კომპლექსური კობორდიზმი

კომპლექსური კობორდიზმი () — განზოგადებული კოჰომოლოგიის თეორიების ერთ-ერთი უმნიშვნელოვანესი მაგალითი ალგებრულ ტოპოლოგიაში. იგი ფუნდამენტურ როლს ასრულებს სტაბილურ ჰომოტოპიის თეორიაში და მჭიდროდ არის დაკავშირებული ფორმალურ ჯგუფურ კანონებთან.

 კობორდანტული მრავალნაირობები 
იმისათვის, რომ გავიგოთ კობორდიზმის თეორიის არსი, პირველ რიგში უნდა განისაზღვროს კობორდანტულობის ცნება.

ვთქვათ, მოცემულია ორი -განზომილებიანი ჩაკეტილი (უსაზღვრო) გლუვი მრავალნაირობა  და . ვამბობთ, რომ ისინი არიან კობორდანტული, თუ არსებობს -განზომილებიანი საზღვრიანი მრავალნაირობა , რომლის საზღვარი არის ამ ორი მრავალნაირობის თანაუკვეთი გაერთიანება:

სადაც  აღნიშნავს -ს საპირისპირო ორიენტაციით. შინაარსობრივად, კობორდიზმი არის ერთგვარი გეომეტრიული „გადასვლა“ (მილისებრი ზედაპირი) ერთი სივრციდან მეორეში.

კომპლექსური კობორდიზმის შემთხვევაში მოითხოვება დამატებითი პირობა: მრავალნაირობებს უნდა გააჩნდეთ ე.წ. სტაბილურად კომპლექსური სტრუქტურა მათ მხებ ფიბრაციებში (tangent bundles). ასეთი მრავალნაირობების ეკვივალენტობის კლასები ქმნიან რგოლს, რომელსაც კომპლექსური კობორდიზმის რგოლი ეწოდება.

 კომპლექსური კობორდიზმის თეორია 
კომპლექსური კობორდიზმის თეორია, რომელიც აღინიშნება როგორც  (კოჰომოლოგიური ვერსია) ან  (ჰომოლოგიური ვერსია), წარმოადგენს განზოგადებულ კოჰომოლოგიის თეორიას. იგი ასოცირებულია ტომის სპექტრთან (Thom spectrum) და აღნიშნავენ როგორც  .

სივრცის -ჰომოლოგიური ჯგუფები გეომეტრიულად აიგება ამ სივრცეში სტაბილურად კომპლექსური მრავალნაირობების ასახვების კობორდიზმის კლასების გამოყენებით. ეს თეორია ბევრად უფრო მდიდარ ინფორმაციას ატარებს სივრცის ტოპოლოგიის შესახებ, ვიდრე ჩვეულებრივი სინგულარული კოჰომოლოგია, თუმცა მისი გამოთვლა შესაბამისად უფრო რთულია.

 ქვილენის თეორემა და ლაზარის რგოლი 
კომპლექსური კობორდიზმის თეორიის ერთ-ერთი ყველაზე შთამბეჭდავი და ცენტრალური შედეგი ეკუთვნის დანიელ ქვილენს (Daniel Quillen, 1969).

ქვილენმა შეამჩნია, რომ კომპლექსურ კობორდიზმს, ისევე როგორც ნებისმიერ კომპლექსურად ორიენტირებად კოჰომოლოგიის თეორიას, გააჩნია ბუნებრივი ერთგანზომილებიანი კომუტაციური ფორმალური ჯგუფური კანონი (რომელიც მოდის ორი კომპლექსური პროექტული სივრცის ნამრავლიდან). ქვილენმა დაამტკიცა ფუნდამენტური თეორემა, რომ კომპლექსური კობორდიზმის კოეფიციენტთა რგოლი ბუნებრივად იზომორფულია ლაზარის რგოლის (Lazard ring) :

ლაზარის რგოლი არის უნივერსალური რგოლი ერთგანზომილებიანი კომუტატიური ფორმალური ჯგუფური კანონებისთვის. შესაბამისად,  აღმოჩნდა უნივერსალური ფორმალური ჯგუფის კოეფიციენტების რგოლი.

ქვილენის ამ აღმოჩენამ და ნოვიკოვის ადრეულმა დაკვირვებამ, რომ წრფივი კომპლექსური ფიბრაციების ტენზორული ნამრავლის ეილერის კლასი ატარებს ფორმალურ ჯგუფურ კანონის თვისებას, შექმნა მძლავრი ხიდი ალგებრულ ტოპოლოგიასა და ალგებრულ გეომეტრიას შორის. სწორედ კომპლექსური კობორდიზმის უნივერსალურობამ და მასთან დაკავშირებულმა ფორმალურმა ჯგუფმა ჩაუყარა საფუძველი ქრომატულ ჰომოტოპიის თეორიას და ისეთი პერიოდული თეორიების შექმნას, როგორიცაა მორავას K-თეორია.

 ლიტერატურა 
 Quillen, D. (1969). "On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory". Bulletin of the American Mathematical Society. 75 (6): 1293–1298.
 Stong, R. E. (1968). Notes on Cobordism Theory. Princeton University Press.
 Adams, J. F. (1974). Stable Homotopy and Generalised Homology. University of Chicago Press.

კატეგორია:ალგებრაული ტოპოლოგია
კატეგორია:დიფერენციალური ტოპოლოგია
კატეგორია:ჰომოტოპიის თეორია