ფორმალური ჯგუფური კანონი

ფორმალური ჯგუფური კანონი (ფ.ჯ.კ., , შემოკლებით FGL) — ალგებრულ ტოპოლოგიასა და კომუტაციურ ალგებრაში ორი ცვლადის ფორმალური ხარისხოვანი მწკრივი, რომელიც ავლენს ჯგუფის კანონის მსგავს თვისებებს (კომუტაციურობა და ასოციურობა). ტოპოლოგიაში ფორმალური ჯგუფების თეორია მჭიდროდ არის დაკავშირებული კომპლექსურ კობორდიზმთან და სხვა კოჰომოლოგიის თეორიებთან.

 განსაზღვრება 
ფორმალური ჯგუფური კანონი ერთეულიან კომუტაციურ  რგოლზე  ეწოდება ორი ცვლადის ისეთ ფორმალურ ხარისხოვან მწკრივს , რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:
  და  (რაც გულისხმობს, რომ საზოგადოდ , სადაც შემდგომი წევრები უფრო მაღალი რიგისაა).
  (კომუტაციურობა).
  (ასოციურობა).

 კომპლექსური კობორდიზმი: ნოვიკოვისა და ქვილენის როლი 
კომპლექსური კობორდიზმის თეორიაში ფორმალური ჯგუფური კანონი ტრადიციულად აღინიშნება, როგორც . ამ მიმართულების განვითარებაში ფუნდამენტურია სერგეი ნოვიკოვისა და დენიელ ქვილენის (Daniel Quillen) წვლილი.

ს. პ. ნოვიკოვმა პირველმა შენიშნა, რომ წრფივი კომპლექსური ფიბრაციების ტენზორული ნამრავლის ეილერის მახასიათებელი კლასი კომპლექსურ კობორდიზმში არის თანამამრავლი ფიბრაციების ეილერის კლასების მიმართ ფორმალური ჯგუფური კანონი.Novikov, S. P. (1962). Homotopical properties of Thom complexes. Matematicheskii Sbornik, 57(99), 407-442. კერძოდ, თუ მოცემულია  და  წრფივი ფიბრაციები, მათი ტენზორული ნამრავლის ეილერის კლასისთვის სრულდება ტოლობა:

მოგვიანებით, დ. ქვილენმა დაამტკიცა,Quillen, D. (1969). On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory. Bulletin of the American Mathematical Society, 75(6), 1293-1298. რომ კომპლექსური კობორდიზმის შესაბამისი კოეფიციენტების რგოლი იზომორფულია უნივერსალური ლაზარის (Lazard) რგოლის. ამ ფაქტმა ერთმანეთთან მჭიდროდ დააკავშირა ჰომოტოპიური ტოპოლოგია და კომუტაციური ალგებრა.

 მაგალითები 
სხვადასხვა კოჰომოლოგიებში ფორმალური ჯგუფური კანონები სხვადასხვა სახეს იღებს. საზოგადოდ,  არის ორი ცვლადის ფორმალური ხარისხოვანი მწკრივი, თუმცა არსებობს კლასიკური მაგალითები:

 სინგულარული კოჰომოლოგიები: ე.წ. ჯამური ფორმალური ჯგუფური კანონი, სადაც მწკრივი მარტივდება შემდეგ სახემდე: 

 კომპლექსური -თეორია: მულტიპლიკაციური ფორმალური ჯგუფური კანონი:

სადაც  წარმოადგენს ბოტის პერიოდულობას (Bott periodicity).

 მორავას K-თეორია და პოლინომური ქცევა 
განსაკუთრებით საინტერესოა ფორმალური ჯგუფური კანონის სტრუქტურა მოდულო  მორავას -თეორიაში (Morava -theory). ამ შემთხვევაში ფორმალურ ჯგუფურ კანონს გააჩნია სპეციფიკური „პოლინომური ქცევა“. 

ეს ნიშნავს, რომ თუ დავაფიქსირებთ ერთ-ერთ ცვლადს (მაგალითად -ს), მაშინ ფორმალური ჯგუფური კანონი  წარმოადგენს ხარისხოვან მწკრივს  ცვლადის მიმართ, მაგრამ მისი კოეფიციენტები აღარ არიან უსასრულო მწკრივები -ის მიმართ — ისინი არიან პოლინომები (მრავალწევრები). ჰონდას ფორმალური ჯგუფური კანონის (Honda formal group law) აღნიშნული თვისება და მისი პოლინომური ბუნება დეტალურად არის შესწავლილი.Bakuradze, M. (2017). Polynomial behavior of the Honda formal group law. Journal of Homotopy and Related Structures, 12(2), pp. 299–304.

 სქოლიო 

კატეგორია:ალგებრაული ტოპოლოგია
კატეგორია:კომუტატური ალგებრა