರಿಂದ ಯಾವ ವಲಯದಲ್ಲೂ ಅದರ ಸಂಕಲನದ ಏಕಾಂಶವನ್ನು 0 ಎಂದೂ ಅದರಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರದ ಏಕಾಂಶವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ( ಎಂದೂ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. 0 ಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆ, ಶೂನ್ಯ ಎಂದೂ (ನ್ನು ಏಕ (ಒಂದು) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ( ವಲಯದ ಒಂದು ಉಪಗಣ ( ಯೂ ಸಹ ( ಯ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿ ಒಂದು ವಲಯವಾಗುವುದಾದರೆ, ( ಯನ್ನು ( ಯ ವಲಯವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾ : (,(((ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಮಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ (( ಎಂಬ ಉಪಗಣ ಒಂದು ಉಪವಲಯ.

ಲಘುಮಾನಕವಲಯಗಳು (ಮಾಡ್ಯಲರ್ ರಿಂಗ್ಸ್
ಟಿ  ದತ್ತ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ, ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ (moಜ  ಟಿ) ಎಂಬ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ;  ಚಿ, b  ಗಳು ಯಾವ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದರೂ ಅವುಗಳ  ಮೊತ್ತ ಚಿ (  b   ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ  ಚಿb ಗಳನ್ನು ಟಿ   ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಬಂದ ಶೇಷಗಳು ಡಿ1  ಮತ್ತು ಡಿ2  (0 < ಅಥವಾ = ಡಿ1 < ಟಿ),   (0 <  ಅಥವಾ   ಡಿ2  < ಟಿ)   ಇರುವಂತಿದ್ದರೆ,   ಡಿ1ಎಂಬುದು ಚಿ, b   ಗಳು (moಜ  ಟಿ)  ಸಂಕಲನದ ಮೊತ್ತವೆಂದೂ, ಡಿ2 ಎಂಬುದು ಅವುಗಳ   (moಜ ಟಿ)   ಗುಣಾಕಾರದ ಲಬ್ಧವೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.   ಹಾಗೂ  ಡಿ1  =  (ಚಿ ( b )   (moಜ    ಟಿ);  ಡಿ2  = ಚಿb (moಜ    ಟಿ)  ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಉದಾ  : 3   (  5  =  2  (moಜ    6),  3     (   5   =3   )moಜ  6).ಈಗ, ಟಿ  ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ 0,  1,  2, .................,(ಟಿ-1)  ಗಳ ಗಣವಾದ ಟಿ)  ಎಂಬುದು,  (moಜ  ಟಿ)   ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಲಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಏಕವನ್ನುಳ್ಳ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವಲಯ. ಇಂಥ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Z/(6)ನಲ್ಲಿ   2(3 =0   (moಜ   6).  ಹೀಗೆ ಎರಡೂ ಅಶೂನ್ಯ ಎರಡೂ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ, ವಲಯದ ಶೂನ್ಯವಾಗುವಂಥ ವಲಯಗಳಿರಬಹುದೆಂದು ತೋರ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಚಿ ( 0, b ( 0  ಎಂಬುದು  ( ವಲಯದ ಗಣಾಂಶಗಳಾಗಿದ್ದು, ಚಿb  =0   ಆದರೆ, ಚಿ ಶೂನ್ಯದ ಎಡ ಅಪವರ್ತನವೆಂದೂ (ಲೆಫ್ಟ್  ಜೀóóರೋ ಡಿವೈಸರ್) b  ಅದರ ಬಲ ಅಪವರ್ತನವೆಂದೂ ಹೇಳತ್ತೇವೆ.ಶೂನ್ಯದ ಅಪವರ್ತನಗಳಿಲ್ಲದ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವಲಯಗಳನ್ನು ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತಗಳೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ; ಉದಾ: Z, ( ((ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯ; ವಾಸ್ತವಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೇ ಅಂಕಮುಖಪ್ರಾಂತ. ಹೀಗೆ ವಲಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಅರ್ಧಸಂಕುಲಗಳ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುವುದರಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಕೃತಿಯ ವಲಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗುತ್ತವೆ.  ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ವಲಯದಲ್ಲಿರುವ ಅಶೂನ್ಯ ಇತರ ಗಣಾಂಶಗಳೆಲ್ಲ ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಕುಲವನ್ನೇರ್ಪಡಿಸಿದರೆ ಆ ವಲಯವನ್ನು ಭಾಗಾಹಾರವಲಯ(ಡಿವಿಜûನ್ ರೊಂಗ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಭಾಗಾಹಾರವಲಯಗಳೇ ಬಹು ಮುಖ್ಯವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಂಬ (ಫಿûೀಲ್ಡ್ಸ್)  ಬೈಜಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅಲ್ಲಿ  (ಅಲ್ಜಿವ್ರೈಕ್  ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್).  ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾದ ಕಿ  (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಖ  (ವಾಸ್ತವದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು)  ಅ (ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) - ಇವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಇವು ಅಪರ್ಯಾಪ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು. ( ಎಂಬುದು ಅಬಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ Z/ (() (  ((((((((((((((((((  ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ. ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರ.
