ეილერის ფუნქცია

რიცხვთა თეორიაში ეილერის ფორმულა ითვლის მთელი დადებითი რიცხვების რაოდენობას რომელებიც არ n–ს და თანამრტივია n–თან. ეილერის ფუნქციას ავღნიშნავთ φ(n)–ით ანუ φ(n) არის ყველა ისეთი k რიცხვის რაოდენობა სადაც 1≤k≤n  და უსგ(k,n)=1. 

მაგალითად თუ n=9 მაშინ φ(n)=6; რადგან 9–სთან თანამარტივია 1,2,4,5,7,8. როცა n=1, φ(n)=1. რადგან უსგ(1,1)=1, მაგრამ ესაა ერთადერთი შემთხვევა როცა n თანამარტივია საკუთარ თავთან;

ეილერის ფორმულა მარტივი p რიცხვის შემთხვევაში
თეორემა: თუ p მარტივია და  k ≥ 1, მაშინ [1]



დამტკიცება: მართლაც ნაშთთა სრული სისტემა  მოდულით შედგება 1,2,3......რიცხვებისგან მათგან –სთან თანამარტივია ისინი რომლებიც p–ზე არ იყოფა. ცხადია მოცემულ ნაშთთა სისტემაში p-ზე იყოფა  რომელთა საერთო რაოდენობა ტოლია  მაშასადამე  –სთან თანამარტივ რიცხვთა რაოდენობა მოცემული სისტემიდან უდრის 

მულტიპლიკაციურობა
ეილერის ფუნქცია არის მულტიპლიკაციური რაც ნიშნავს რომ ნებისმიერი m და n რიცხვებისთვის რომლებიც თანამარტივი არიან ანუ უსგ(m,n)=1, სამართლიანია შემდეგი ტოლობა  φ(mn) = φ(m)φ(n). მაგ:  φ(36) = φ(9)φ(4)=6·2=12.

ეილერის ფუნქციის ფორმულა ნებისმიერი რიცხვისთვის
ეილერის ფორმულის მულტიპლიკაციურობა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი რიცხვისთვის ეილერის მნშვნელობა.მართლაც ნებისმიერი რიცხვი წარმოსდგება მარტივ რიცხვთა  ნამრავლის სახით აქედან გამომდინარე



მაგ:   

ეილერის თეორემა
რიცხვთა თეორიაში მნიშვნელოვან ადგილს იკავებს ეილერის შემდეგი თეორემა 

თუ  უსგ(a,m)=1  მაშინ  

 წყარო
"რიცხვთა თეორია " მათემატიკის მეორე კურსი

^ Long (1972, p. 85)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 72)

^ Long (1972, p. 162)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 80)

^ See Euler's theorem.