直接直交ゼロ変換

直接直交ゼロ変換（ちょくせつちょっこうゼロへんかん、、DQZ、DQ0、またはDQO、しばしば小文字で表記される）またはパーク変換（にちなむ）は、解析を簡略化するために3要素のベクトルまたは3x3要素の行列の基準座標系を回転させるテンソルである。この変換は、クラーク変換と新しい回転基準座標系を組み合わせたものである。

パーク変換は、電気工学において三相回路の文脈でよく用いられる。この変換を用いることで、交流（AC）波形の基準座標系を回転させ、それらを直流（DC）信号に変換することができる。これにより、逆変換を行って実際の三相交流の結果を復元する前に、これらの直流値に対して簡略化された計算を行うことが可能となる。一例として、パーク変換は三相同期機の解析を簡略化するためや、三相インバータの制御計算を簡略化するために頻繁に利用される。三相同期機の解析では、この変換によって三相の固定子および回転子の量を単一の回転基準座標系に転送し、時変インダクタンスの影響を排除して、システムを線形時不変システムへと変換する。

 導入 
パーク変換は、回転行列とクラーク変換行列の積に等しい。クラーク変換（にちなむ）は、ABC 基準座標系のベクトルを XYZ（ とも呼ばれる）基準座標系に変換する。クラーク変換の主な価値は、ベクトルの3つの成分すべてに共通する部分を分離することにある。すなわち、同相成分（零相成分、すなわち Z 成分）を分離する。電力不変で、右手系であり、均一にスケーリングされたクラーク変換行列は以下の通りである。

ABC 基準のを XYZ 基準座標系に変換するには、ベクトルに左からクラーク変換行列を乗じる。

また、XYZ 基準の列ベクトルから ABC 基準座標系に戻すには、ベクトルに左からクラーク変換行列の逆行列を乗じる。

回転操作は、XYZ 基準座標系のベクトルを DQZ 基準座標系に変換する。回転の主な価値は、ベクトルの基準座標系を任意の周波数で回転させることにある。回転により信号の周波数スペクトルがシフトし、その任意の周波数が「直流（dc）」として現れ、以前の直流がその任意周波数の負の値として現れるようになる。回転行列は以下の通りである。

ここで、 は任意の周波数  の瞬時角である。XYZ 基準のベクトルを DQZ 基準座標系に変換するには、列ベクトル信号に左から回転行列を乗じる。

また、DQZ 基準のベクトルから XYZ 基準座標系に戻すには、列ベクトル信号に左から回転行列の逆行列を乗じる。

パーク変換は、クラーク変換と回転の積に等しい。

逆変換は以下の通りである。

ABC 基準のベクトルを DQZ 基準座標系に変換するには、列ベクトル信号に左からパーク変換行列を乗じる。

また、DQZ 基準のベクトルから ABC 基準座標系に戻すには、列ベクトル信号に左からパーク変換行列の逆行列を乗じる。

この変換をよりよく理解するために、変換の導出を以下に含める。

 導出 

 回転行列の導出 

回転行列は、内積およびベクトルを他のベクトルに投影するという概念に基づいている。まず、2つの単位ベクトル  と （旧基準座標系から見た新基準座標系の単位ベクトル、つまり軸）、および3番目の任意のベクトル  を想定する。これら2つの単位ベクトルとを、旧基準座標系におけるデカルト座標を用いて定義できる。

ここで、 と  は旧座標系の単位基底ベクトルであり、 は  と  単位ベクトルの間の角度（すなわち、2つの基準座標系の間の角度）である。任意のベクトルの2つの新しい単位ベクトルへの投影は、内積を意味する。

したがって、 は  の  軸への投影であり、 は  の  軸への投影である。これらの新しいベクトル成分  と  は、合わせて新しいベクトル 、すなわち新しい DQ 基準座標系で表された元のベクトル  を構成する。

上記の正の角度  により、新しい DQ 基準座標系へ移行した際、任意のベクトルが逆方向に回転したように見えることに注目されたい。言い換えれば、新しい基準座標系に対する角度は、旧基準座標系に対する角度よりも小さくなる。これは、ベクトルではなく基準座標系が順方向に回転したためである。実際、基準座標系の順方向への回転は、ベクトルの負方向への回転と同一である。三相交流電気システムのように、旧基準座標系が順方向に回転している場合、結果として得られる DQ ベクトルは静止したままとなる。