ಭಾಗಾಕಾರ ವಲಯ
ಭಾಗಾಕಾರ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ  ಶೂನ್ಯದ ಅಪವರ್ತನಗಳಿರುವುದಿಲ್ಲವೆಂದೂ, ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಲ್ಲ ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತಗಳೆಂದೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.  ಮೇಲಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಅಂಕಮುಖಪ್ರಾಂತವೂ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ.ವಲಯಗಳ ಸಮಾನರೂಪತ್ವವನ್ನು (ಹೋಮೊಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಫ್ó ರಿಂಗ್ಸ್) ಸಂಕುಲಗಳ ಸಂದರ್ಭದಂತೆಯೇ  ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ.  ( ವಲಯದಿಂದ ( ವಲಯಕ್ಕೆ ಚಿತ್ರಿಸುವ ( ಎಂಬ ಚಿತ್ರಣ  (  ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಅ, b  ಗಳಿಗೂ  ((( ( (ಚಿ(b)  = ( ((( ( ( (b) ( ((( ( ((b( (  ( ((). ( (b)   eಒb  ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವಂತಿದ್ದರೆ  ( ಯನ್ನು ( ಯಿಂದ ( ಗೆ  ಇರುವ ಸಮಾನರೂಪತ್ವವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ( ಚಿತ್ರಣದಲ್ಲಿ ಂನ ಶೂನ್ಯದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಚಿತ್ರೀಕೃತವಾಗುವ ಂ ಯ ಎಲ್ಲ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗಣವನ್ನು ( ಯ ಸಾರ (ಕರ್ನಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಏ( ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ.  ಏ(,  ಂ ಯ ಉ ವಲಯ.  ಮೇಲಾಗಿ ಞ( ಏ( ಮತ್ತು ಚಿ(ಂ ಆದರೆ, ಚಿಞ ಮತ್ತು ಞಚಿ ಗಳೆರಡೂ ಏ( ಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.  ಈ ಗುಣವನ್ನನುಸರಿಸಿ ಮುಂದಿನ ಭಾವನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ : ಂ  ವಲಯದ ಉಪವಲಯ U ಎಂಬುದರ ಯಾವ u ಆಗಲಿ ಚಿ(ಂ ಆದಾಗ ಎಲ್ಲ uಚಿ(U ಮತ್ತು ಚಿu(U  ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ U ನ್ನು ಂ ಯ ಒಂದು ಆದರ್ಶ (ಐಡಿಯಲ್) ಉಪವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ; ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಆದರ್ಶ ಎನ್ನೋಣ. ವಲಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶಗಳು ಬಹು ಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ.

