បន្ទាត់អយល័រ

ក្នុង​ធរណីមាត្រ បន្ទាត់អយល័រ​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​គឺ​ជា​បន្ទាត់​​ដែល​កាត់​តាម​អរតូសង់ ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់ចារឹកក្រៅ ទីប្រជុំទំងន់​​ឬ​អ៊ីសូបារីសង់ និង ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់អយល័រ​នៃ​ត្រីកោណ​។ បន្ទាត់អយល័រ​ត្រូវបានគេ​ហៅ​ដោយផ្តល់ជា​កិត្តិយលដល់គណិតវិទូ​ស្វីស លេអូណា អយល័រ​​។

ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់​អយល័រគឺ​ស្ថិត​​នៅ​ចំ​ចំនុចកណ្តាល​នៃ​អង្កត់​ដែល​បង្កើត​ដោយ​អរតូសង់​និង​ផ្ចិត​នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ។ ម្យ៉ាង​វិញ​ទៀត​ចំងាយ​រវាង​ទីប្រជុំទំងន់​និង​អរតូសង់​គឺ​ស្មើនឹង​ពីរដង​នៃ​ចំងាយ​រវាងទីប្រជុំទំងន់​និង​ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់​ចារឹក​ក្រៅ។

 ភាពកូលីនេអ៊ែរ​គ្នា 
ប្រសិន H ជាអរតូសង់ G ជាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC និង  ជាផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC គេបាន៖
  (មានន័យថាចំនុចទាំងបីនេះកូលីនេអ៊ែរនឹងគ្នា (នៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ) 

សំរាយបញ្ជាក់
គេមាន​ចំនុច  កំនត់ដោយ 

តាមទំនាក់ទំនងសាលគេបាន 

ដោយ  គឺជាចំនុចកណ្តាល​នៃ  គេបាន 

ហេតុនេះ  នាំអោយ 

តាម​និយមន័យនៃ  បន្ទាត់  គឺជា​មេដ្យាទ័រ​នៃអង្កត់  ហេតុនេះ  ។ ទំនាក់ទំនងវ៉ិចទ័រដែលបានបង្កត់លើនេះ​បង្ហាញ​ថា​បន្ទាត់  ក៏​កែង​នឹង​អង្កត់  ដែរ។ ហេតុនេះបន្ទាត់  គឺជា​កំពស់នៃត្រីកោណ  ។

សំរាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាដែរគេបាន  និង  គឺជាកំពស់នៃត្រីកោណ  ហេតុនេះ  គឺ​ជា​ចំនុច​ស្ថិត​នៅ​លើ​កំពស់នៃត្រីកោណ (ជាចំនុចប្រសព្វរវាងកំពស់ទាំងបីនៃត្រីកោណ) ដែលគេហៅថា​អរតូសង់ តាងដោយ  ។

គេបាន 

តាម​ទំនាក់ទំនងសាល គេបាន 

ម្យ៉ាងវិញទៀត  (កណី  គឺជាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ )

ចុថងក្រោយគេទទួលបាន  នេះបង្ហាញថា ;  និង  ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ (កូលីនេអ៊ែរ​នឹងគ្នា) តាមលំដាប់រៀងគ្នា។ 

 ពិពណ៌នា 
ក្នុង​រូបភាព​ខាង​ស្តាំ​បន្ទាត់អយល័រ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​ពណ៌​ក្រហម។ វាកាត់​តាម​ទីប្រជុំទំងន់ (ពណ៌ទឹកក្រូច); អរតូសង់ (ពណ៌ខៀវ); រង្វង់ចារឹកក្រៅ (ពណ៌បៃតង); និង ផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រ​ឬ​រង្វង់ចំនុច៩ (ពណ៌ក្រហម)។

 នៅឆ្នាំ ១៧៦៧ អយល័រ​បានបង្ហាញថា​ក្នុង​ត្រីកោណ​មួយ អរតូសង់ ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ទីប្រជុំទំងន់ និង​ផ្ចិតនៃរង្វង់អយល័រ(រង្វង់ចំនុច៩) គឺកូលីនេអ៊ែរ​នឹងគ្នា។ ចំពោះ​ត្រីកោណសម័ង្ស ចំនុច​ទាំង​បួន​នេះគឺ​ត្រួតស៊ីគ្នា​ ប៉ុន្តែចំពោះ​ត្រីកោណប្រភេទ​ផ្សេងទៀត​ចំនុចទាំង​បួន​នេះ​មិនត្រួតស៊ីគ្នា​ និង បន្ទាត់អយល័រ​គឺកំនត់ដោយ​ចំនុចពីរ​ក្នុងចំនោម​ចំនុច​ទាំង​បួន​នេះ ។
  ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់​អយល័រ​ស្ថិត​នៅ​លើ​បន្ទាត់​អយល័រ​ចន្លោះ​អរតូសង់​និង​ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ និង​ចំងាយ​ពី​ទីប្រជុំទំងន់​ទៅផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ​គឺ​ស្មើ​នឹង​កន្លះ​ដង​នៃ​ចំងាយ​​ពី​ទីប្រជុំទំងន់​នៃ​ត្រីកោណ​ទៅ​អរតូសង់​។ 
ប្រសិនបើយើងតាង H ជាអរតូសង់; G ជាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC  និង  ជាផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបាន 
  ឬគេអាចសរសេរ 

