Ферманың кіші теоремасы

Ферманың кіші теоремасы — сандар теориясының классикалық теоремасы былай дейді:

Егер p — жәй сан және a p-ға бөлінбесе, онда a p — 1 ≡ 1 (mod p)  (немесе a p — 1 — 1 p-ға бөлінеді).

Басқаша тұжырымдасақ,

Кез келген жәй p мен бүтін a үшін a p — a p-ға бөлінеді.

 Дәлелдеуі 

Кез келген жәй p және бүтін теріс емес a үшін  p-ға бөлінетіндігін көрсетейік. a бойынша индукциямен дәлелдейік.

Негізі a=0 үшін  p-ға бөлінеді.

Көшу. Тұжырым a=k үшін орындалсын. a=k+1 үшін дәлелдейік.



Бірақ  p-ға индукция жорамалы бойыншы бөлінеді. Басқа қосылғыштарды айтсақ, онда .  үшін, осы бөлшектің алымы p-ға бөлінеді, ал бөлімі — бөлінбейді, олай болса,  -ға бөлінеді. Сондықтан барлық қосылғыштар  p-ға бөлінеді.

Теріс a және тақ p үшін теореманы b=-a деп қойып оңай дәлелдейді. Теріс a мен p=2 үшін теореманың растығы  екендігінен шығады. Дәлелдеу керектігі де осы.

 Теорема жалпыламасы 

 Теореманың аздаған жалпыламасы мынадай: егер p жәй сан болса, ал m мен n —  болатындай оң бүтін сандар болса, . Осы түрде теорема ашық кілтті шифрлеу RSA жүйесінде пайдаланылады.

 Ферманың кіші теоремасы Эйлер теоремасының жекеше түрі, ал Эйлер теоремасының өзі Кармайкл мен Лагранж теоремаларының жекеше түрі болып табылады.

 Ферманың кіші теоремасы шекті өрістер теориясында да жалпыламасы бар.

 Тағы қараңыз 
 Ферманың Ұлы теоремасы

Санат:Жай сандар туралы теоремалар