ಈ (ಗಣಿತದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ)

ಈ () ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಗಣಿತದ ಅತಿ ಮಹತ್ತ್ವಪೂರ್ಣ ಸಂಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು.  ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಘುಗಣಕದ (natural logarithm) ಆಧಾರವೆಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ೧೭ ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ  ಇನ ಮೊದಲ ಉಪಯೋಗವು ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾಣಲಾಗಿದೆ. ತರುವಾಯ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ನ ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್  ನ ಬಹಳಷ್ಟು ಗುಣಗಳನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದರಿಂದ ನ್ನು 'ಯೂಲರಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ' (Euler's constant) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ರಥಮ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ ಜ್ಯಾನ್ ನೇಪಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು 'ನೇಪಿಯರಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ' (Napier's constant) ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಆದರೆ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರಸಮೂಹದಲ್ಲಿ ಈ ಹೆಸರು ಉಪಯೋಗದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ.  ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆ  ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಗಣಿತದ ಪ್ರತ್ಯೊಂದು ಕ್ಶೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತಿ ಮಹತ್ತ್ವೆಪೂರ್ಣವು ಹಾಗೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.  ಸಂಖ್ಯೆ  ಎಂದು ಶುರುವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ದಾಶಮಿಕ ನಿರೂಪಣೆ ಇಷ್ಟಕ್ಕೆ ನಿಲ್ಲುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ  ಅಂತೆಯೇ  ಒಂದು 'ಟ್ರಾನ್ಸೆನ್ಡೆನ್ಟಲ್' (transcendental) ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಗುಣದ ಕಾರಣ e ಪೂರ್ವಾನ್ಕದ ಮೂಲಕ ಬರೆದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪೊಲಿನೊಮಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣೆಯ (polynomial equation with integer coefficients) ಉತ್ತರವಾಗಲಾರದು. ೫೦ ದಾಶಮಿಕ ಸ್ಥಾನಗಳ ತನಕ, 

ವಿವರಣೆ
 ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಘುಗಣಕದ ಆಧಾರ. ಅದೆಂದರೆ 
.
 ನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು:  ಎಂಬ ಪದವನ್ನು  ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದರೆ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ  ಎಂದು ಸಿದ್ಧ ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ,

ಈ ವಿವರಣೆ ನೀಡಿದ ಗಣಿತಜ್ನ ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲಾಂಡ್ ದೇಶದ ಜೇಕಬ್ ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ.   
ಇತಿಹಾಸ
೧೬೧೮ ರಲ್ಲಿ ಸ್ಕಾಟ್ಲೆಂಡ್ ಇನ ಗಣಿತಜ್ನ ಹಾಗೂ ಭೌತವೈಜ್ನಾನಿ ಜಾನ್ ನೇಪಿಯರ್ ಲಘುಗಣಕ (logarithm) ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪುಸ್ತಕದ ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ  ಆಧಾರದಲ್ಲಿರುವ ಲಘುಗಣಕದ ಪಟ್ಟಿಯೂ ನೀಡಿದರು ಆದರೆ ಆಧಾರ ಆಗಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಿಸಲಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಮಾಡಿದವನು ಜೇಕಬ್ ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ. ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ (compound interest) ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ವಿವೇಚಿಸುತ್ತಿದ್ದನು. ನಿಮ್ಮ ಹತ್ತಿರ ಒಂದು ರುಪಾಯುವಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ೧೦%, ೧%, ೦.೧% ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ೧೦, ೧೦೦, ೧೦೦೦ ತಿಂಗಳಿಗೆ ಹಾಕಿದರೆ ಈ ಸಮಯದ ನಂತರ ನಿಮಗೆ ೨.೫೯, ೨.೭೦೪, ೨.೭೧೬ ವಾಪಸ್ಸು ಬರುವುದು. ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ೧ ರುಪಾಯಿಗೆ  ಬಡ್ಡಿ  ತಿಂಗಳಿಗಿಟ್ಟರೆ,  ಅನಂತವಾದರೆ ನಮ್ಮ ಹತ್ತಿರ ಇರುವ ಹಣ ೨.೭೧೮೨೮... ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹತ್ತಿರ ಬರುವುದು. ಈ ತತ್ವವನ್ನು ಬರ್ನುಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದನು.

ಇದರ ನಂತರ ಯೂಲರ್ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ  ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕವನ್ನು ನೀಡಿ ಲಘುಗಣಕಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದನು.
  ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಇತರ ಸಮಾನಾಂತರ ಸೂತ್ರಗಳು 
 ಪದದ ಟೇಲರ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು (Taylor series representation) ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಈ ಸೂತ್ರವು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: thumbnail|ಯೂಲರಿನ ಸೂತ್ರ

ಆದ್ದರಿಂದ, x = 1 ಆದಾಗ .
 ಸಂಖೆಯ ಮೂಲಕ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮತ್ತು ಟ್ರಿಗೊನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದಗಳ ಮಧ್ಯ ಆಳವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಯೂಲರ್ ಸಿದ್ಧ ಪಡಿಸಿದನು. ಪ್ರತ್ಯೋಂದು ಸಂಖ್ಯೆ  ಗೆ
ಸಮೀಕರಣ ಸತ್ಯವು. ಇದರಲ್ಲಿ  ಸಮೀಕರಣಗೊಂಡರೆ ವಿಶೇಷ ನಿದರ್ಶನವಾಗಿ 

ಎಂದಾಗುವುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭೌತವೈಜ್ಞಾನಿ ರಿಚರ್ಡ್ ಫೈನ್ಮನ್ (Richard Feynman) 'ಗಣಿತದ ಅತಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಸೂತ್ರ' ಎಂದು ಕೊಂಡಾಡಿದ್ದಾರೆ.

ಉಲ್ಲೇಖನಗಳು

 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು 

ವರ್ಗ:ಗಣಿತ