តាមសំរាយបញ្ជាក់ខាងលើ 
  គេបាន


 បន្ទាត់អយល័រ​ក្នុង​កូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ 
 តាង A, B, C ជាមុំ​កំពូលនៃត្រីកោណ និងតាង  x : y : z គឺជាចំនុចផ្សេងគ្នាក្នុងកូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ នោះគេបានសមីការចំពោះបន្ទាត់អយល័រគឺ

 ម្យ៉ាងវិញទៀត​គេ​អាច​តំណាង​បន្ទាត់អយល័រ​ជា​អនុគមន៍ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t ។ ផ្តើមចេញពីផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ (ជាមួយ​នឹង​កូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ )  និង​អរតូសង់ (ជា​មួយ​នឹង​កូអរដោនេទ្រីលីនេអ៊ែរ   រាល់ចំនុចនៅលើបន្ទាត់អយល័រ លើកលែងតែអរតូសង់ចេញ ផ្ទៀងផ្ទាត់នឹងទំនាក់ទំនង៖

ចំពោះគ្រប់ t ។

ឧទាហរណ៍៖
 ទីប្រជុំទំងន់ = 
 ផ្ចិតរង្វង់អយល័រ = 
 ចំនុចឡុងសម (De Longchamps point) = 
 ចំនុចអយល័រអនន្ត = 

 ចំនុច​ពិសេស​នៅ​លើ​បន្ទាត់​អយល័រ 
ចំនុច​ពិសេស​នៅ​លើ​បន្ទាត់​អយល័ររួមមាន៖

១) ផ្ចិត​រង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ

២) អរតូសង់​នៃ​ត្រីកោណ

៣) ទីប្រជុំទំងន់​នៃ​ត្រីកោណ

៤) ចំនុចដឺឡុងសម (De Longchamps point)
ចំនុចដឺឡុងសម​នៃ​ត្រីកោណ​គឺជា​​ចំនុចឆ្លុះនៃ​អរតូសង់​ធៀបនឹង​ផ្ចិត​រង្វង់ចារឹកក្រៅ។ ចំនុច​នេះ​តាង​ដោយ​អក្សរ L​ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនង


៥) ផ្ចិត​រង្វង់៩ចំនុច (រង្វង់​៩​ចំនុច = រង្វង់ចំនុច៩ = រង្វង់​អយល័រ)
ផ្ចិត រង្វង់​៩​ចំនុច​ចំពោះ​ត្រីកោណ
ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងនិមួយៗរបស់ត្រីកោណ
 ជាទំរនៃកំពស់និមួយៗដែលគូសចេញពីកំពូលទាំងបីមកកែងនឹងជ្រុងឈមនិមួយៗ
 ជាចំនុចកណ្តាលរវាងអរតូសងនិងកំពូលត្រីកោណ
រង្វង់​ដែល​កាត់​តាម​៩​ចំនុច​នេះ​ហៅថា​រង្វង់៩ចំនុច។ ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់​នេះ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​ចំនុចកណ្តាល​រវាង​ផ្ចិត​រង្វង់ចារឹកក្រៅ​​និង​អរតូសង់​នៃ​ត្រីកោណ​។

 បន្ទាត់អយល័រ​ចំពោះ​ត្រីកោណ​ពិសេស 
១)  ត្រីកោណកែង
 :បន្ទាត់អយល័រ​ចំពោះ​ត្រីកោណ​កែង​គឺជា​បន្ទាត់ដែល​កាត់តាម​កំពូលដែលជាមុំកែង​និងចំនុចកណ្តាល​និង​អ៊ីប៉ូតេនុស។ ករណី​នេះ​ផ្ចិត​នៃ​រង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ​គឺ​ស្ថិត​នៅចំ​ចំនុចកណ្តាល​នៃ​អ៊ីប៉ូតេនុស និង អរតូសង់​គឺ​​ស្ថិត​នៅ​ចំ​កំពូល​មុំកែង។

