მორავას K-თეორია

მორავას K-თეორია () — განზოგადებული კოჰომოლოგიის თეორიების ოჯახი ალგებრულ ტოპოლოგიაში, რომელიც ამერიკელმა მათემატიკოსმა ჯეკ მორავამ (Jack Morava) შემოიღო. იგი წარმოადგენს ქრომატული ჰომოტოპიის თეორიის ფუნდამენტურ ინსტრუმენტს და გამოიყენება ტოპოლოგიური სივრცეების შესასწავლად.

 ფორმალური განსაზღვრება 
ფიქსირებული  მარტივი რიცხვისთვის, მორავას K-თეორიები, რომლებიც აღინიშნება როგორც , ქმნიან თეორიების მიმდევროპას. აქ მთელი რიცხვი  მიუთითებს ე.წ. „ქრომატულ დონეზე“.
წერტილის კოჰომოლოგია (ანუ კოეფიციენტთა რგოლი) მორავას K-თეორიისთვის მოიცემა შემდეგი სახით:

სადაც  წარმომქმნელის განზომილება არის . შესაბამისად, მორავას K-თეორია არის პერიოდული, პერიოდით .

 თვისებები და გამოთვლითი აპარატი 
მორავას K-თეორიები ერთგვარ ფილტრაციას უკეთებენ სტაბილურ ჰომოტოპიურ კატეგორიას. მცირე მნიშვნელობებისთვის თეორია კარგად ცნობილ კლასიკურ სტრუქტურებს ემთხვევა:
 როდესაც ,  წარმოადგენს ჩვეულებრივ რაციონალურ კოჰომოლოგიას.
 როდესაც , იგი მჭიდროდ უკავშირდება კომპლექსურ K-თეორიას (მოდულ ).

ამ თეორიაში კონკრეტული გამოთვლების საწარმოებლად, გარდა კლასიკური ალგებრული ინსტრუმენტებისა (როგორიცაა, მაგალითად, სპექტრული მიმდევრობები), უაღრესად ეფექტურად მუშაობს ფორმალურ ჯგუფური კანონებისა (formal group laws) და მახასიათებელი კლასების (characteristic classes) თეორია. სწორედ ეს აპარატი იძლევა საშუალებას, სიღრმისეულად შევისწავლოთ მორავას K-თეორიის მულტიპლიკაციური სტრუქტურა.

 მოდულ p მორავას K-თეორია სასრულ p-ჯგუფებზე 
სასრულ -ჯგუფთა მოდულ  მორავას K-თეორიის (ჯგუფის მაკლასიფიცირებელი სივრცის შესაბამისი რგოლის მულტიპლიკაციური სტრუქტურის) გამოთვლა ალგებრული ტოპოლოგიის ერთ-ერთი აქტუალური ამოცანაა. კვლევების მნიშვნელოვანი ნაწილი ეთმობა მორავას K-თეორიაში ტრანსფერის ასახვით მიღებული ფორმალური თანაფარდობების შესწავლას და შესაბამისი გრებნერის ბაზისების (Groebner bases) აგებას ჩერნის კლასებისა და მათი ტრანსფერების ტერმინებში.

ამ მიმართულებით ერთ-ერთი მთავარი გამოთვლითი პრობლემა უკავშირდება ჰოპკინსის, კუნისა და რავენელის (Hopkins, Kuhn, and Ravenel) ცნობილ ჰიპოთეზას, რომელიც დაფუძნებულია სასრულ -ჯგუფთა განზოგადებულ ხარაქტერების თეორიაზე(Generalized character theory). ჰიპოთეზა ვარაუდობდა, რომ ნებისმიერი სასრული -ჯგუფის მოდულ მორავას K-თეორია სრულად წარმოქმნილია ჩერნის კლასებითა და მათი ტრანსფერებით.

მიუხედავად იმისა, რომ  შემთხვევისთვის ეს ჰიპოთეზა უარყოფილ იქნა კონტრმაგალითის მოძიებით,   შემთხვევა ტოპოლოგიაში კვლავ ღია პრობლემად რჩება და მათემატიკური კვლევის საგანია.

 ლიტერატურა 
 Ravenel, D. C. (1992). Nilpotence and Isotopy in Stable Homotopy Theory. Princeton University Press.
 Bakuradze, M. (2025). "Morava K-theory rings for finite groups". Journal of Homotopy and Related Structures, 20(4), pp. 567–630.

კატეგორია:ალგებრაული ტოპოლოგია
კატეგორია:ჰომოტოპიის თეორია