გალუას თანადობა

გალუას თანადობის მიზანია ერთი სტრუქტურის ობიექტს შეუსაბამოს მეორე სტრუქტურის ობიექტი, რათა პირველი დაახასიათოს მეორის საშუალებით. ასეთივე იდეაა როდესაც კოორდინატების შემოტანით გეომეტრიულ ობიექტს ვუთანადებთ ალგებრულ განტოლებას, რათა გეომეტრიული ამოცანა ალგებრის საშუალებით გადავწყვიტოთ. ამგვარი მეთოდი ფართოდ გამოიყენება ალგებრულ ტოპოლოგიაში, რომლის შემდგომი განზოგადოებაა კატეგორიათა თეორიაც. გალუას თანადობა ჩამოყალიბდა როდესაც ევარისტ გალუამ მრავალწევრს დაუკავშირა ჯგუფი (იხილე გალუას თეორია)

შეუღლებული ასახვები

განსაზღვრება

დალაგებულ სიმრავლეთა მონოტონურ ასახვებს f: A → B, g: B → A ვუწოდოთ შეუღლებული თუ სრულდება პირობები

a ≤ (g∘f)(a)
(f∘g)(b) ≤ b

სამართლიანია შემდეგი დებულება

თუ f: A → B, g: B → A შეუღლებული ასახვებია, მაშინ

(f∘g∘f)(a) = f(a)
(g∘f∘g)(b) = g(b)

დამტკიცება

რადგან a ≤ (g∘f)(a), მონოტონურობის გამო f(a) ≥ (f∘g)(b). მაგრამ თავის მხრივ f(a) ≤ (f∘g)(f(a))=(f∘g∘f)(a). აქედან ტოლობა (f∘g∘f)(a) = f(a). ასევე მტკიცდება მეორე ტოლობაც.

თეორემა

თუ f: A → B, g: B → A შეუღლებული ასახვებია, მაშინ
a ≤ g(b) ⇔ f(a) ≤ b

დამტკიცება

a ≤ g(b) ⇒ f(a) ≤ f(g(b)) ⇒ f(a) ≤ f(g(b)) ≤ b ⇒ f(a) ≤ b
f(a) ≤ b ⇒ g(f(a)) ≤ g(b) ⇒ a ≤ g(f(a)) ≤ g(b) ⇒ a ≤ g(b)

სამართლიანია შებრუნებული თეორემაც

თეორემა

თუ ორ სიმრავლეს შორის განმარტებულია ასახვები f: A → B და g: B → A პირობით

a ≤ g(b) ⇔ f(a) ≤ b

მაშინ ეს ასახვები შეუღლებული ასახვებია

დამტკიცება

ჯერ

f(a) ≤ f(a) ⇒ a ≤ g(f(a))

g(b) ≤ g(b) ⇒ f(g(b)) ≤ b

სამართლიანია მონოტონურობაც

a ≤ a' ⇒ a ≤ a' ≤ g(f(a')) ⇒ a ≤ g(f(a')) ⇒ f(a) ≤ f(a')

b ≤ b' ⇒ f(g(b)) ≤ b ≤ b' ⇒ f(g(b)) ≤ b' ⇒ g(b) ≤ g(b')

გალუას თანადობა

ვთქვათ მოცემულია დალაგებული სიმრავლეების A, B შეუღლებული ასახვები f: A → B, g: B → A. თუ სიმრავლე B-ში დალაგებას შევაბრუნებთ იგივე ასახვები გახდება კონტრავარიანტული, ხოლო შეუღლების პირობები გამოიყურება შემდეგნაირად

a ≤ g(f(a))

b ≤ f(g(b))

ამგვარად წარმოდგენილ ვითარებას, ჩვეულებრივ, გალუას თანადობას უწოდებენ. გალუას თანადობა არის შეუღლებული ასახვების კონტრავარიანტული ანალოგი.

მაგალითი

ვთქვათ მოცემულია სიმრავლური ასახვა α: X → Y. სიმრავლე A იყოს X-ის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე ჩადგმის დალაგებით, ხოლო სიმრავლე B იყოს Y-ის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე ასევე ჩადგმის დალაგებით. ასახვას f: A → B ელემენტი a ∈ A, ანუ X-ის ქვესიმრავლე, a ⊂ X, გადაჰქონდეს Y-ის ქვესიმრავლეში fa ⊂ Y, a-ს ანასახი. ასახვა g: B → A იყოს წინასახის აღება, ანუ gb = α-b. ორივე ეს ასახვა კოვარიანტული ასახვებია, ანუ დალაგებას ინახავს. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ასახვები შეუღლებულია. მეტიც, f ∘ g: B → B იგიური ასახვაა.

ამ ასახვათა კომპოზიციები დამატებასთან (მაგალითი 1.1.8) გალუას თანადობა იქნება.

სიმრავლეთა წყვილზე გალუას თანადობის წარმოშობა შესაძლოა სხვადასხვა საშუალებებით. ერთ ერთი ასეთი საშუალებაა მიმართება (relation).

ვთქვათ ორ სიმრავლეს X და Y-ს შორის მოცემულია მიმართება, R ⊂ X × Y. ეს მიმართება აჩენს გალუას თანადობას X-ის ჩართვის მიმართ დალაგებულ ქვესიმრავლეთა სიმრავლე A-სა და Y-ის ჩართვის მიმართ დალაგებულ ქვესიმრავლეთა სიმრავლე B-ს შორის. f: A → B და g: B → A. თუ a არის A-ს ელემენტი, ანუ X-ის ქვესიმრავლე, a ⊂ X, მაშინ fa იქნება Y-ის ქვესიმრავლე ყველა იმ ელემენტთა, რომელიც მიმართებაშია a-ს ყველა ელემენტთან.

y ∈ f(a) ⇔ ∀x ∈ a (x, y) ∈ R

ასევე განიმარტება gb

x ∈ g(b) ⇔ ∀y ∈ b (x, y) ∈ R

თეორემა

აღწერილი ასახვები გალუას თანადობაა

დამტკიცება

ასახვები კონტრავარიანტულია. მართლაც, თუ a ⊂ a' და y ∈ fa', მაშინ ∀x ∈ a' (x, y) ∈ R და მათ შორის a-ს ყველა ელემენტისათვის. ასე რომ fa' ⊂ fa. ასევე ასახვა g-სათვის. თუ x ∈ a და y ∈ fa, მაშინ (x, y) ∈ R, საიდანაც გამოდის, რომ a ⊂ gfa. ანალოგიურად ასახვა g-სათვის.

გალუას თანადობით განსაზღვრული მიმართება

ჩვენ ვნახეთ რომ მიმართება წარმოშობს გალუას თანადობას ქვესიმრავლეთა სიმრავლეებზე. პირიქითაც თუ მოცემულია გალუას თანადობა f: A → B, g: B → A შეგვიძლია განვიხილოთ ამავე სიმრავლეებზე მიმართება

(x, y) ∈ R ⇔ x < fy

ან მიმართება

(x, y) ∈ R ⇔ gx > y

რაც იგივე მიმართებაა თეორემა 1.2.4-ის ანალოგის ძალით. თვით სიმრავლეები A და B შეგვიძლია ჩავდგათ თავის ქვესიმრავლეთა სიმრავლეში შემდეგნაირად: A-ს ყოველ ელემენტს შევუსაბამოთ მასზე ნაკლებთა ქვესიმრავლე, ასევე B-ში.

თეორემა

აგებული მიმართებით ქვესიმრავლეთა სიმრავლეზე გალუას თანადობის გადმოტანა A, B-ზე თავდაპირველი თანადობაა

დამტკიცება

თუ y < fa, მაშინ (a, y) ∈ R. ასევე (a, y) ∈ R ⇒ fa > y. ანუ a-ს შესაბამის ქვესიმრავლეს ეთანადება fa-ს შესაბამისი ქვესიმრავლე. ასევე ასახვა g-ისათვის.

საბოლოოდ მივიღეთ, რომ მიმართება ექვივალენტურია გალუას თანადობის.