単一の行列方程式で上記の操作を要約できる。

このテンソルは3次元の問題に拡張でき、回転の軸となる軸は影響を受けない。次の例では、回転は Z 軸の周りであるが、どの軸を選ぶことも可能であった。

線形代数学の観点からは、これは単に z 軸周りの時計回りの回転であり、数学的には三角関数の加法定理と等価である。

 クラーク変換の導出 

 ABC 単位基底ベクトル 
単位基底ベクトル A、B、C を持つ3次元空間を考える。下図の球体は文脈のために基準座標系のスケールを示すのに用いられ、立方体は回転の文脈を示すのに用いられている。

通常、電気工学（または三相システムを使用するその他の文脈）では、三相成分は2次元のパースペクティブで示される。しかし、3つの相が独立して変化し得ることを考慮すると、それらは定義上互いに直交している。これは、上図に示されているような3次元のパースペクティブを意味する。したがって、2次元のパースペクティブは実際には3次元の現実の平面への投影を示しているのである。
三相の問題は通常、この平面内で動作するものとして記述される。実際には、問題はおそらく平衡相問題（すなわち ）であり、正味のベクトル

は常にこの平面上にある。

 AYC' 単位基底ベクトル 
クラーク変換を構築するために、実際にはパーク変換を2段階で使用する。我々の目標は、C 軸を立方体のコーナーへ回転させることである。こうすることで、回転した C 軸は前述の2次元パースペクティブの平面に対して直交することになる。クラーク変換構築の第一歩は、ABC 基準座標系を A 軸周りに回転させることである。したがって、今回はパーク変換の最初の要素に 1 が入る。

下図は、任意のベクトルに左から  行列を乗じたとき、ABC 基準座標系がどのように AYC'  基準座標系に回転するかを示している。C'  軸と Y 軸は立方体の辺の中点を指すようになったが、基準座標系の大きさは変化していない（すなわち、球体は拡大も縮小もしていない）。これは  テンソルのノルムが 1（）であるという事実による。これは、ABC 基準座標系の任意のベクトルが AYC'  基準座標系に回転しても、同じ大きさを保持し続けることを意味する。

 XYZ 単位基底ベクトル 
次に、以下のテンソルが、新しい Y 軸に対して反時計回りにベクトルを回転させる（角度は C'  軸が立方体のコーナーを向くように選ばれた）。

または

球体の中心から立方体の辺の中点までの距離は  であるが、球体の中心から立方体のコーナーまでの距離は  であることに注目されたい。これが 35.26° という角度の由来である。この角度は内積を用いて計算できる。 を C'  方向の単位ベクトルとし、 を  にある立方体のコーナー方向の単位ベクトルとする。（ここで  は  と  の間の角度）であるため、以下のようになる。

K2 行列のノルムも 1 であるため、これも K2 行列を乗じたベクトルの大きさを変化させない。

 零平面 
この時点で、Z 軸は、同相成分を持たない任意の ABC ベクトルが存在する平面に対して直交するようになった。同相成分を持たない（不平衡でない）任意の平衡 ABC ベクトル波形はこの平面内を移動する。この平面を零平面（zero plane）と呼び、下図に六角形の外形線で示す。

X および Y 基底ベクトルは零平面上にある。X 軸は零平面への A 軸の投影と平行であることに注目されたい。X 軸は、零平面への A 軸の投影よりもわずかに大きい。その係数は  である。この ABC 基準座標系から XYZ 基準座標系への変換において、任意のベクトルの大きさは変化しなかった（すなわち、球体のサイズは変わらなかった）。これは電力不変形のクラーク変換に当てはまる。下図は、ABC および XYZ 基準座標系の一般的な2次元パースペクティブを示している。

ベクトルの大きさは変わらないのに、その成分の大きさ（すなわち X および Y 成分が A、B、C 成分よりも長いこと）が変化するのは奇妙に思えるかもしれない。これはおそらく、同相成分のないベクトルの場合、以前は表現に3つの値（A、B、C 成分）を必要としたものが、Z 成分がゼロであるため現在は2つ（X および Y 成分）で済むことを考えれば、直感的に理解できるだろう。したがって、補償のために X および Y 成分の値は大きくなければならないのである。