ಕೋಶ (ಮೇಟ್ರಿಕ್ಸ್) ವಲಯಗಳು 
ಈ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು ಚಿಡಿs(,ಈ  ಡಿ =1, 2,....., m ಮತ್ತು s = 1, 2,... ಟಿ  ಆಗಿರಲಿ; ಎಂದರೆ ಚಿಡಿs ಗಳು ಈ ಗೆ ಸೇರಿದ mಟಿ ಗಣಾಂಶಗಳು. ಇವನ್ನು m ಅಡ್ಡಗಳೂ (ರೋಸ್) ಟಿ ನೀಟಗಳೂ (ಕಾಲಂಸ್) ಇರುವಂತೆ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಜೋಡಣೆಯ ಹಾಗೆ ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು.ಮೇಲ್ಕಂಡ ಂ ಎಂಬ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಈ ಮೇಲಿನ ಒಂದು (mಘಿಟಿ) ಕೋಶ (ಮೇಟ್ರಿಕ್ಸ್)  ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಇಲ್ಲಿ ಡಿ ಎಂಬ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಂ ಯಲ್ಲಿ ಚಿಡಿs ಇರುವ ಅಡ್ಡವನ್ನೂ s s ಎಂಬುದು ಅದು ಇರುವ ನೀಟವನ್ನೂ ಗುರ್ತಿಸುತ್ತವೆ.  ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಂ ಯನ್ನು [ಚಿಡಿs] ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

ಸಮತ್ವ
 ಂ  =  [ಚಿಡಿs]  ಮತ್ತು ಃ =   [bಡಿs] ಗಳು ಎರಡು (mಘಿಟಿ) ಕೋಶಗಳಾಗಿರಲಿ, ಈಗ ಚಿಡಿs =  bಡಿs1  <  ಅಥವಾ = ಡಿ <  ಅಥವಾ = m,   1 <  ಅಥವಾ = ss < ಅಥವಾ = ಟಿ  ಆದರೆ, ಂ ಮತ್ತು ಃ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವೆಂದು  ಹೇಳಿ ಂ = ಃ  ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. 
ಸಂಕಲನ :  ಛಿಡಿs = ಚಿಡಿs +  bಡಿsಎಂದು  ಎಲ್ಲ ಡಿ  ಮತ್ತು s s ಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ [ಛಿಡಿs]  ಎಂಬುದೂ ಒಂದು (mಘಿಟಿ) ಕೋಶ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನೇ ಂ, ಃ ಗಳ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಹೇಳಿ = [ಛಿಡಿs]   =  ಂ + ಃ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಂ + ಃ  ಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೋಶಗಳ ಸಂಕಲನವೆಂದು ಹೆಸರು.  
ಗುಣಾಕಾರ :  ಂ  =  [ಚಿಡಿs],  ಃ =  [bsಣ],  1 <  ಅಥವಾ =  ಡಿ  <  ಅಥವಾ =  m,  1 <  ಅಥವಾ =s s < ಅಥವಾ = ಟಿ  ಮತ್ತು 1 <  ಅಥವಾ =  ಟಿ  ಮತ್ತು  ಣ  <  ಅಥವಾ ಠಿ   ಆಗಿದ್ದರೆ  ಛಿಡಿಣ   =ಚಿಡಿsbsಣ  ಎಂಬ ಈನಲ್ಲಿರುವ mಠಿs  = 1 ಗಣಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ,  ಇವುಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ [ಛಿಡಿs]  ಎಂಬ mಘಿಠಿ ಕೋಶವನ್ನು ಂ,ಃ ಗಳ ಕೇಲಿ ಗುಣಲಬ್ದವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಂಃ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೋಶ ಗುಣಾಕಾರವೆಂದು ಹೆಸರು.
(ಂಯನ್ನು ಃ  ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ ಂ ಯ ನೀಟಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಃ ಯ ಅಡ್ಡಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕಾದುದು ಅಗತ್ಯ.)
