არაპოზიციური თვლის სისტემა

არაპოზიციური თვლის სისტემა ან თვლის არაპოზიციური სისტემა — თვლის სისტემა, რომელშიც ნატურალური რიცხვის ადიტიურ (მიმატებით) ჩანაწერში სხვადასხვა ადგილას (სხვადასხვა პოზიციაში) მდგომი რიცხვითი ნიშნები აღნიშნავენ ერთსა და იმავე ციფრს ან ერთსა და იმავე რიცხვს.

სხვადასხვა ხალხს სხვადასხვა თვლის არაპოზიციური სისტემა ჰქონდა.

თვლის არაპოზიციურ სისტემებს მიეკუთვნება: თვლის ეგვიპტური იეროგლიფების სისტემა, თვლის რომაული სისტემა, თვლის ანბანური სისტემა და სხვ.

საზოგადოების ან ცალკეული ტომების განვითარების გარკვეულ ეტაპზე რიცხვი ეთანადებოდა მხოლოდ საგანთა იმ ჯგუფებს, რომლებიც გვხვდება სამეურნეო ან სხვა ურთიერთობისას.

უსასრულოდ დიდია რიცხვითი სიმრავლის მოცულობა, რომელსაც ადამიანები ეუფლებოდნენ. შეზღუდულია თვით ადამიანთა მეხსიერება. ყოველი რიცხვისათვის ცალკეული სახელის დარქმევა შეუძლებელს ხდიდა მათ დამახსოვრებას. ამიტომ ზეპირი ნუმერაციის დროს ადამიანები მიხვდნენ, რომ საჭიროა თვლა აწარმოონ არა ცალკეული ერთეულებით, არამედ რიცხვით ჯგუფებით, რომელთა სახელებიც ისეთივეა, როგორიც თვით რიცხვებისა ჯგუფის სახელის დამატებით.

ამ სტადიაში რიცხვი იყო სახელდებული, არ არსებობდა განყენებული რიცხვი. ნელ-ნელა მყარი ჯგუფური რიცხვი განიხილება, როგორც ახალი ერთეული, რომლითაც იწყება თვლა. ასეთ ერთეულს საკვანძო ერთეულს უწოდებენ.

უკვე საგანთა ასეთ ჯგუფურ ერთიანობაში, როგორც თვლის ახალ ერთეულში, ჩადებულია თვლის სისტემის შექმნის შესაძლებლობა.

საკვანძო რიცხვები, რომლებიც არსებობდნენ ინდივიდუალურ ცნებებად, თანდათან გახდნენ, როგორც თავისი, ადგილობრივი თვლის სისტემის საფუძველი. საკვანძო რიცხვებს შორის უმცირესი მიიღებოდა, როგორც პირველი სისტემის საფუძველი. შემდგომი თვლა მიდიოდა ამ საკვანძო რიცხვისათვის ერთეულის მიმატებით, აგრეთვე ამ რიცხვის გაორმაგებით, გასამმაგებით და ა. შ. ამ გზით წარმოიშობოდნენ ალგორითმული რიცხვები (რიცხვები, რომელთა სახელები მიიღება საკვანძო რიცხვების სახელების კომბინაციით; მაგალითად: 17 – ჩვიდ- მეტი, 19 – ცხრა-მეტი, 26 – ოცდა-ექვსი და ა. შ.). ეს პროცესი გრძელდებოდა, სანამ არ მიაღწევდნენ შემდგომ საკვანძო რიცხვს. ამის შემდეგ იწყებოდა შემდგომი დათვლის ადგილობრივი სისტემა, რომლის საფუძველს წარმოადგენდა ეს მეორე საკვანძო რიცხვი, ხოლო ამ მეორე სისტემის ალგორითმული რიცხვი შედგებოდა მეორე საკვანძო რიცხვის პირველთან კომბინაციის გზით და ა.შ.

