原始置換群

原始置換群は推移的であるが、全ての推移的置換群が原始的であるとは限らない。最も単純な例は、正方形の頂点上に作用するクラインの四元群であり、これは2つの対角線への分割を保存する。その一方、置換群が自明な分割のみを保存するときは、2つの元をもつ集合に自明群が作用する場合を除き、その群は推移的である。なぜならば、非推移的な作用においては、Gの軌道がGによって保存される非自明な分割をなすか、群の作用が自明であるかのいずれかであるからである。後者の場合、全ての非自明なXの分割（これは|X| ≥ 3のとき存在する）はGにより保存される。

この用語は、エヴァリスト・ガロアにより、彼の最後の手紙の中で導入された。彼はその手紙の中で、原始的なガロア群をもつ方程式のことを、フランス語でéquation primitiveと呼んでいる。

 特性 
"原始的"という用語を導入した同じ手紙の中で、 ガロアは以下の定理を主張している:もしGが有限集合Xに作用する原始的可解群であるならば、Xの位数は素数pのべき乗である。それに加えて、Xはp個の元からなる有限体上のアフィン空間によって特徴づけられ、GはXにアフィン群の部分群として作用する。Gが作用する集合Xが有限集合の場合、その濃度はGの次数と呼ばれる。

ガロアによるこの結果の系として、が奇素数の場合、次数の可解で推移的な群の位数はの約数になる。実際、素数次数の推移的な群はすべて原始的であり（なぜなら、により固定された分割に含まれる要素数はの約数でなければならないから）、個の元からなるアフィン空間のアフィン群の位数はだからである。

したがって、が3より大きい素数である場合、次の対称群および交代群は、その位数がよりも大きいため、可解ではない。アーベル-ルフィニの定理は、この結果と、対称群をガロア群としてもつ多項式が存在するという事実から導かれる。

原始性の等価な定義は、群Gの全ての推移的作用は、HをGの部分群としたとき、剰余類からなる集合G/HへのGの標準的作用から得られる作用と同型であるという事実に依存している。その群作用は、HがGのであり、G/Hに同型であるならば原始的であり、そうでない場合（すなわち、Hを正規部分群として含むようなGの正規部分群Kが存在する場合）は非原始的である。これらの非原始的作用は、の例である。

次数の小さい原始群の個数は、による1937年の著作（p.162）によると、以下の通りである。

 次数  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  OEIS 個数  1  2  2  5  4  7  7  11  9  8  6  9  4  6  22  10  4  8  4  9  4  7  5  

次数16の原始群は多数ある。これらの群はカーマイケルが注記しているように、対称群と交代群以外は全て、2個の元からなる有限体上の4次元空間に作用するアフィン群である。

 例 
 集合に作用する対称群と置換 

を考える。およびから生成される群は、いずれも原始的である。
 ここで集合に作用する対称群と置換 

を考えよう。から生成される群は原始的ではない。なぜなら、分割（ここで、とする）は置換のもとで保存される、すなわち かつであるからである。
 全ての素数位数の推移的群は原始的である。
 集合に作用する対称群は全てのnにおいて原始的であり、集合に作用する交代群は、2より大きい全てのnにおいて原始的である。

 参照項目 


 （有限原始群のさまざまなタイプへの分類）

 注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 
 Roney-Dougal, Colva M. The primitive permutation groups of degree less than 2500, Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154–183. 
 The GAP Data Library "Primitive Permutation Groups".

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