ნატურალური რიცხვი

ნატურალური რიცხვი (სიმბოლო: ℕatural) — მთელი დადებითი რიცხვი (1, 2, 3, 4, ...) .  

ნატურალურს უწოდებენ რიცხვებს, რომლებიც საგნების დასათვლელად გამოიყენება.

ნატურალური რიცხვების დაყოფას თვისებების მიხედვით რიცხვთა თეორია შეისწავლის. თვლასთან დაკავშირებული პრობლემები კი, მაგალითად როგორიცაა რამსეის თეორია, ისწავლება კომბინატორიკაში.

ნატურალური რიცხვების დაყოფა განიხილება სხვადასხვა ნიშნების მიხედვით, მაგალითად  2-ზე გაყოფადობის მიხედვით: გვაქვს ლუწი და კენტი ნატურალური რიცხვები. გამყოფთა რაოდენობის მიხედვით კი მარტივი და შედგენილი.

 ნატურალური რიცხვების ისტორია და ნულის სტატუსი 
ნატურალურ რიცხვებს დასაბამი აქვთ სიტყვებში, რომლებიც საგნების დასათვლელად გამოიყენებოდა. საწყისი რიცხვითი სახელია ერთი.

პირველი მნიშვნელოვანი ნაბიჯი რიცხვთა სისტემის განზოგადებაში იყო ციფრების გამოყენება რაოდენობის გამოსახატავად. ამან განვითარების საშუალება მისცა რიცხვების ჩაწერის სისტემას გაცილებით უფრო დიდი რიცხვების გამოსახვისთვის. მაგალითად, ბაბილონელებმა განავითარეს მძლავრი აღრიცხვის პოზიციური სისტემა, რომელიც მნიშვნელოვანწილად შედგებოდა 1-დან 10-მდე ციფრებისგან. ძველ ეგვიპტელებს გააჩნდათ აღრიცხვის სისტემა, სხვადასხვა იეროგლიფებისაგან შემდგარი, რომელნიც 1-დან 10-მდე ციფრებს აღნიშნავდნენ და ასევე 10-ის ყველა ხარისხს მილიონამდე. წარწერა ქვაზე კარნაკიდან, რომელიც თარიღდება ძვ. წ. 1500 წლით და რომელიც ამჟამად ლუვრში ინახება, გამოსახავს 276-ს როგორც 2 ასეულს, 7 ათეულს და 6 ერთეულს; იმავენაირად 4622-საც.

გაცილებით გვიანდელი წარმოჩენა განზოგადების განვითარებაში იყო 0-ის აღნიშვნის იდეა თავისი ციფრით. ნული, როგორც ციფრი გამოიყენებოდა პოზიციურ სისტემაში ბაბილონელების მიერ ჯერ კიდევ ძვ. წ. 700 წელს, მაგრამ ისინი ცარიელს ტოვებდნენ იმ ადგილს, თუ ის იყო რიცხვის უკანასკნელი სიმბოლო. ოლმეკი და მაიას ტომები იყენებდნენ ნულს როგორც ცალკე ციფრს ძვ. წ. I საუკუნეში. ეს დამოუკიდებელი მიღწევა იყო, თუმცა ის არ გასცდენია მესოამერიკას. ცნების თანამედროვე გამოყენება სათავეს იღებს ინდოელი მათემატიკოსი ბრაჰმაგუპტასგან 628 წელს. მაგრამ, აღსანიშნავია, რომ კომპუტისტები (აღდგომა დღის გამომთვლელები), დაწყებული დიონისე მცირით 525 წელს, ხმარობდნენ ნულს ჩაწერისას რომაული ციფრების გამოუყენებლად. სამაგიეროდ ისინი იყენებდნენ ლათინურ სიტყვას „ნულუს“-ს („nullus“ - არაფერი).
ციფრების, როგორც აბსტრაქტული ცნებების პირველ სისტემატიკურ მოკვლევას მიაკუთვნებენ ძველ ბერძენ ფილოსოფოსებს, პითაგორასა და არქიმედეს. თუმცა, დამოუკიდებელ შესწავლებს ჰქონდათ ადგილი დაახლოებით იმავე პერიოდში ინდოეთში, ჩინეთში, მესოამერიკაში.

მეცხრამეტე საუკუნეში ნატურალური რიცხვების სიმრავლეთა თეორიული განმარტება განვითარდა. ამ განმარტებით, ნული (ცარიელი სიმრავლის აღმნიშვნელი) განეკუთვნება ნატურალურ რიცხვებს. ამჟამად ნულს, ჩვეულებისამებრ მიაკუთვნებენ ნატურალურ რიცხვებს სიმრავლეთა თეორეტიკოსები, ლოგიკოსები და კომპიუტერული მეცნიერები. სხვა მათემატიკოსები მაგალითად, რიცხვთა თეორეტიკოსები, ძველ ტრადიციას მისდევენ და ნატურალური რიცხვების პირველ წევრად 1-ს მიიჩნევენ.

 ჩაწერის სისტემა 
მათემატიკოსები იყენებენ -ს ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის აღსანიშნავად. ეს სიმრავლე არის თვლადად უსასრულო: ის არის უსასრულო, მაგრამ თვლადი განსაზღვრების მიხედვით. ნატურალური რიცხვების რაოდენობა (იგივე კარდინალობა) აღინიშნება სიმბოლოთი ალეფ-ნული ().

ბუნდოვნების გასაფანტავად, რომ ნული არის ან არ არის ჩათვლილი მოცემულ სიმრავლეში „0“-ს უმატებენ ინდექსად ან „*“-ს ზედა შტრიხად:

 0 = { 0, 1, 2, ... } ; * = { 1, 2, ... .

(ზოგჯერ ინდექსი ან ზედა შტრიხი „+“ გამოიყენება „დადებითი“-ს აღსანიშნავად. თუმცა, ეს ხშირად გამოიყენება „არაუარყოფითი“-ს გამოსახვისთვის სხვა შემთხვევებში, როგორიც არის + = [0,∞) და + = { 0, 1, 2,... }, ყოველ შემთხვევაში ევროპულ ლიტერატურაში მაინც. სიმბოლო „*“, როგორც წესი არის „ნულისაგან განსხვავებული“-ს, ან უფრო სწორად, შექცევადი ელემენტების აღმნიშვნელი სიმბოლო.

სიმრავლეთა თეორეტიკოსები ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს საკმაოდ ხშირად გამოსახავენ ბერძნული ანბანის პატარა ასო „ომეგა“-თი: ω. ეს გამომდინარეობს რიგობითი რიცხვების გაიგივებიდან უფრო მცირე ყველა რიგობით რიცხვთა სიმრავლესთან. როდესაც ეს ჩაწერა გამოიყენება, ნული აუცილებლად იგულისხმება ნატურალურ რიცხვთა შორის.

 ალგებრული თვისებები 

   შეკრება  გამრავლება ჯამურობა:  a + b   ნატურალური რიცხვია  a × b   ნატურალური რიცხვია ჯუფთებადობა:  a + (b + c)  =  (a + b) + c  a × (b × c)  =  (a × b) × c გადანაცვლებადობა:  a + b  =  b + a  a × b  =  b × a ნეიტრალური ელემენტის არსებობა:  a + 0  =  a  a × 1  =  a გადანაწილებადობა:  a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c) ნულზე გაყოფა არ შეიძლება:   თუ ab = 0, მაშინ ან a = 0 ან b = 0 (ან ორივე)

 ფორმალური განსაზღვრებები 


ისტორიულად, ნატურალური რიცხვის საბოლოო განმარტება გარკვეული სიძნელეებით მოხერხდა. პეანოს პოსტულატების მიხედვით ყოველი მომდევნო პირობა უნდა იქნას დაკმაყოფილებული. გარკვეული აგებულებები აჩვენებენ, რომ სიმრავლეთა თეორიის მოცემულობით, პეანოს პოსტულატების მოდელები უნდა არსებობდნენ.   	

 პეანოს აქსიომები 
პეანოს აქსიომათა სისტემა შედგება 5 აქსიომისგან:
 არსებობს ნატურალური რიცხვი 0.
 ყოველი ნატურალური რიცხვ a-სთვის არსებობს მომდევნო ნატურალური რიცხვი S(a).
 არ არსებობს ნატურალური რიცხვი, რომლის მომდევნო 0-ია.
 განსხვავებულ ნატურალურ რიცხვებს განსხვავებული ნატურალური რიცხვი მოსდევთ: თუ a ≠ b, მაშინ S(a) ≠ S(b).
 თუ რაიმე თვისება ახასიათებს 0-ს და ყოველ მომდევნო ნატურალურ რიცხვს, მაშინ ის ახასიათებს ყველა ნატურალურ რიცხვს. (ეს პოსტულატი ადასტურებს, რომ მათემატიკური ინდუქციის ტექნიკა მართებულია.)

უნდა აღინიშნოს, რომ „0“ ზემოთ ხსენებულ განმარტებებში არა აუცილებლად ნიშნავს ჩვენთვის ჩვეულებისამებრ ცნობილ ციფრ ნულს. „0“ უბრალოდ ნიშნავს რაღაც ობიექტს, რომელიც შესაფერის მომდევნო ფუნქციასთან შერწყმისას აკმაყოფილებს პეანოს აქსიომებს. ყველა სისტემა რომელიც აკმაყოფილებს ამ აქსიომებს იზომორფულია. სახელწოდება „0“ აქ გამოყენებულია პირველი წევრის აღსანიშნავად, რომელიც არაფრის მომდევნოა. მაგალითისთვის, ერთით დაწყებული ნატურალური რიცხვებიც აკმაყოფილებენ ამ აქსიომებს.

 აგებულებები სიმრავლეთა თეორიის მიხედვით 

 სტანდარტული აგებულება 

სტანდარტული აგებულება სიმრავლეთა თეორიაში, ფონ ნეიმანის რიგობითის კონსტრუქციის მიხედვით ნატურალურ რიცხვებს განსაზღვრავს, როგორც:

შემოვიტანოთ შემდეგი აღნიშვნა, 0 := { }, ცარიელი სიმრავლე,
და განვსაზღვროთ S(a) = a ∪ {a}, a-ს ყოველი სიმრავლისთვის. S(a) არის a-ს მომდევნო რიცხვი და S არის მიმდევრობის ფუნქცია.
თუ უსასრულობის აქსიომა მართებულია, მაშინ ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე არსებობს და წარმოადგენს ყველა იმ სიმრავლის გადაკვეთას, რომლებიც შეიცავენ 0-ს და განეკუთვნებიან ამ მიმდევრობის ფუნქციას.
თუ ყველა ნატურალური რიცხვების სიმრავლე არსებობს, მაშინ ის აკმაყოფილებს პეანოს აქსიომებს.
მაშინ ყოველი ნატურალური რიცხვი უდრის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს გამოკლებული თვით ეს რიცხვი, ისე რომ 

 0 = { } = 
 1 = {0} = {{ }}
 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
 n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}

და ასე შემდეგ. ეს არის სწორედ ის, როცა ნატურალური რიცხვი გამოყენებულია როგორც სიმრავლე. ამ განსაზღვრების ქვეშ, n სიმრავლეში ზუსტად n რიცხვია (გულუბრყვილო გაგებით) და n ≤ m (გულუბრყვილო გაგებით) მაშინ და მხოლოდ მაშინ, n არის m-ის ქვესიმრავლე.

ამავე განსაზღვრებით, Rn -ის განსხვავებული ინტერპრეტაციები შეიძლება ემთხვეოდეს. 
უსასრულობის აქსიომა რომც არ იყოს მართებული და ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე რომც არ არსებობდეს, მაინც იქნება შესაძლებელი იმის განსაზღვრა, თუ რას ნიშნავს იყო ერთ-ერთი ამ სიმრავლეთაგანი. n სიმრავლე არის ნატურალური რიცხვი ნიშნავს, რომ ეს არის 0 (ცარიელი) ან მომდევნო რიცხვი, და რომ მისი თითოეული ელემენტი არის ან 0, ან რომელიმე სხვა ელემენტის მომდევნო რიცხვი.

სხვა აგებულებები       	

მიუხედავად იმისა, რომ სტანდარტული აგებულება მოსახერხებელია, ერთადერთი შესაძლო აგებულება არ არის. მაგალითად:
შესაძლებელია დავუშვათ, რომ 0 = { }
და and S(a) = {a},
მაშინ
 0 = { }
 1 = {0} = {{ }}
 2 = {1} = {{{ }}}, etc.
ან შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ 0 = {{ }}
და S(a) = a U {a},
მივიღებთ
 0 = {{ }}
 1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
 2 = {{ }, 0, 1}, etc.

ნატურალური რიცხვის პირველ სიმრავლეთა თეორისეულ განსაზღვრებას მიაკუთვნებენ ბერტრანდ რასელსა და ფრეგეს, თუმცა ამას ეჭვის ქვეშ აყენებენ, რომელთა მიხედვით ნატურალური რიცხვი n არის იმ სიმრავლეთა სიმრავლე, რომლებიც შეიცავენ n ელემენტებს. ეს შეიძლება წრიულად ჩანდეს, თუმცა შეიძლება მკაცრი განსაზღვრების ჩამოყალიბება. 0 აღვნიშნოდ, როგორც  (0 ელემენტისგან შემდგარ სიმრავლეთა სიმრავლე), ხოლო  (A-ს ნებისმიერი სიმრავლისთვის), როგორც  (იხ. სიმრავლეთა ჩაწერის ფორმა). მაშინ 0 იქნება 0 ელემენტის შემცველი ყველა სიმრავლის სიმრავლე,  იქნება ყველა იმ სიმრავლის სიმრავლე, რომლებიც შედგებიან 1 ელემენტისაგან,  - სიმრავლეთა სიმრავლე, რომლებიც შედგებიან 2 ელემენტისგან და ა.შ. ყველა ნატურალური რიცხვის სიმრავლე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ყველა სიმრავლის გადაკვეთა, რომლებიც შეიცავენ 0-ს როგორც ელემენტს და მოქცეულნი არიან -ს ქვეშ (რაც ნიშნავს, რომ თუ სიმრავლე შეიცავს n-ს, ის aსევე შეიცავს -საც). ამგვარი განსაზღვრება შეუსაბამოა ჩვეულებრივი სიმრავლეთა აქსიომატიკური თეორიის პირობებში მასში გამოყენებული შემადგენლების სიდიდის გამო (ის ასევე შეუსაბამოა ნებისმიერ სირავლეთა თეორიასთან გამოყოფის აქსიომით); მაგრამ ის გამოდგება ახალ საფუძვლებში (ასევე მსგავს, რაციონალურად ცნობილ სისტემებში) და ტიპების თეორიის ზოგიერთ სისტემაში.

ამ სტატიის დარჩენილ ადგილებში ჩვენ ვიყენებთ ზემოხსენებულ სტანდარტულ აგებულებას.

 თვისებები 

შესაძლებელია ნატურალური რიცხვების მიმატების შემდეგნაირად აღნიშვნა: a + 0 = a და a + S(b) = S(a + b) ნებისმიერი a, b-სთვის. ეს აქცევს ნატურალურ რიცხვებს (N, +) კომუტაციურ მონოიდებად ნეიტრალური ელემენტით 0. ე.წ. თავისუფალი მონოიდი ერთი მწარმოებლით. მონოიდი აკმაყოფილებს კვეცადობის თვისებას და შესაძლებელია მისი ჯგუფში გაერთიანება. უმცირესი ჯგუფი, რომელიც შეიცავს ნატურალურ რიცხვებს არის მთელი რიცხვები.

თუ შემოვიტანთ აღნიშვნას 1 := S(0), მაშინ b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). სადაც, b + 1 არის უბრალოდ b-ს მომდევნო რიცხვი.

ანალოგიური ხერხით ჩვენ შეგვიძლია გამოვსახოთ გამრავლების მოქმედებაც: a × 0 = 0 და a × S(b) =(a × b) + a. ეს აქცევს (N*, ×) თავისუფალ კომუტაციურ მონოიდად, ნეიტრალური ელემენტით 1; ამ მონოიდის მწარმოებელი არის მარტივ რიცხვთა სიმრავლე. მიმატება და გამრავლება ურთიერთშეთავსებადნი არიან და ეს გამოიხატება გადანაწილებადობის კანონში: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). მიმატებისა და გამრავლების თვისებების გამო ნატურალური რიცხვები განეკუთვნებიან კომუტაციური ნახევარწრის ინსტანციას. ნახევარწრეები არიან ნატურალური რიცხვების ალგებრული განზოგადებები, სადაც გამრავლება არააუცილებლად არის კომუტაციური.

ნატურალური რიცხვების „0-ის გარეშე“ ინტერპრეტაციისას, როდესაც ისინი იწყებიან 1-დან, +-ის და ×-ის განსაზღვრებები იგივეა იმის გამოკლებით, რომ ვიწყებთ a + 1 = S(a) and a × 1 = a - დან.

აქედან მოყოლებული სტატიაში გამოყენებული იქნება ab, რაც a × b-ს ანალოგიაა. ასევე დაცული იქნება მათემატიკურ მოქმედებათა სტანდარტული თანამიმდევრობა.

ტოლფასად, ნატურალური რიცხვები უტოლობის აღმნიშვნელი a ≤ b გამოიყენება მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც არსებობს სხვა ნატურალური რიცხვი c, a + c = b გარემოებით. ეს გარემოება შეთავსებადია არითმეტიკულ მოქმედებებთან შემდეგნაირი დამოკიდებულებით: თუ a, b და c ნატურალური რიცხვებია და a ≤ b, მაშინ a + c ≤ b + c და ac ≤ bc.  ნატურალური რიცხვების მნიშვნელოვანი თვისებაა ის, რომ ისინი მიმდევრობით კეთილგაწყობილნი არიან: ნატურალური რიცხვების ყოველი არაცარიელი სიმრავლე შეიცავს სულ მცირე ერთ ელემენტს მაინც. მიმდევრობით კეთილგაწყობილი სიმრავლეები თანრიგს განსაზღვრავს რიგობითი რიცხვი; ნატურალური რიცხვების შემთხვევაში ის გამოისახება „“-თი.

იმის გათვალისწინებით, რომ ზოგჯერ შეუძლებელია ერთი ნატურალური რიცხვის მეორეთი გაყოფით ისეცვ ნატურალური რიცხვის მიღება, ნაშთით გაყოფის პროცედურა  გვევლინება შემცვლელად; ნებისმიერი ორი ნატურალური რიცხვისათვის a და b, როცა b ≠ 0, შესაძლებელია ვიპოვოთ ნატურალური რიცხვები q და r, რომლებიც აკმაყოფილებენ

a = bq + r, სადაც r < b გამოსახულებას.

q-ს ეწოდება კოეფიციენტი, ხოლო r-ს კი --  a-ს  b-ზე გაყოფის შედეგად მიღებული ნაშთი. q და r უნიკალურად განისაზღვრებიან a-სა b-ს მეშვეობით.  ეს გაყოფის ალგორითმი არის გზამკვლევი სხვა თვისებებისაკენ (გაყოდფადობა), ალგორითმებისკენ (როგორიც არის, მაგალითად ევკლიდეს ალგორითმი), და იდეებისაკენ რიცხვთა თეორიაში.

ნატურალური რიცხვები, ნულის ჩათვლით, ქმნიან კომუტაციურ მონოიდებს მიმატების (ნეიტრალური ელემენტით 0) და გამრავლების (ნეიტრალური ელემენტით ერთი) პირობებში.

 განზოგადებები 
გამოყენების მიხედვით ორი ძირითადი განზოგადება ამოტივტივდება:

 ნატურალური რიცხვი შეიძლება გამოვიყენოთ სასრული სიმრავლის სიდიდის გამოსახატავად; ზოგადად კი, რაოდენობითი რიცხვი აგრეთვე არის  უსასრულო სიმრავლესთან შეთავსებადი სიდიდის საზომი; ეს გულისხმობს „სიდიდეს“, რომლის პირობებშიც, თუ ორ სიმრავლეს შორის ბიექციური არეკვლა არსებობს მათ გააჩნიათ იგივე სიდიდე. ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს, ისევეე როგორც ნებისმიერ დათვლადად უსასრულო  სიმრავლეს აქვს კარდინალურობა ალეფ-ნული ().
 რიგობითი რიცხვები, „პირველი“, „მეორე“, „მესამე“ შეიძლება მივაკუთვნოთ სასრული უტოლობის სიმრავლეების ელემენტებს, ასევე სადაც ნატურალური რიცხვებისმაგვარი მიმდევრობით განლაგებული დათვლადად უსასრულო სიმრავლეების ელემენტებს. ეს შეიძლება განზოგადდეს რიგობითი რიცხვების მიმართ, რომლებიც გამოსახავენ მიმდევრობით განლეგებულ სიმრავლეში კონკრეტული ელემენტის პოზიციას. რიგობითი რიცხვი ასევეე გამოიყენება მიმდევრობით განლაგებული სიმრავლის სიდიდის გამოსახატავად, რაოდენობითი რიცხვისაგან განსხვავებულ სტილში: თუ ორ მიმდევრობით განლეგებულ სიმრავლეს შორის არსებობს რიგობითი იზომორფიზმი მაშინ მათ საერთო რიგობითი რიცხვი გააჩნიათ. პირველი რიგობითი რიცხვი, რომელიც არ არის ნატურალური რიცხვი - -ა; რომელიც იმთავითვე ნატურალური რიცხვების სიმრავლის რიგობითობის აღმნიშვნელია.

საჭოროა ერთმანეთისგან განვასხვაოთ  და , რადგან ბევრ მიმდევრობით განლაგებულ სიმრავლეს რაოდენობითი რიცხვით  აქვთ -ზე დიდი რიგობითი რიცხვი. მაგალითად, ;  არის უმცირესი რიგობითი რიცხვი.

სასრული მიმდევრობით განლაგებული სიმრავლეებისთვის არსებობს ერთი-ერთთან თანხვედრა რაოდენობით და რიგობით რიცხვებს შორის; მაშასადამე, შეიძლება ორივე ერთი და იგივე ნატურალური რიცხვით გამოისახოს, სიმრავლის ელემენტების რაოდენობით. ეს რიცხვი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ელემენტის პოზიციის დასაფიქსირებლად უფრო დიდ სასრულ ან უსასრულო მიმდევრობაში.

ლიტერატურა
მახვილაძე ნ., „მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი“, თბ., 2008

რესურსები ინტერნეტში

 Axioms and Construction of Natural Numbers
 Essays on the Theory of Numbers by Richard Dedekind at Project Gutenberg

სქოლიო