მალფატის წრეები

მალფატის წრეები (; ) — გეომეტრიაში მოცემული სამკუთხედის შიგნით მდებარე სამი წრეა ისე, რომ თითოეული წრე ეხება დანარჩენ ორს და ამასთანავე სამკუთხედის ორ გვერდს. წრეებს სახელი ჯანფრანჩესკო მალფატის პატივსაცემად დაერქვა, რომელმაც ამ წრეების აგების პრობლემის კვლევა იმ მცდარი წარმოდგენით დაიწყო, რომ მათი ფართობთა ჯამი სამკუთხედის შიგნით სამი არაგადამკვეთი წრის მაქსიმალურ შესაძლო ფართობს მოგვცემდა. მალფატის ამოცანა ეხება როგორც მალფატის წრეების აგების ამოცანას, ასევე მაქსიმალური სრული ფართობის მქონე სამკუთხედის შიგნით ჩახაზული სამი არაგადამკვეთი წრის პოვნის ამოცანას.

მალფატის ამოცანა გამოიყენებოდა როგორც მალფატის წრეების აგების, ასევე სამკუთხედში სამი წრის ფართობის მაქსიმიზაციის წრის პოვნის ამოცანის აღსაწერად. მალფატის წრეების მარტივი კონსტრუქცია შემოგვთავაზა იაკობ შტაინერმა (1826)Steiner, Jacob (1826), "Einige geometrische Betrachtungen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1: 161–184, 252–288, doi:10.1515/crll.1826.1.161, S2CID 122065577 და მას შემდეგ ბევრი მათემატიკოსი სწავლობდა ამ ამოცანას. თავად მალფატიმ მოგვაწოდა სამი წრის რადიუსების ფორმულა და მათი გამოყენება ასევე შეიძლება სამკუთხედის ორი ცენტრის, სამკუთხედის აჯიმა-მალფატის წერტილების, განსაზღვრისთვის.

სამკუთხედში სამი წრის სრული ფართობის მაქსიმიზაციის პრობლემას მალფატის წრეები ვერასდროს წყვეტს. სამაგიეროდ, ოპტიმალური გადაწყვეტის პოვნა ყოველთვის შესაძლებელია ისეთი ალგორითმით, რომელიც მოცემულ სამკუთხედში ყველაზე დიდ წრეს, პირველი წრის გარეთ სამ დაკავშირებულ ქვესიმრავლეში ყველაზე დიდ წრეს და პირველი ორი წრის გარეთ სამკუთხედის ხუთ დაკავშირებულ ქვესიმრავლეში ყველაზე დიდ წრეს პოულობს. მიუხედავად იმისა, რომ ეს პროცედურა პირველად 1930 წელს ჩამოყალიბდა, მისი სისწორე 1994 წლამდე არ დადასტურდა.

ისტორია
სამკუთხედის შიგნით ერთმანეთის მიმართ სამი წრის აგების ამოცანა XVIII საუკუნის იაპონელმა მათემატიკოსმა აჯიმა ნაონობუმ მალფატის ნაშრომამდე დასვა და შეტანილია აჯიმას ნაშრომების გამოუქვეყნებელ კრებულში, რომელიც აჯიმას გარდაცვალებიდან ერთი წლის შემდეგ მისმა სტუდენტმა – კუსაკა მაკოტომ შექმნა.Andreatta, Marco; Bezdek, András; Boroński, Jan P. (2010), "The problem of Malfatti: two centuries of debate" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 33 (1): 72–76, doi:10.1007/s00283-010-9154-7, S2CID 55185397 კიდევ უფრო ადრე, იგივე ამოცანა განხილული იყო ჯილიო დი ჩეკო და მონტეპულჩანოს 1384 წლის ხელნაწერში, რომელიც ამჟამად იტალიაშია, სიენას მუნიციპალურ ბიბლიოთეკაში.Simi, A.; Toti Rigatelli, L. (1993), "Some 14th- and 15th-century texts on practical geometry", Vestigia mathematica, Amsterdam: Rodopi, pp. 453–470, MR 1258835

1744 წელს იაკობ ბერნულის მიერ შესწავლილ იქნა ამოცანის განსაკუთრებული შემთხვევა კონკრეტული ტოლფერდა სამკუთხედისთვის.

იხილეთ აგრეთვე
წრეების შეფუთვა წესიერ სამკუთხედში
ექვსი წრეწირის თეორემა

რესურსები ინტერნეტში
Malfatti Circles
Malfatti's Problem

სქოლიო

კატეგორია:სამკუთხედის გეომეტრია
კატეგორია:ოპტიმიზაციის თეორია