全確率の法則

全確率の法則(ぜんかくりつのほうそく、)、または全確率の公式(ぜんかくりつのこうしき、)は、確率論において周辺確率と条件付き確率とを関連づける基本的な法則の一つ。複数の異なる事象を通じて実現しうる結果の総合的な確率を表すため、この名称が付けられている。

 主張 
全確率の法則の主張することは、  を有限または可算無限集合とした時、 が相互排他的かつ網羅的な事象群であれば、任意の事象  に対して

が成立するということである。Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press.  page 31.同じことは

と表すこともできる。Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press.  page 31.なお、ある  について  が成立すれば、 が有限であるのでそれの項は単純に総和から除かれる。

この総和は加重平均とみなすことができ、その視点で周辺確率  を「平均確率()」と呼ぶことがある。より非公式な文章では「全体的な確率()」も時々使用される。

全確率の法則は条件付き確率に対しても適用できる: 

 を上のようにとり、かつ  がどの  とも 独立であるとすれば、次のようにも表せる:

 連続的な場合 
全確率の法則は、連続確率変数によって生成される事象を条件とする場合にも適用される。  を確率空間とし、 を分布関数 をもつ確率変数、 を  上の事象とする。すると、全確率の法則の主張は 

となる。さらに、 が密度関数  を持つとすれば、 

となる。加えて、ボレル集合  を用いて  とできる状況では、主張は次のようになる: 

 例 
市場に同一の部品を供給する2つの工場があると仮定する。工場Xが供給する部品は、5000時間以内に故障しない確率が99%である。一方、工場Yが供給する部品は、5000時間以内に故障しない確率が95%である。工場Xはこの部品で60%の市場シェアを、工場Yは40%の市場シェアをそれぞれ占めている。ここで、現在市場に出回っている部品をランダムに購入した場合、その部品が5000時間以内に故障しない確率を考える。

全確率の法則により、この確率は

で計算できる。ここで、

  は工場X製の部品を購入する確率
  は工場Y製の部品を購入する確率
  は工場X製の部品が5000時間以内に故障しない確率
  は工場Y製の部品が5000時間以内に故障しない確率

をそれぞれ表す。これにより、ランダムに購入した部品が5000時間以内に故障しない確率は97.4% であることがわかる。

 関連項目 

 大数の法則


 周辺確率

 脚注 

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