Векторлық көбейтінді

векторы мен  векторының  кеңістігіндегі векторлық көбейтіндісі деп келесі шарттарды қанағаттандарытын  векторын айтады:
  векторының ұзындығы  және  векторларының ұзындықтарының және олардың арасындағы  бұрышының синусының көбейтіндісіне тең: ;
  векторы әр  және  векторларына ортогональ ;
  векторыны  векторлар үштігі оң болатындай бағытталған;
  кеңістігі үшін  векторлар үштігінің ассоциативтігі орындалу қажет.
Белгілеуі:


Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген  — У. Гамильтон. 
 Қасиеттері 

 Геометриялық қасиеттері 
 Екі нөлдік емес векторлардың коллинеарлығы үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
 Векторлық көбейтінді  модулі ортақ нүктеге келтірілген  және  (1 суретті қара) векторларымен тұрғызылған  параллелограммның   ауданына тең 
 Егер —  және  векторларына ортогональ бірлік вектор болса, ал  — оң үштік,  —  және  векторларымен тұрғызылған параллелограмм болса, онда келесі формула орындалады:

 Егер  — кез келген вектор,  — осы вектор жатқан кез келген жазықтық,  — осы жазықтықтағы бірлік вектор және бірлік вектор  векторына ортогональ,  —  жазықтығына ортогональ бірлік вектор және  үштік векторлары оң болса, онда  жазықтығында жатқан кез келген  векторы үшін келесі өрнек орындалады

 Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып a, b және c векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін аралас деп атайды.

Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:

 Алгебралық қасиеттері 
 Өрнектері СипаттамасыАнтикоммутативтілік қасиетіскалярға көбейтуге қатысты ассоциативтілік қасиетіқосу бойынша дистрибутивтілік қасиетітождество Якоби, выполняется в  и нарушается в «БАЦ минус ЦАБ» формуласы, Лагранж теңдігікватерниондар нормасының  мультипликативтілік жекеше түрі бұл өрнек мәнін , ,  векторлардың аралас көбейтіндісі деп атайды,  немесе  деп белгілейді
 Декарттық координаттардағы өрнектелулері 
Егер екі  және  векторлары өз тікбұрышты декарттық координаттарымен анықталған болса, дәлірек айтқанда — ортокелтірілген базисте




ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі



Формуланы жаттау үшін матрица анықтауышын пайдаланған жөн:



немесе

мұндағы — Леви-Чивит белгісі.

Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда



Жаттау үшін дәл солай:



немесе


 Дереккөздер 

Санат:Векторлық талдау
Санат:Аналитикалық геометрия