კლინის თეორემა უძრავი წერტილის შესახებ

დალაგების და მესრების თეორიაში, კლინის უძრავი წერტილის თეორემა, რომელიც ატარებს ამერიკელი მათემატიკოსის სტივენ კოულ კლინის, სახელს, შემდეგნაირია:
ვთქვათ   სრული ნაწილობრივი დალაგებაა (CPO), და   არის სკოტის აზრით უწყვეტი (და მაშასადამე მონოტონური) ფუნქცია. მაშინ -ს გააჩნია  უმცირესი უძრავი წერტილი, რომელიც არის -ის შესაბამისი კლინის აღმავალი ჯაჭვის სუპრემუმი.

-ის შესაბამისი კლინის აღმავალი ჯაჭვი  არის  ჯაჭვი

შედგენილი -ის იტერაციებით -ის უმცირეს ელემენტზე .

სიმოკლისათვის:

სადაც  აღნიშნავს უმცირეს უძრავ წერტილს.

ამ შედეგს ხშირად ალფრედ ტარსკის მიაწერენ, მაგრამ ტარსკის უძრავი წერტილი თეორემა შეეხება მონოტონურ ფუნქციებს სრულ მესრებზე.

 დამტკიცება 

ჯერ ვაჩვენოთ -ის შესბამისი კლინის ჯაჭვის არსებობა -ში. ამისათვის დავამტკიცოთ შემდეგი ლემა:

ლემა 1:თუ  არის CPO, და  სკოტის აზრით უწყვეტია, მაშინ 

დავამტკიცოთ ინდუქციით -ის მიმართ: 
 დავუშვათ . მაშინ , რადგან  უმცირესი ელემენტია.
 დავუშვათ . საჩვენებელია რომ . ინდუქციის დაშვებით გვაქვს . რადგან  მონოტონურია სამართლიანია  რისი ჩვენებაც გვინდოდა.

ლემიდან უშუალოდ გამომდინარეობს კლინის ჯაჭვის არსებობა.

ვთქვათ  არის ჯაჭვის ელემენტთა სიმრავლე: . ლემა 1-დან გამომდინარეობს რომ ჯაჭვი არის მიმართული  -ჯაჭვი. CPO-ს გამნარტებიდან გამომდინარეობს რომ ამ სიმრავლეს აქვს სუპრემუმი, ავღნიშნოთ ის  -ით. საჩვენებელი დარჩა მხოლოდ ის, რომ  უმცირესი უძრავი წერტილია.

თავდაპირველად ვაჩვენოთ, რომ  უძრავი წერტილია, სხვა სიტყვებით . რადგან  არის  სკოტის აზრით უწყვეტი , , რაც იგივეა რაც . რადგანაც   და ასევე რადგან  არ ღებულობს მონაწილეობას სუპრემუმის დადგენისას, გვაქვს . აქედან კი , რაც იმას ნიშნავს რომ  არის -ის უძრავი წერტილი.

იმის საჩვენებლად რომ  სინამდვილეში უმცირესი უძრავი წერტილია საკმარისია ვაჩვენოთ რომ  სიმრავლის ყველა ლემენტი ნაკლებია ვიდრე -ის ნებისმიერი უძრავი წერტილი (რადგან სუპრემუმის (უმცირესი ზედა საზღვრის) განმარტებიდან, თუ ყველა ელემენტი სიმრავლიდან  ნაკლებია ვიდრე   სიმრავლის რაიმე დაფიქსირებული ელემენტი , მაშინ  ასევე ნალებია ვიდრე ).

ვაჩვენოთ ეს ინდუქციის საშუალებით: დავუშვათ  არის -ის რაიმე უძრავი წერტილი. დავამტკიცოთ ინდუქციით -ს მიმართ რომ . ავიღოთ :  ცხადია სრულდება, რადგან  უმცირესი ელემენტია -ში. ინდუქციის დაშვებად ავიღოთ . ინდუქციის ბიჯი: ინდუქციის დაშვებიდან და -ის მონოტონურობიდან, შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი: . რადგანაც  არის -ის უძრავი წერტილი, გვაქვს , საიდანაც ვღებულობთ .

იხილეთ აგრეთვე
 კნასტერ-ტარსკის თეორემა

ლიტერატურა
S.C. Kleene "Introduction to Metamathematics (Bibliotheca Mathematica)" 1952 ISBN-13: 978-0923891572

კატეგორია:დალაგების თეორია
კატეგორია:თეორემები უძრავი წერტილის შესახებ