მრავალნაირობა

მრავალნაირობა () — ტოპოლოგიური სივრცე, რომელიც ლოკალურად მოწყობილია როგორც ევკლიდური სივრცე, თუმცა გლობალურად შეიძლება გაცილებით რთული სტრუქტურა ჰქონდეს. ის წარმოადგენს თანამედროვე გეომეტრიისა და ტოპოლოგიის ერთ-ერთ ცენტრალურ ობიექტს. 

მარტივი მაგალითისთვის, დედამიწის ზედაპირი გლობალურად სფეროს წარმოადგენს, თუმცა დამკვირვებლისთვის ლოკალურად (მცირე მასშტაბებში) ის ბრტყელია. სწორედ ეს არის მრავალნაირობის ინტუიციური არსი.

 ფორმალური განსაზღვრება 
ცერა|მარჯვნივ|350პქ|ალტ=მრავალნაირობის ილუსტრაცია: ორი კოორდინატთა რუკა და გადასვლის ფუნქცია|მრავალნაირობის ატლასი: ფორმალური მათემატიკური დიაგრამა, რომელიც აჩვენებს რუკებს და გადასვლის ფუნქციას, რომლებიც მრავალნაირობას ევკლიდურ სივრცესთან აკავშირებენ.

ტოპოლოგიური სივრცეს ეწოდება -განზომილებიანი ტოპოლოგიური მრავალნაირობა, თუ ის არის ჰაუსდორფის სივრცე, აკმაყოფილებს თვლის მეორე აქსიომას და მისი ყოველი წერტილისთვის არსებობს მიდამო, რომელიც ჰომეომორფულია -განზომილებიანი ევკლიდური სივრცის () ღია სიმრავლისა. 

ასეთ ჰომეომორფიზმებს ლოკალური კოორდინატები, ანუ რუკები ეწოდებათ, ხოლო რუკების ერთობლიობას, რომელიც ფარავს მთელ მრავალნაირობას — ატლასი.

 მრავალნაირობათა ტიპები 
დამატებითი სტრუქტურების შემოღებით მიიღება მრავალნაირობათა სხვადასხვა კლასი, რომლებიც მათემატიკის სხვადასხვა დარგში შეისწავლება:
 გლუვი (დიფერენცირებადი) მრავალნაირობა: სადაც შესაძლებელია კალკულუსის (დიფერენციალური და ინტეგრალური აღრიცხვის) მეთოდების გამოყენება.
 კომპლექსური მრავალნაირობა: მოდელირებულია  სივრცეზე და გადასვლის ფუნქციები ჰოლომორფულია.
 სიმპლექტური მრავალნაირობა: გლუვი მრავალნაირობა, რომელიც აღჭურვილია დახურული, არაგადაგვარებული 2-ფორმით.
 რიმანის მრავალნაირობა: გლუვი მრავალნაირობა, რომელზეც განისაზღვრება მანძილები და კუთხეები რიმანის მეტრიკის საშუალებით.

 მნიშვნელობა ალგებრულ ტოპოლოგიაში 
ალგებრულ ტოპოლოგიაში მრავალნაირობები უმნიშვნელოვანეს როლს თამაშობენ. ისინი წარმოადგენენ ძირითად ობიექტებს ისეთი თეორიების აგებისას, როგორიცაა კობორდიზმების თეორია (მაგალითად, კომპლექსური ან სიმპლექტური კობორდიზმი). მრავალნაირობის გლობალური ინვარიანტების შესასწავლად ფართოდ გამოიყენება კოჰომოლოგიების თეორია და მახასიათებელი კლასები.

 იხილეთ აგრეთვე
 კობორდიზმი
 მახასიათებელი კლასები

 ლიტერატურა 
 Spivak, Michael. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Publish or Perish, 1999. ISBN 0-914098-70-5.
კატეგორია:დიფერენციალური ტოპოლოგია
კატეგორია:დიფერენციალური გეომეტრია