ლოკალური ჰომეომორფიზმი

მათემატიკაში, კერძოდ კი  ტოპოლოგიაში, ლოკალური ჰომეომორფიზმი, ინტუიციურად წარმოადგენს ფუნქციას, f,  ტოპოლოგიურ სივრცეებს შორის, რომელიც ინახავს ლოკალურ სტრუქტურას. 

ფორმალური განსაზღვრება
ვთქვათ X და Y  ტოპოლოგიური სივრცეებია. უწყვეტი ფუნქცია  არის ლოკალური ჰომეომორფიზმი თუ ყოველი წერტილისათვის x  X არსებობს  x-ის შემცველი ღია სიმრავლე  U , ისეთი რომ   ღიაა  Y-ში და შეზღუდვა   ჰომეომორფიზმია.

მაგალითები
განსაზღვრების თანახმად, ყოველი ჰომეომორფიზმი ასევე ლოკალური ჰომეომორფიზმია.

თუ U ღიაა Y-ში  ქვესივრცის ტოპოლოგის მიმართ, მაშინ ჩადგმა i : U → Y ლოკალური ჰომეომორფიზმია. ღიობა მნიშვნელოვანია: არაღიას ჩადგმა Y-ში  არასდროს არ არის ლოკალური ჰომეომორფიზმი.

ყოველი გადაფარვა ლოკალური ჰომეომორფიზმია; კერძოდ,  უნივერსალური გადაფარვა p : C → Y  Y სივრცეზე ლოკალური ჰომეომორფიზმია. ზოგჯერ შებრუნებილიც სამართლიანია: თუ X და Y ლოკალურად კომპაქტური     ტოპოლოგიური სივრცეებია და p : X → Y არის proper ლოკალური ჰომეომორფიზმი, მაშინ p გადაფარვაა.

თუ f : S1 → S1 არის წრეწირის დახვევა თავისთავზე n-ჯერ. f ლოკალური ჰომეომორფიზმია არანულოვანი n-თვის, ჰომეომორფიზმი კი მხოლოდ იმ შემთხვევაში თუ ის ბიექციაა,  n = 1 ან -1.

თვისებები
ყოველი ლოკალური ჰომეომორფიზმი უწყვეტი და ღიაა ასახვაა.  ბიექციური ლოკალური ჰომეომორფიზმი ჰომეომორფიზმიცაა.

ლოკალური ჰომეომორფიზმი  f : X → Y ინახავს „ლოკალურ“ ტოპოლოგიურ თვისებებს: 
 X არის ლოკალურად ბმული მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ f(X) არის ასეთი.
 X არის ლოკალურად გზებით-ბმული მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ f(X) არის ასეთი.
 X არის ლოკალურად კომპაქტური მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ f(X) არის ასეთი.

თუf : X → Y ლოკალური ჰომეომორფიზმია და U არის ღია სიმრავლე X-ში, მაშინ შეზღუდვა f|U ასევე ლოკალური ჰომეომორფიზმია.

თუ f : X → Y და g : Y → Z ლოკალური ჰომეომორფიზმებია, მაშინ კომპოზიცია gf : X → Z ასევე ლოკალური ჰომეომორფიზმია.

ლოკალური ჰომეომორფიზმები ბოლოთი Y ურთიერთცალსახა თანადობაშია სიმრავლურ კონებთან Y-ზე. მეტიც, ყოველი უწყვეტი ასახვა ბოლოთი Y ბუნებრივად გააჩენს ერთადერთნაირად განსაზღვრულ ლოკალურ ჰომეომორფიზმს ბოლოთი Y.

სქოლიო

კატეგორია:ჰომეომორფიზმი
კატეგორია:ზოგადი ტოპოლოგია
კატეგორია:ტოპოსების თეორია