სიმპლექტური კობორდიზმი

სიმპლექტური კობორდიზმი () — ალგებრული ტოპოლოგიის ერთ-ერთი მიმართულება, რომელიც შეისწავლის სტაბილურად სიმპლექტური მხები ფიბრაციის მქონე მრავალნაირობების კობორდიზმის რგოლს . კომპლექსური და არაორიენტირებული კობორდიზმების თეორიებისგან განსხვავებით, სიმპლექტური კობორდიზმი ჯერ კიდევ ნაკლებად არის შესწავლილი და მრავალ ღია პრობლემას შეიცავს.

 თავისუფალი და გრეხილი ნაწილები 
სიმპლექტური კობორდიზმის რგოლის თავისუფალი ნაწილი ადიტიურად საკმაოდ კარგად არის შესწავლილი სერგეი ნოვიკოვისა და სხვა ავტორების მიერ. თუმცა რგოლის სტრუქტურის სრული აღწერა მნიშვნელოვნად რთულდება ტორსიული (გრეხილი) ნაწილის გამო. დამტკიცებულია, რომ სიმპლექტური კობორდიზმის რგოლში არსებობს მხოლოდ მოდულო 2 გრეხილი ნაწილი.

 რეის ელემენტები 
გრეხილ ნაწილში ფუნდამენტურ და საგრძნობ როლს თამაშობენ ე. წ. რეის ელემენტები (Nigel Ray's elements). რეის კლასები  წარმოადგენენ მეორე რიგის დაუშლელ  ელემენტებს სიმპლექტური კობორდიზმის რგოლში.Nigel Ray, Indecomposables in Tors MSp*, Topology 10 (1971), 261–270, DOI: 10.1016/00409383(71)90019-X.

ეს ელემენტები კონერ-ფლოიდის სიმპლექტური პონტრიაგინის მახასიათებელი კლასების ტერმინებში განისაზღვრება შემდეგი გაშლიდან:

სადაც გაშლა განიხილება  რგოლში. ამ ფორმულაში  არის  ჯგუფის წარმომქმნელი,  არის არატრივიალური ნამდვილი წრფივი ფიბრაცია, ხოლო  — კანონიკური  ფიბრაცია. ლიტერატურაში საზოგადოდ გამოიყენება აღნიშვნა , რადგან ნებისმიერი -თვის სრულდება პირობა .F. W. Roush, On some torsion classes in symplectic bordism, Preprint.

 რეის ელემენტების ნამრავლები 
კლასები  არსებით როლს თამაშობენ რგოლის გრეხილი ნაწილის შესწავლაში. გორბუნოვისა და რეის შრომების მიხედვით ცნობილია გარკვეული თანაფარდობები, მაგალითად .Vassily Gorbunov and Nigel Ray, Orientations of Spin bundles and symplectic cobordism, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 28 (1992), no. 1, 39–55. 

ვ. ვერშინინის მიერ ნაჩვენებია, რომ რეის ელემენტების სამმაგი ნამრავლების () უმეტესობა არანულოვანია.V. V. Vershinin, Calculation of the symplectic cobordism ring in dimensions up to 32 and the nontriviality of the majority of ternary products of N. Ray’s elements, Sibirsk. Mat. Zh. 24 (1983), no. 1, 50–62. მიუხედავად ამისა, ახალ კვლევებში დგინდება მკაცრი შეზღუდვები უფრო მაღალი რიგის ნამრავლებისთვის. კერძოდ, დამტკიცებულია, რომ რეის ელემენტების ნებისმიერი ოთხმაგი ნამრავლი ნულოვანია.M. Bakuradze, On vanishing of all fourfold products of the Ray classes in symplectic cobordism, Proceedings of the American Mathematical Society, 148 (2020), no. 9, 4107–4115.

 სქოლიო 

კატეგორია:ალგებრაული ტოპოლოგია