ಆದಿಶ (ಸ್ಕೇಲಾರ್) ಗುಣಾಕಾರ
[ಚಿಡಿs]  ಎಂಬುದು  ಈ  ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಕೋಶ  ಆಗಿದ್ದು ((ಈ  ಆದರೆ, [(ಚಿಡಿs] ಎಂಬುದೂ ಈ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಕೋಶವೇ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು (ಂ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ; ಈ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಆದಿಶ (ಸ್ಕೇಲಾರ್) ಗುಣಾಕಾರವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.  1, ಈನ ಏಕವಾದರೆ -1 ಅದರ ಸಂಕಲನದ ವಿಲೋಮ. (-1)ಂ ಯನ್ನು ಹ್ರಸ್ವವಾಗಿ - ಂ  ಎಂದು ಬರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಂ + (-ಂ) = [ಚಿಡಿs+ (-ಚಿಡಿs)] = [ಚಿಡಿs - ಚಿಡಿs]  =  [0] ಇದು ಎಲ್ಲ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿಯೂ 0 ಇರುವ ಕೋಶ. ಇದನ್ನು ಶೂನ್ಯ (ನಲ್) ಕೋಶ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಇದರಲ್ಲಿ m  ಅಡ್ಡಗಳೂ ಟಿ ನೀಟಗಳೂ ಇದ್ದರೆ ಇದನ್ನು 0m,ಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.ಒm,ಟಿ ಎಂಬುದು ಈ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲ mಘಿಟಿ ಕೋಶಗಳ ಗಣವಾದರೆ ಸಂಕಲನ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಸಂಕುಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆಯೇ ಒಟಿ,ಟಿ ಎಂಬುದು ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಸಂಕುಲವೂ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ಸಂಕುಲವೂ ಆಗಿದೆ.  ಹಾಗೂ ಂ,ಃ,ಅ  ( ಒಟಿ,ಟಿಟಿ ಆದಾಗ ಂ.  (ಃ+ಅ) = ಂಃ + ಂಅ ಮತ್ತು (ಃ+ಅ)   ಂ = ಃಅ + ಅಂ  ಎಂಬ ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮವೂ ಸಲ್ಲುತ್ತವೆ.ಹೀಗಾಗಿ ಒಟಿ,ಟಿ ಎಂಬುದು ಮೇಲೆ ಉಕ್ತವಾದ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಲಯವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕಾಂಶವೂ ಉಂಟು. ಪ್ರಧಾನ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ (ಮೈನ್ ಡಯಗನಲ್) 1 ಮತ್ತೆಲ್ಲ ಕಡೆ 0 ಇರುವ ಎಂಬುದೇ ಈ ಏಕಾಂಶ. ಬಹುಪದಿಗಳ ವಲಯಗಳು (ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ ರಿಂಗ್ಸ್) : ಈ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿಯೂ x ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಯೂ (ಇಂಡಿಟಿರ್ಮಿನೇಟ್) ಇರಲಿ. ಟಿ ಒಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿಯೂ ಚಿo, ಚಿ1,...... ಚಿಟಿ   ( ಈ ಮತ್ತು ಚಿಟಿ  ( 0 ಎಂದಿರಲಿ.  ಈಗ ಜಿ (x) = ಚಿ0 + ಚಿ1x + ಚಿ2x2 + ..... + ಚಿಟಿxಟಿ ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಈ ಮೇಲಿನ x ನಲ್ಲಿರುವ ಟಿ ಘಾತದ ಬಹುಪದಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  g(x) = b0 + b1x + b2x2 +...  + bmxm  ಎಂಬುದು ಇನ್ನೊಂದು ಬಹುಪದಿಯಾದರೆ ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಜಿ(x) + g(x)  ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ ಜಿ(x). g(x) ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ :  m < ಅಥವಾ = ಟಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ.
ಜಿ(x) + g(x)  =  (ಚಿ0+ b0)  +  (ಚಿ1+b1) x + (ಚಿ2+b2)x2  +..... +  (ಚಿಟಿ + bm) xm 
+ಚಿm + 1 xm+1  +....  + ಚಿಟಿ xಟಿ

ಜಿ(x). g(x)    =  ಚಿ0b0  + (ಚಿ0b1 +ಚಿ1b0 ) x + (ಚಿ0b2 + ಚಿ1b1  + ಚಿ2b0) x2 
+..... +  ಚಿಟಿbm xm+ಟಿ.  ಹೀಗೆಯೇ  m > ಟಿ  ಆದಾಗಲೂ.    
ಈಗ ಜಿ(x) + g(x) =  g (x) + ಜಿ(x)  ಮತ್ತು ಜಿ(x). g (x)  =  g (x) ಜಿ (x) 
ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಹುಪದಿಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ[x] ಎಂಬ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಈ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲ ಬಹುಪದಿಗಳ ಗಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮೇಲ್ಕಂಡ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ[x] ಸಹ ಒಂದು ವಲಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಮತ್ತು ಏಕಾಂಶವುಳ್ಳದ್ದು.

ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ (ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯನ್) ವಲಯಗಳ 
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯ Z, +,.  ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಈ [x] ಎಂಬ ಬಹುಪದಿಗಳ ವಲಯಗಳು ಇವುಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಇ  ಒಂದು ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಶೂನ್ಯಗಣಾಂಶ ಚಿ ಯೊಂದಿಗೂ ಜ (ಚಿ) ಯೆಂದು ಸೂಚಿತವಾದ ನಾನೃಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರಲಿ; ಮತ್ತು ಇ ಗೆ ಸೇರಿದ ಪ್ರತಿ ಚಿ(0, b(0  ಗಳಿಗೂ, (1)  ಜ(ಚಿ) < ಅಥವಾ  = ಜ(b)  ಮತ್ತು  (2) ಚಿ =  qb + ಡಿ ಮತ್ತು ಡಿ = 0  ಅಥವಾ ಜ (ಡಿ) < ಜ  (b)  ಆಗಿರುವಂತೆ ಇ ಯಲ್ಲಿ q ಮತ್ತು ಡಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಗಣಾಂಶಗಳಿರುವ ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಇ ಯನ್ನು ಒಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುವೆವು. ಮುಂದೆ, ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯಗಳ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟಗುಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.1  ಇ  ಒಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯವೂ U ಅದರ ಒಂದು ಆದರ್ಶವೂ ಆಗಿರಲಿ. U ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶ u  ಅನ್ನೂ u = u0x ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿ U ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ದತ್ತಗಣಾಂಶ uo ಮತ್ತು ಇ ಯ  ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಗಣಾಂಶ x ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇಂಥ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ (ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್) ಆದರ್ಶಗಳೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯವೂ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ವಲಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಪವರ್ತನಗಳು; ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳು
ಇ ಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದಾದರೂ ಗಣಾಂಶ ಚಿ ಯನ್ನು ಚಿ =  bಛಿ, b(ಇ,   ಛಿ (ಇ  ಇರುವಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ,  b ಮತ್ತು ಛಿ  ಗಳನ್ನು ಚಿ  ಯ ಭಾಜಕಗಳು (ಡಿವೈಸರ್ಸ್)  ಅಥವಾ ಅಪವರ್ತನಗಳು (ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಸ್)  ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಚಿ(ಇ  ಆಗಿದ್ದು  ಚಿb = 1 ಆಗುವಂತೆ ಇ ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣಾಂಶ b ಇದ್ದರೆ ಚಿ ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಇ ಯಲ್ಲಿ ಏಕಗಳು (ಯೂನಿಟ್ಸ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.  (ಏಕಗಳಿಗೂ ಏಕಾಂಶಕ್ಕೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು).ಏಕಗಳಲ್ಲದ ಎರಡು ಗಣಾಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತಿಸಲಾಗದ  ಇ ಯ ಗಣಾಂಶಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳೆಂದು (ಪ್ರೈಮ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಏಕಗಳಲ್ಲದ ಉಳಿದ ಗಣಾಂಶಗಳೂ ವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳು (ಕಾಂಪೊಸಿಟ್ಸ್).2  ಇ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯವಾದರೆ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶವೂ ಒಂದು ಏಕವೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೋ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಲಬ್ಧವೋ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕವಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶವನ್ನೂ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಏಕೈಕ ಲಬ್ಧವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈ ತೆರನಾದ ವಲಯಗಳನ್ನು (ಏಕೈಕ ಅಪವರ್ತನೀಯಪ್ರಾಂತ (ಯುನೀಕ್ ಫೆಕ್ಟರೈಸೇಷನ್ ಡೊಮೇನ್) ಎನ್ನುವರು. ಆದುದರಿಂದ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ವಲಯಗಳು ಏಕೈಕ ಅಪವರ್ತನೀಯ ವಲಯಗಳು.