 テンソルの組み合わせ 
電力不変クラーク変換行列は、K1 テンソルと K2 テンソルの組み合わせである。

または

掛け合わせた際、KC 行列の最下行が 1/3 ではなく 1/ になっていることに注目されたい（エディス・クラークは非電力不変形の場合に 1/3 を使用した）。Z 成分は A、B、C 成分の正確な平均ではない。もし最下行の要素だけを 1/3 に変更すると、球体は Z 軸に沿って押しつぶされることになる。これは Z 成分が X および Y 成分と同じスケーリングを持たなくなることを意味する。
上記のように記述されている場合、クラーク変換行列のノルムは依然として 1 であり、これは ABC ベクトルを回転させるだけでスケーリングは行わないことを意味する。クラークの元の変換については同じことは言えない。

（行列の積により）KC の逆行列が以下になることは容易に確認できる。

 非電力不変形（物理量不変形） 

X 軸が零平面への A 軸の投影そのものになるようにクラーク変換行列をスケーリングすることが望ましい場合がある。これを行うには、スケーリング係数  を一律に適用し、零成分には   を適用して、非電力不変（物理量不変）クラーク変換行列を得る。

または

これは必然的に、下図に示すように球体を  の係数で縮小させる。この新しい X 軸は、零平面への A 軸の投影と正確に一致していることに注目されたい。

非電力不変クラーク変換を用いると、任意のベクトルの大きさは ABC 基準座標系よりも XYZ 基準座標系において小さくなるが（変換のノルムは ）、個々のベクトル成分の大きさは（同相成分がない場合）同じになる。したがって、例として、以下で定義される信号

は、XYZ 基準座標系では以下のようになる。

成分の大きさが元の成分と同じ 1 である新しいベクトルとなる。多くの場合、これは非電力不変（物理量不変）クラーク変換の有利な性質である。

 パーク変換の導出 

パーク変換は、クラーク変換を適用して ABC 基準のベクトルを2つの差動モード成分（すなわち X と Y）および1つの同相モード成分（すなわち Z）に変換し、その後、基準座標系を Z 軸周りにある与えられた角度で回転させることと同等である。X 成分は回転のベクトルと「直接（direct）」並ぶ D 成分になり、Y 成分は直接成分に対して「直交（quadrature）」する角度にある Q 成分になる。パーク変換は以下の通りである。

 例 
電気システムにおいて、多くの場合 A、B、C の値は、正味のベクトルが回転するように振動している。平衡システムでは、ベクトルは Z 軸の周りを回転する。多くの場合、基準座標系を回転させ、この回転による ABC 値の主要な変化をキャンセルし、より微細な変動をより明白にすることが有用である。これはシステムを線形時不変システムへと変換するため、非常に有用である。

パーク変換は幾何学的には、3つの別々の正弦波相量を、その正弦波相量と同じ角速度で回転する2つの軸への投影と考えることができる。

上図は、同期機の固定子に適用されたパーク変換を示している。物理的に120度離れた3つの巻線がある。三相電流は大きさが等しく、互いに電気角で120度離れている。三相電流は、対応する相電圧に対して  だけ遅れている。DQ 軸は、相電圧および電流と同じ角速度  で回転している状態で示されている。D 軸は、基準として選ばれた相 A 巻線と角度  を成す。電流  および  は一定の直流値となる。

 ロバート・H・パークによって元々提案された変換 

ロバート・H・パークによって元々提案された変換は、上記のものとはわずかに異なる。その変換では、q軸がd軸より先行し（qd0）、以下に示すように角度  は相aとd軸の間の角度である。D. Holmes and T. Lipo, "Pulse Width Modulation for Power Converters: Principles and Practice", Wiley-IEEE Press, 2003.P. Krause, O. Wasynczuk and S. Sudhoff, "Analysis of Electric Machinery and Drive Systems", 2nd ed., Piscataway, NJ: IEEE Press, 2002.

および

 関連項目 

 対称座標法
 αβ変換
 ベクトル制御

 参考文献 
 個別参照

 全般的な参照

 C.J. O'Rourke et al.  "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.
 J. Lewis Blackburn Symmetrical Components for Power Systems Engineering, Marcel Dekker, New York (1993), .
 Zhang et al. A three-phase inverter with a neutral leg with space vector modulation IEEE APEC '97 Conference Proceedings (1997).
 T.A.Lipo, “A Cartesian Vector Approach To Reference Theory of AC Machines”, Int. Conference On Electric Machines, Laussane, Sept. 18–24, 1984.

Category:電気工学
Category:同期機