Интегралдық теңдеулер

Интералдық теңдеулер - ішінде белгісіз функцияны интегралдау кездесетін теңдеулер.
 Интегралдық теңдеулерді санаттау 

 Сызықтық Интегралдық теңдеулер 
Бұл белгісіз функция сызықтық түрде берілетін Интегралдық теңдеулер:

мұндағы  — искомая функция, ,  — белгілі функциялар,  — параметр.  функциясы Интегралдық теңдеудің ядросы болып табылады. Ядросы мен бос мүшесінің түрлеріне қарай сызықтық Интегралдық теңдеулерді тағы жіктеуге болады.

 Фредгольм теңдеулері 

 2-ші түрдегі Фредгольм Интегралдық теңдеулері 
Фредгольмның 2-ші түрдегі Интегралдық теңдеулері былай анықталады:


Интегралдау шектері шекті немесе шексіз болуа мүмкін. Анымалылар мына теңсіздікді қанағаттандырады: , ал ядросы мен бос мүшелері үздіксіз болу керек: , немесе келесі шарт орындалу керек:

Соңғы шартты қанағаттандыратын ядролар фредгольмдік деп те аталады. Егер  интервалында  болса, онда теңдеу біртекті, әйтпесе біртексіз интегралдық теңдеу деп аталады.

 1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері 
1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері де 2-ші түрдегі секілдіге ұқсас, айырмашылығы - бұнда интерграл сыртында белгісіз функциясы бар бөлігі жоқ:

ал ядро мен бос мүшесі Фредгольмның 2-ші түрдегі теңдеулері шартын қанағаттандырады.

 Вольтерра теңдеулері 

 2-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері 
Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінен интегралдау шектерінің бірі айнымалы болғанында:


 1-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері 
Фредгольм теңдеулеріндегідей 1-ші түрдегі Вольтерра теңдеулерінде интеграл сыртындағы беймәлім функция жоқ:

Егер келесідегідей ядросын анықтаса Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінің жекеше түрі деп қарастырса да болады:

Дегенмен Вольтерра теңдеулерінің кейбір қасиеттері Фредгольм теңдеулеріне жарамайды.

 Сызықтық емес теңдеулер 
Бұндай теңдеулердің шексіз түрелін келтіруге болады. Төменде тек маңызды әрі қолданбалы түрлері анықталған.

 Урысон теңдеулері 


Тұрақты  — оң сан, алдын ала анықтау кей жағдайда мүмкін емес.

 Гаммерштейн теңдеулері 

Гаммерштейн теңдеуі Урысон теңдеулерінің жекеше маңызды түрі:

мұндағы  — фредгольмдік ядро.

 Ляпунов — Лихтенштейн теңдеулері 
Ляпунов — Лихтенштейн аттарымен айтарлықтай сызықтық емес операторлары бар теңдеулерді айтады, мысалы:


 Вольтерра сызықтық емес теңдеулері 

мұндағы функция  барлық айнымалылары бойыншща үзіліссіз.
Дереккөздер

Санат:Интегралдық есептеу
Санат:Интегралдық теңдеулер