სპექტრული მიმდევრობა

სპექტრული მიმდევრობა () — გამოთვლითი ინსტრუმენტი ჰომოლოგიურ ალგებრასა და ალგებრულ ტოპოლოგიაში, რომელიც გამოიყენება ჰომოლოგიური ან კოჰომოლოგიური ჯგუფების გამოსათვლელად გარკვეული ნაბიჯების (სპექტრული მიმდევრობის გვერდების დიფერენციალების გამოთვლის) გზით.

 ფორმალური განსაზღვრება 
კოჰომოლოგიური სპექტრული მიმდევრობა შედგება ე.წ. „გვერდების“  მიმდევრობისგან ( ან ), სადაც თითოეული  წარმოადგენს ბიგრადუირებულ მოდულს და აღჭურვილია დიფერენციალით , ისე რომ სრულდება პირობა .

ყოველი მომდევნო გვერდი მიიღება წინა გვერდის ჰომოლოგიით:

 სერის სპექტრული მიმდევრობა 
სერის (Serre) სპექტრული მიმდევრობა ერთ-ერთი ყველაზე ძლიერი და ხშირად გამოყენებადი ინსტრუმენტია ალგებრულ ტოპოლოგიაში. იგი ერთმანეთთან აკავშირებს ფიბრაციის ბაზის, ფიბრისა (fiber) და ფიბრაციის სივრცის (total space) ჰომოლოგიას ან კოჰომოლოგიას.

თუ მოცემულია ფიბრაცია , სადაც ბაზა  წრფივად ბმულია (path-connected), მაშინ არსებობს პირველი მეოთხედის კოჰომოლოგიური სპექტრული მიმდევრობა, რომლისთვისაც:

აქ  წარმოადგენს ლოკალური კოეფიციენტების სისტემას. იმ შემთხვევაში, თუ ბაზის ფუნდამენტური ჯგუფი  ტრივიალურად მოქმედებს ფიბრის კოჰომოლოგიაზე, მაშინ კოეფიციენტები ჩვეულებრივია და ვიღებთ: .

 ატია-ჰირცებრუხის სპექტრული მიმდევრობა 
ატია-ჰირცებრუხის (Atiyah-Hirzebruch) სპექტრული მიმდევრობა საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ სივრცის განზოგადებული კოჰომოლოგიის თეორიები ჩვეულებრივი (სინგულარული) კოჰომოლოგიის გამოყენებით.

ნებისმიერი CW-კომპლექსისთვის  და განზოგადებული კოჰომოლოგიის თეორიისთვის , არსებობს სპექტრული მიმდევრობა:

სადაც  არის წერტილის კოჰომოლოგია მოცემულ განზოგადებულ თეორიაში (რაც იგივეა, რაც თეორიის კოეფიციენტთა რგოლი).

 ადამსის სპექტრული მიმდევრობა 
ადამსის სპექტრული მიმდევრობა (Adams spectral sequence) არის ალგებრული ტოპოლოგიის ფუნდამენტური ინსტრუმენტი, რომელიც გამოიყენება სფეროთა სტაბილური ჰომოტოპიური ჯგუფების, ან უფრო ზოგადად, სპექტრების ჰომოტოპიური ჯგუფების გამოსათვლელად.

კლასიკური ფორმით, მოცემული ფიქსირებული  მარტივი რიცხვისთვის და მოდულ  სტინროდის ალგებრისთვის (Steenrod algebra) , ადამსის სპექტრული მიმდევრობის მეორე გვერდი აიგება Ext ფუნქტორით:

ეს მიმდევრობა კრებადია სფეროს სტაბილური ჰომოტოპიური ჯგუფების -სრული (ან -ლოკალური) ნაწილისკენ:

ამ მიმდევრობაში  წარმოადგენს ჰომოლოგიურ განზომილებას (რეზოლვენტის სიგრძეს), ხოლო  არის შინაგანი გრადუირება (internal degree). დიფერენციალების მოქმედების წესი ასეთია: .

 ლიტერატურა 
 McCleary, J. (2001). A User's Guide to Spectral Sequences. Cambridge University Press.
 Hatcher, A. Spectral Sequences in Algebraic Topology.

კატეგორია:ჰომოლოგიური ალგებრა
კატეგორია:ალგებრაული ტოპოლოგია