ამ სქემით შედგენილი რიცხვების ჩაწერისას მიიღებოდა ეგვიპტური იეროგლიფების ტიპის სისტემა. აქ საკვანძო რიცხვებია: 
 ციფრი მნიშვნელობა აღწერა Z1 1 საზომი ჯოხის მსგავსი V20 10 ანიშნავს „ბორკილს“, „უღელს“ ან „ზვინს“ V1 100 „საზომი თოკი“ M12 1 000 „ლოტოსის ყვავილი“ D50 10 000 თითი I7 ან I8 100 000 ბაყაყი ან თავკომბალა C11 1 000 000 ჰეჰი
ეგვიპტურ სისტემაში ყოველი ალგორითმული რიცხვი მიიღება სრულიად ერთგვაროვნად ერთადერთი არითმეტიკული ოპერაციით – შეკრებით. მაგალითად, ამ სისტემაში რიცხვი 4622 ასე ჩაიწერება:

M12-M12-M12-M12-!-V1*V1*V1:V1*V1*V1-!-V20-V20-Z1-Z1

ეგვიპტური იეროგლიფების ტიპის სისტემებს წარმოადგენდნენ ფინიკიელების, სირიელების, პალმირელების, ბერძნების, რომაელების სისტემები.

მსოფლიო მნიშვნელობის მაღალი კულტურის მქონე ძველ საბერძნეთში არსებობდა წერითი ნუმერაციის ორი სისტემა: ატიკური და იონური (ატიკა – შუა საბერძნეთის სამხრეთ-აღმოსავლეთი ოლქი; იონია – მცირე აზიის სანაპირო ოლქი).

თვლის არაპოზიციური სისტემის ანალოგიური პრინციპი არის ატიკური ანუ ჰეროდიანული ნუმერაცია, რომელიც წარმოიშვა ატიკაში ძვ. წ. VI ს-ში. აქაც, ისევე, როგორც ეგვიპტურ იეროგლიფებში, ერთის რიცხვითი ნიშანია ვერტიკალური ხაზი, რომლის გამეორება ქმნის რიცხვის ნიშანს 4-მდე (2- II, 3-III, 4-IIII); რიცხვი 5 აღნიშნულია სიმბოლოთი Г, 10 – Δ, 100 – H, 1000 – X, 10 000 – M; (ცხრილი 2). როგორც დადგინდა (პირველად XVII ს-ში, ვალისის მიერ), ეს სიმბოლოები წარმოადგენენ შესაბამისი რიცხვების სახელების პირველ ასოებს: ხუთი - ГENTE (CENTE ), ათი – ΔEKA, ასი – HEKATON, ათასი – XIɅIOT. მაგალითად, რიცხვი 325 ასე ჩაიწერებოდა: HHHΔΔГ.

საზოგადოდ ცნობილია თვლის არაპოზიციური სისტემა, რომელსაც რომაული ციფრები ეწოდება. ამ სისტემაში გვაქვს ძირითადი სიმბოლოების გარკვეული ერთობლიობა, სახელდობრ:

M				D				C				L				X				V				I					(*)
1000				500				100				50				10				5				1	

ყოველი რიცხვი ჩაიწერება როგორც ამ სიმბოლოების კომბინაცია. მაგალითად, რიცხვი 88 ასე ჩაიწერება: LXXXVIII.

ამ სისტემაში ყოველი სიმბოლოს მნიშვნელობა დამოუკიდებელია იმ ადგილისაგან, რომელიც მას უკავია რიცხვის ჩაწერაში. ასე, მაგალითად, რიცხვი 88-ის ზემომოყვანილ ჩანაწერში ციფრი X სამჯერ მონაწილეობს და ყოველთვის აღნიშნავს ერთსა და იმავე სიდიდეს – ათ ერთეულს. რომაული ციფრების დახმარებით ჩაიწერებიან მთელი დადებითი რიცხვები. თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვის აღმნიშვნელი რომაული ციფრების ერთობლიობა ჩაწერილია მარცხნიდან მარჯვნივ იმავე რიგითი ნიშნებით, როგორც (*) გამოსახულებაშია მოცემული, მაშინ რომაული ციფრების ერთობლიობა აღნიშნავს რიცხვს, რომელიც მასში შემავალი რომაული ციფრების მნიშვნელობათა ჯამის ტოლია.

