ニールセン＝二宮の定理

ニールセン＝二宮の定理（）は、格子上に定義されたカイラルフェルミオン理論において、単独のワイルフェルミオンを実現できないことを示すである。1981年にと二宮正夫によって証明された。この結果は、格子上でカイラル対称性を保ったままフェルミオンを定義することの根本的困難を明らかにしたものであり、格子量子色力学やカイラルゲージ理論の構成原理と密接に関係している。本定理は二論文によって証明され、正則化理論一般に対するノーゴー定理と、ホモトピー理論および微分位相幾何学を用いた位相的証明が示されている。

この定理はフェルミオン倍加（フェルミオン・ダブリング）問題の一般的表現であり、カイラル対称性・局所性・エルミート性・並進対称性などの自然な仮定を同時に満たす限り、右手型と左手型のワイルフェルミオン数は必ず等しくなることを保証する。三次元結晶中のワイル半金属においてワイル点が必ず対で出現することの理論的根拠ともなっている。

 フェルミオン倍加問題 
連続理論におけるディラック作用

を格子間隔  で単純に離散化すると、運動量表示で

が得られる。この演算子は

でゼロとなるため、次元では個のディラック点を持つ。特に4次元では個のゼロ点が存在し、1つの物理的フェルミオンに対して15個の余分なフェルミオン種が現れる。この現象は、格子の並進対称性により運動量空間がブリュアンゾーンというトーラスになることに起因する。カイラルゲージ理論の場合、Adler–Bell–Jackiw異常は

で与えられ、一般に右手型と左手型の数の差

に比例する。しかし格子では

が強制されるため、Adler–Bell–Jackiw異常は相殺される。

 内容 
 一般ノーゴー定理 
正則化されたカイラルフェルミオン理論が

 ゲージ群の少なくともグローバル部分に対して不変



 正しいAdler–Bell–Jackiw異常を再現

 作用がフェルミオン場に関して双線形

を同時に満たすことは不可能である。

Noether保存則

と量子異常

は両立しないためである。

 位相的証明 
三次元格子模型において、格子ハミルトニアン  がエルミートかつ局所的で並進対称であると仮定すると、運動量空間は三次元トーラスとなる。ワイル点近傍では

と展開できる。各ワイル点はベリー曲率

のモノポールであり、そのトポロジカル電荷（チャーン数）

で特徴付けられる。トーラスは境界を持たない閉多様体であるため、

が成立する。これは

に等しいため、

が必然的に導かれる。この証明は写像

の次数がゼロであること、すなわちホモトピー群

による分類に基づく。

 凝縮系物理との関係 
ワイル半金属では、ワイル点は運動量空間におけるベリー曲率の源および吸い込み点として実現される。ニールセン＝二宮の定理により、ワイル点は必ず正負のチャーン数を持つ対として出現する。

外場  と  が平行な場合、カイラル異常により

が成立し、粒子数の非保存が生じる。この効果は負の縦磁気抵抗として観測されている。また、本定理は後に発見されたGinsparg–Wilson関係やオーバーラップフェルミオンの構成により部分的に回避可能であることが示されたが、それらも本質的には定理の位相的制約を反映している。

 脚注 

 関連項目 
フェルミオン・ダブリング
カイラル異常

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Category:量子色力学
Category:格子模型
Category:フェルミ粒子