Пуассон интегралы

Пуассон интегралы Дирихле есебінің Лаплас басқаруының  шар үшін шешімін табуғы көмектеседі.

Шар ішіндегі u(r, φ) гармоникалық функциясы үшін функциясының u0 шекарасында мына шарт орындалсын: u(R, φ) = u0(φ), оның үстіне функцияға келесі тегістік класы ретінде тиесілі: , где ∂D — D шары шекарасы, ал  — оның тұйықталуы. Онда осы Дирихле есебі шешімі Пуассон интегралы арқылы жазылады:

мұндағы ωn — бірлік сфера ауданы, ал n — кеңістік өлшемі.

 Екі өлшемді кездегі шешуі 
Функция

Дирихле есебінің дөңгелектегі Лаплас теңдеуі үшін шешімі екені белгілі. Фурье коэффициенттерін пайдалана отырып осыны түрлендірейік:

<p align="right">

<p align="right">

Соңғы қосындыны 0≤r<R болғанда есептеуге болады:

<p align="right">

Осылайша, дөңгелек үшін Пуассон интегралы былай түрленеді:

 Әдебиет 

Санат:Математикалық талдау
Санат:Гармоникалық талдау