მაგალითად, ჩანაწერი LXXXVIII ნიშნავს რიცხვს:
50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88;
ასევე, MCXXVII ნიშნავს: 1000 + 100 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 1127.

თუ რომაული ციფრებით ჩაწერილ რიცხვში დარღვეულია (*) თანამიმდევრობა (ადგილი აქვს ინვერსიას), მაშინ ჩანაწერი აღნიშნავს რიცხვს, რომელიც გამოითვლება შემდეგი წესით: ერთმანეთის გვერდით მდგომი ორი რომაული ციფრიდან, რომლებიც ქმნიან ინვერსიას (გადაადგილებას), პირველი აიღება „მინუს“ ნიშნით.

მაგალითად, MCDLIX აღნიშნავს რიცხვს:
1000 – 100 + 500 + 50 – 1 + 10 = 1459.
რომაულ ციფრებს ახლაც ხშირად ვხვდებით. მაგალითად, საათების ციფერბლატზე, წიგნებში ტექსტის ცალკეულ თავებად დაყოფისას და სხვ., მაგრამ მათემატიკურ პრაქტიკაში ის არ გამოიყენება.

რომაული ნუმერაცია ძალიან ძველი წარმოშობისაა. იგი შემოღებულია ძველ რომში. ამასთანავე ცნობილია, რომ გამოკლების პრინციპი უფრო ფართოდ გამოიყენებოდა. „ციფრების“ მოხაზულობა რომაელებმა გადმოიღეს იტალიის უფრო ადრინდელი მოსახლეობის – ეტრუსკებისგან.

რიცხვისათვის ათი ეტრუსკებს ჰქონდათ ნიშანი Ati.PNG ან X; რომაელებმა გადმოიღეს X ნიშანი. ხუთს ეტრუსკები ასე წერდნენ V ან Ʌ – ეს იყო ათის ნიშნის ნახევარი. ეტრუსკები 50-ს ასე აღნიშნავდნენ ↓; იგი გარდაიქმნა ჯერ ⊥ და ბოლოს L ნიშნად. 100-ის რომაული ნიშანი C წარმოიქმნა ეტრუსკული ნიშნიდან ⨁, რომელიც გარდაიქმნა ჯერ Φ, ხოლო შემდეგ C ნიშნად, და ა.შ.

თვლის არაპოზიციურ სისტემაში, გარდა ნატურალური რიცხვის ადიტიური ფორმით ჩაწერისა, სადაც გამოიყენება შეკრების ცნება, გვხვდება აგრეთვე ნატურალური რიცხვის მულტიპლიკაციური ფორმით ჩაწერილი თვლის სისტემები, რომლებიც ახლოსაა პოზიციურ სისტემასთან. ერთ-ერთია ძველი ჩინური თვლის სისტემა, სადაც სარგებლობდნენ თვლის ათობითი სისტემით და მულტიპლიკაციური პრინციპი გამოყენებულია უკვე 10 რიცხვიდან (ცხრილი 1); ამასთანავე, იყენებენ გამრავლების ოპერაციას. რიცხვის ჩაწერისას იყენებდნენ იეროგლიფის სახით ჩაწერილ რიცხვებს; ამასთანავე, ზოგიერთი მაღალი თანრიგის ერთეულისათვის მათ ჰქონდათ განსაკუთრებული ნიშნები. თვლის მულტიპლიკაციური სისტემის ანალოგიურია რიცხვთა ინდური სისტემა კჰაროშტი, სადაც ეს პრინციპი გამოიყენება დაწყებული 100-დან და ა.შ.

საჭიროა აღინიშნოს, რომ ჩვენს ზეპირ ნუმერაციაში დიდ როლს ასრულებს მულტიპლიკაციური სისტემა.

ლიტერატურა
მახვილაძე ნ. „მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი“, თბ., 2008