ಕ್ಷೇತ್ರ  ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು (ಪೀಲ್ಡ್ ಎಕ್ಸ್‍ಟೆನ್‍ಷನ್ಸ್) 
ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯವಾದ Z ನಲ್ಲಿ 1  ಮತ್ತು - 1 ಗಳನ್ನುಳಿದು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಅಂಶಗಳಿಗೂ ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮಗಳಿಲ್ಲ.  0 ಯೊಂದಕ್ಕೆ ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಎಲ್ಲವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು Zನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ ಹೀಗೆ ಸಿದ್ಧಿಸಿದ ಗಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ (ಫೈನೈಟ್ ಪ್ರೊಡಕ್ಟ್)  ಇದರೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದ ಮೇಲೆ ದೊರೆಯುವ ಗಣವೇ ಎಲ್ಲ ಭಾಗಲಬ್ಧಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಿ ವಲಯ. ಈ ವಲಯದಲ್ಲಿ Z ಒಂದು ಉಪವಲಯ. ಕಿ ವನ್ನು Z ನ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. Z ನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಲಗೊಳ್ಳುವ ಕ್ಷೇತ್ರವೇ ಕಿ. ಇದನ್ನು Zನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಫೀಲ್ಡ್ ಆಫ್ ಕ್ವೋಷಂಟ್ಸ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.  ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತವನ್ನೂ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಳಹೊಗಿಸಬಹುದೆಂಬುದು ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ.ಈ ಎಂಬುದು ಏ ಎಂಬ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾದರೆ ಏ, ಈ ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಿ ನ ಒಂದು ಬಗೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕುರಿತು ವಿಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಜಿ(x) = x2-2x-1 = 0 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು (ಕೋಯಿಫೀಶಿಯೆಂಟ್ಸ್) ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅದರ ಮೂಲಗಳಾದ 1((2 ಗಳೂ ಕಿ ನಲ್ಲಿಲ್ಲ.  ಚಿ ಮತ್ತು b ಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಚಿ + (2  b  ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಕಿ((2)ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗಣಾಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು  ಹಾಗೂ ಇದು ಕಿ ವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡು ಅದರ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೂ ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಖನಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲ. ಮೇಲಾಗಿ ಕಿ((2)ರಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಿದ್ದು, ಕಿನ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವ ಇನ್ನಾವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲೂ ಈ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲದ ಹಾಗೂ ಇದೆ.  ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಿ ((2) ನು ಜಿ(x) ನ ಛೇದನಕ್ಷೇತ್ರ (ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಫೀಲ್ಡ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿದರೆ ಜಿ (x) ನ್ನುಜಿ (((((((((((((((((((((((((
ಎಂದು ಎರಡು ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಕಿ ನ ಒಂದು ಸುಲಭ (ಸಿಂಪಲ್) ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಹೇಳುವರು.  ಮೇಲಾಗಿ, ಕಿ(((( ನ್ನು  ಪಡೆಯಲು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಿರಬೇಕಾದುದರಿಂದ ಕಿ (((( ನ್ನು  ಕಿ ನ  ಒಂದು ವರ್ಗವಿಸ್ತರಣೆ (ಕ್ವಾಡ್ರೆಟಿಕ್ ಎಕ್ಸ್‍ಟೆನ್‍ಷನ್) ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಗ್ಯಾಲ್ವಾ ಸಂಕುಲಗಳು
