Тұрақтылық (динамикалық жүйелер)

Тұрақтылық — дифференциалдық теңдеудің шешімінің бастапқы шарттары жеткілікті түрде жақын болған жағдайда басқа шешімдерді өзіне тарту қасиеті. Тартылу сипатына байланысты тұрақтылықтың әртүрлі түрлері ажыратылады. Тұрақтылық тұрақтылық теориясы мен динамикалық жүйелер теориясы сияқты пәндердің зерттеу нысаны болып табылады.

Анықтама
Фазалық кеңістіктің
аймағы және
, мұнда , берілсін. Келесі түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырайық:

\dot{x}=f(t,x), \tag{1}

Осы шарттарда кез келген

н (1) жүйесінің бастапқы шартты қанағаттандыратын бірегей шешімі бар:

x(t,t_0,x_0), \qquad x(t_0,t_0,x_0)=x_0.

 аралығында анықталған белгілі бір

шешімін бөліп алып, оны бұзылмаған (невозмущённое) шешім деп атаймыз.

Ляпунов бойынша тұрақтылық

(1) жүйесінің бұзылмаған

шешімі Ляпунов бойынша тұрақты деп аталады, егер кез келген және  үшін тек  мен -ға ғана тәуелді, бірақ -ға тәуелсіз

табылып, келесі шарт орындалса:

\|x_0-\varphi(t_0)\|<\delta

бастапқы шартты шешімі бүкіл  жартыосьінде анықталып, барлық

үшін

\|x(t)-\varphi(t)\|<\varepsilon

Символдық түрде:

\forall \varepsilon>0,\ \forall t_0\in I\ 
\exists \delta(t_0,\varepsilon)>0:\ 
\forall x_0:\ \|x_0-\varphi(t_0)\|<\delta
\Rightarrow
\forall t\in J^+:\ \|x(t,t_0,x_0)-\varphi(t)\|<\varepsilon .

Ал егер  шешімі Ляпунов бойынша тұрақты болмаса, онда ол тұрақсыз деп аталады, яғни:

\exists \varepsilon>0,\ \exists t_0\in I:\ 
\forall \delta>0\ \exists x_0:\ \|x_0-\varphi(t_0)\|<\delta,\ 
\exists t_*>t_0:\ \|x(t_*,t_0,x_0)-\varphi(t_*)\|=\varepsilon .

Бірқалыпты тұрақтылық

Бұзылмаған шешімі Ляпунов бойынша бірқалыпты тұрақты деп аталады, егер  тек -ға ғана тәуелді болса:

\forall \varepsilon>0\ 
\exists \delta(\varepsilon)>0:\ 
\forall x_0,\ \forall t_0\in I:\ 
\|x_0-\varphi(t_0)\|<\delta
\Rightarrow
\forall t\in J^+:\ \|x(t,t_0,x_0)-\varphi(t)\|<\varepsilon .

Асимптоталық тұрақтылық

Бұзылмаған шешімі асимптоталық тұрақты деп аталады, егер ол Ляпунов бойынша тұрақты болып, әрі тартушы болса, яғни:

\lim_{t\to\infty}\|x(t,t_0,x_0)-\varphi(t)\|=0

\|x_0-\varphi(t_0)\|<\delta_0

Асимптоталық тұрақтылықтың бірнеше түрлері бар:

эквиасимптоталық тұрақты, егер ол тұрақты әрі эквитартушы болса (шешім -ға тәуелсіз);

бірқалыпты асимптоталық тұрақты, егер ол бірқалыпты тұрақты және бірқалыпты тартушы болса (шешім  мен -ға тәуелсіз);

толық (глобальды) асимптоталық тұрақты, егер ол тұрақты және барлық  үшін тартушы болса;

бірқалыпты толық асимптоталық тұрақты, егер ол бірқалыпты тұрақты әрі бірқалыпты және глобальды тартушы болса.

Ескерту

Жүйенің бұзылмаған шешімі ретінде тривиал шешімді

x(t)\equiv 0

y=x-\varphi

\dot{y}=g(t,y),

g(t,y)=f(t,y+\varphi(t))-f(t,\varphi(t)).