២) ត្រីកោណសម័ង្ស
 ចំពោះ​ត្រីកោណ​សម័ង្ស​ ដោយសារតែ​អរតូសង់ ទីប្រជុំទំងន់ និង ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្រៅ ត្រួតស៊ីគ្នា (ស្ថិតនៅចំចំនុចតែមួយ) គេមិនអាចអោយនិយមន័យវាបានទេ។

៣)  ត្រីកោណសមបាត
 ចំពោះ​ត្រីកោណ​សមបាត បន្ទាត់​អយល័រគឺជា​មេដ្យាន​ដែលគូសចេញពីកំពូលនៃ​មុំ​ចន្លោះ​ជ្រុងដែលមានរង្វាស់ស្មើគ្នា។ ចំពោះត្រីកោណសមបាត​បន្ទាត់​អយល័រ​មាន​លក្ខណៈ​សរុប​ដូច​ខាងក្រោម៖
 ជា​មេដ្យាន​ដែល​ឈមនឹង​មុំ​រវាង​ជ្រុង​ដែល​មាន​រង្វាស់​ស្មើគ្នា
 ជា​បន្ទាត់កែង​ដែលគូសចេញពី​កំពូល​នៃមុំ​រវាង​ជ្រុង​ដែល​មាន​រង្វាស់​ស្មើគ្នា
ជាបន្ទាត់ពុះមុំ (បន្ទាត់​ដែល​ពុះចែក​មុំ​មួយ​ជា​ពីរ​ស្មើគ្នា) នៃ​ជ្រុងកែង
ជាបន្ទាត់ពុះមុំនៃមុំ​រវាង​ជ្រុង​ដែល​មាន​រង្វាស់​ស្មើគ្នា

៤)  ត្រីកោណផ្ចិតក្រៅ (Excenter triangle)
ត្រីកោណផ្ចិតក្រៅ​ជាត្រីកោណដែល​បង្កើត​ដោយ​ផ្ចិតក្រៅ​ (Excenter) ទាំងបី​នៃ​ត្រីកោណ​។ បន្ទាត់អយល័រ​នៃ​ត្រីកោណនេះ​គឺ​ជា​បន្ទាត់​ដែល​កាត់​តាម​ផ្ចិត​រង្វង់ចារឹកក្រៅ និង ផ្ចិតរង្វង់ចារឹកក្នុង​ត្រីកោណ​។

 ឧទាហរណ៍ 
១) ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​អយល័រ​កាត់តាម​កំពូល​នៃ​ត្រីកោណ ចូរស្រាយបំភ្លឺថា​ត្រីកោណនេះជាត្រីកោណកែង ឬ ជាត្រីកោណសមបាត។

តាង A ជាកំពូលដែលបន្ទាត់អយល័រកាត់តាម។ គេបានផ្ចិត O នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ AG ។ មានពីរករណីចំពោះ O គឺ

១) ករណី O ស្ថិតនៅលើជ្រុងនៃត្រីកោណ
 តាម​ទ្រឹស្តីបទមុំចារឹកក្នុង គេបានត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណកែង។

២) ករណី O មិនស្ថិតនៅលើជ្រុងនៃត្រីកោណ

ករណី​នេះ​បន្ទាត់ពុះមុំ​កែង​​នឹង BC និង មេដ្យាន​គូសចេញ​ពី​កំពូល A មក​ជ្រុង BC គឺ​ត្រួតស៊ីគ្នា។ គេ​បាន​ត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណសមបាត។

២) ប្រសិនបើ​បន្ទាត់អយល័រ​​ស្រប​នឹងជ្រុង BC នៃ​ត្រីកោណ ABC ។ ចូរបង្ហាញថា  ។

ស៊ុម|ស្តាំ|បន្ទាត់អយល័រ ; រង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ; ទីប្រជុំទំងន់ G; អរតូសង H  ...
 តាង P ចំនុចប្រសព្វរវាង AG និង BC ។
 តាង R ជា​កាំ​នៃ​រង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ។
 តាង  និង  ។

តាមសម្មតិកម្ម  គេបាន  និង ត្រីកោណ OPB ជាត្រីកោណកែង តាម​ទ្រឹស្តីបទការ៉េបី គេបាន


ដោយជំនួស  គេបាន


តាម​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស​ គេបាន


ដោយជំនួសតំលៃ a និង R ក្នុង  រួចចែក  និង  គេបាន


ដោយ  និងតាម​ទ្រឹស្តីបទផលបូក គេបាន (**) 



ដោយចែកសមីការនេះនឹង​  គេបាន


តាង  គេបាន
  ឬ 

គេបាន 
........

ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណ
ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:ធរណីមាត្រ