ಈ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವೂ  ಜಿ ((( ( ಈ [  (  ] ಒಂದು ಬಹುಪದಿಯೂ (, ಜಿ ((( ನ ಛೇದನ ಕ್ಷೇತ್ರವೂ ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ  ಉ (ಏ, ಈ)  ಎಂಬುದು ಈ  ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶವನ್ನೂ ಅಚರವಾಗಿಡುವ ( ವೈಂಟೆಯ್ನಿಂಗ್ ಇನ್‍ವೇರಿಯಂಟ್) ಏ ಯ ಎಲ್ಲ ಸ್ವಏಕೈಕ ಸಮಾನರೂಪತ್ವಗಳ ಸಂಕುಲವಾದರೆ  ಉ(ಏ, ಈ)  ನ್ನು   ಜಿ(()  ನ ಗ್ಯಾಲ್ವಾ ಸಂಕುಲವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ಆಧುನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗ್ಯಾಲ್ವಾ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ; ಈತನ ಪರಿಶೋಧನೆಗಳು ಈಗ ಗ್ಯಾಲ್ವಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದು ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಖ್ಯಾತವಾದ ಒಂದು ಶಾಖೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಮುಖ್ಯವಾದ ಪ್ರಮೇಯ ದತ್ತ ಬಹುಪದಿಯ ಛೇದನಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೂ, ಅದರ ಗ್ಯಾಲ್ವಾ ಸಂಕುಲಕ್ಕೂ ಇರುವ ಮನೋಜ್ಞವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರಚನೆಗಳು (ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯನ್ ಕನ್‍ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್)
ಕೇವಲ  (1) ಸರಳ ಅಂಚು  (ಸ್ಟೈಟ್ ಎಡ್ಜ್)  ಅಥವಾ ರೇಖನಿ  ಮತ್ತು  (2)  ಕೈವಾರ (ಕಾಂಪಾಸಸ್) ಇವುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದಾದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರಚನೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯುವೆವು. ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು;  ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ವೃತ್ತಗಳನ್ನೆಳೆಯಬಹುದು. ಎರಡು ಚರಾಂಕಗಳಿರುವ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ವರ್ಗಸಮೀಕರಣಗಳು ಇವುಗಳ ಬೈಜಿಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಂದು ದತ್ತಕ್ಷೇತ್ರ ಈ ನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಗಳು ಈನಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತವೆ; ಎಂದರೆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು ಈ ನಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ಸರಳ  ಮತ್ತು  ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಥವಾ ಎರಡು ವರ್ಗಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಗಳು ಈ ನಲ್ಲಿರಬೇಕಾದುದಿಲ್ಲ. ಆದುದರಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನೋ ಮತ್ತೊಂದು ವೃತ್ತವನ್ನೋ ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು  ಈ ನಲ್ಲಿರಬೇಕಾದುದಿಲ್ಲ. ಅವು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಈ ನ ಯಾವುದಾದರೂ ವರ್ಗವಿಸ್ತರಣ ಕ್ಷೇತ್ರ  ( ಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈಗ ಯಾವುದಾರೂ ಅಭೀಷ್ಟ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಬರುವ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಾತದ ಸಮೀಕರಣ ಜಿ (((((  ಎಂಬುದರ ಛೇದನ  ಕ್ಷೇತ್ರವೂ ( ಅಥವಾ ಅದರ ಯಾವ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವೂ ಆಗಿರಬೇಕಾದುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಬಹುಪದಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಭೀಷ್ಟರಚನೆಯ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಚೀನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ: 1. ಯಾವ ಕೋನವನ್ನಾಗಲೀ ಮೂರು ಸಮಭಾಗ ಮಾಡುವುದು. 2. ವೃತ್ತವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು, ಎಂದರೆ ದತ್ತವೃತ್ತದ ಸಲೆಯನ್ನುಳ್ಳ ವರ್ಗವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು.3. ಘನವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಿಸುವುದು, ಎಂದರೆ ದತ್ತಘನದ ಘನಗಾತ್ರದ ಎರಡರಷ್ಟು ಘನಗಾತ್ರವುಳ್ಳ ಘನವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು. 4. 7  ಮತ್ತು  9 ಭುಜಗಳುಳ್ಳ ಸಮಭುಜಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು.
ಇದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು : 1. ಸಮಪಂಚ ಭುಜ ಮತ್ತು ಸಮಷಡ್ಭುಜಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. 2. 720 ಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು; ಅದನ್ನು ಮೂರು ಸಮಭಾಗಗಳಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. 3. 15   ಮತ್ತು  17 ಭುಜಗಳುಳ್ಳ ಸಮಭುಜಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.
ಆಧಾರ
ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ*
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು