チェス盤と小麦の問題

チェス盤と小麦の問題（チェスばんとこむぎのもんだい、）、またはチェス盤と米の問題（チェスばんとこめのもんだい、）は、数学の問題の一種。 以下のような文章題として表現される:
「チェス盤に、小麦を以下のように載せていく: 最初のマス目には1粒だけ置く。次のマス目には2粒置く。さらに次のマス目には4粒置く。以下同様に、あるマス目に置く粒の数は、直前のマス目に置かれた粒のちょうど2倍とする。さて、最終的にチェス盤の上に載っている小麦は何粒だろうか？」

この問題は単純な加法によっても解くことができる。 一般的なチェス盤は64マスであるため、全てのマスに置き終わった際の麦粒の数の合計値は   で計算できる。実際にこれを計算すると18,446,744,073,709,551,615 (千八百四十四京六千七百四十四兆七百三十七億九百五十五万千六百十五)粒となる。

この問題は、指数、ゼロ乗、総和、等比級数などの概念をわかりやすく説明するのに好都合な上に、等比数列や指数関数的成長がいかに急速に増加するかを示す簡単な例でもある。現代的な変種として、「今すぐ一億円もらえるか、一日目に一円で30日目まで毎日倍額になっていく報酬がもらえるか、どちらを選ぶか?」という、複利を説明するためのものもある。この例では、後者の30日目時点の最終的な利得は十億円以上(正確には十億七千三百七十四万千八百二十三円)になる。

 起源 
この問題はチェスの発明に関する様々な物語の中に登場し、その一つには等比数列の問題が含まれる。この問題が最初に記録されたのは1256年、イブン・ハッリカーンによるものであるClifford A. Pickover (2009), The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, New York : Sterling. . p. 102。別の物語では、チェスの考案者(一部の伝承では、チャトランガの考案者シッサ)が、自身の統治者に対して、チェスの発案という功績の報酬としてチェス盤と小麦の問題の要領で小麦を要求する。統治者は偉大な発明に対して微々たる報酬であると笑い飛ばすが、宮廷財務官が「予想外の莫大な小麦の要求量が統治者の資産を枯渇させる」と報告する。その後の考案者の顛末は話によって異なり、処刑されたり高位の家臣となったりする。

 解法 
サムネイル|2の冪を、 から任意の  まで足し合わせると  になる(すなわち、次のメルセンヌ数になる)
項目冒頭で行ったように、単純にそれぞれのマス目に置かれた麦粒の数を逐次的に足していっても答えが得られる。しかし、等比数列の性質を利用すれば、比較的簡単に答えを導出できる。

問題を一般化し、以下の一般項を求めたいとしよう：



これは総和を表すシグマ記号を用いて



と表される。等比級数の公式より、



と計算される(詳細は等比数列の項目を参照)。あとは、 を代入することで答えが得られる。

最終的な答えは、(定義から当然であるが)64番目のメルセンヌ数である。

 「チェス盤の後半」 
代替文=A chessboard with each square labeled with the number of wheat grains according to the problem. A red line divides the chessboard in half.|右|サムネイル|レイ・カーツワイルによる、「チェス盤の後半」原理の図解。M,G,T,...などの文字はSI接頭語である。
IT戦略における「チェス盤の後半」()とはレイ・カーツワイルが提唱した概念であり、指数関数的成長する要素が組織の全体的な事業戦略に重大な経済的影響を与え始める時点を指す。これは、カーツワイルが語る発案者と統治者(このバージョンでは中国の皇帝)の逸話では、皇帝はチェス盤の半分ほどで事態の深刻さに気づき、その後急速に事態は悪化したとされていることに依拠する。実際、チェス盤と小麦の問題において、チェス版の前半部分までで置かれている小麦の数も莫大 (、約42億) だが、後半部に置かれることになる小麦はその数をさらに約42億倍(正確には倍)したさらに莫大な量である。

小麦1粒を 65 mgとするのであれば、チェス盤の前半部分に置かれることになる小麦の総質量は約279トンに及ぶ。一方、盤面全体に置かれることになる小麦の総質量は約1200ギガトンに及び、これは世界中で生産される小麦約1600年分に相当する。

 関連項目 


 マルサスモデル
 ムーアの法則
 データ量の比較
 IT戦略
 成長の限界

 脚注 

 外部リンク 


 Salt and chessboard problem - A variation on the wheat and chessboard problem with measurements of each square.

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