リー群一覧表

この項目は、リー群及びそれらのリー代数の一覧である。

群の位相幾何学的性質(次元、連結空間、コンパクト空間、基本群及び単連結性)及び代数的性質(可換群、単純性及び半単純性)についても述べる。

他の例及び他の関連項目については、

 単純リー群
 ビアンキ分類

を参照すること。

 実リー群/代数 

 Cpt：コンパクト性(コンパクト空間である(Y)か否(N)か)
 ：単位元成分（英語版）。単位元空間の成分の数は連結空間の数を与える。 単連結空間であるならば自明群(=0)である。
 ：基本群。 短連結空間ならば自明群(=0)である。
 次元：の指数n

リー群概要演算Cpt被覆空間性質リー代数次元Rnユークリッド空間加法N00可換RnnR×0を除く実数乗算NZ2–可換R1R+正の数乗算N00可換R1S1U(1)円周群乗算Y0ZR可換
SO(2)、Spin(2)及びR/Zと同型R1Aff(1)のアフィン写像合成写像NZ2–可解群
R+及びR×の半直積2H×0を除く四元数乗算N00H4S3Sp(1)単位四元数
三次元球面乗算Y00SU(2)及びSpin(3)と同型
SO(3)の被覆空間Im(H)3GL(n,R)n次元実一般線形群乗算NZ2–M(n,R)n2GL+(n,R)行列式が正のn次元実正方行列乗算N0Z  n=2Z2 n>2n=1のときR+と同型かつ単連結M(n,R)n2SL(n,R)n次元実特殊線型群乗算N0Z  n=2Z2 n>2n=1のとき自明群sl(n,R)n2−1SL(2,R)ポワンカレの上半平面モデル乗算N0Z被覆空間には有限次元の忠実表現なし
SU(1,1)及びSp(2,R)と同型sl(2,R)3O(n)n次元直交行列乗算YZ2–球面または 三次元球面と対称群so(n)n(n−1)/2SO(n)n次元直交群乗算Y0Z  n=2Z2 n>2Spin(n)n>2n=1のとき自明群
n=2のとき円周群と同型
n=3のとき、球面上の回転を表すso(n)n(n−1)/2SE(n)n次元ユークリッドの運動群乗算N0se(n)n + n(n−1)/2Spin(n)n次元スピン群乗算Y0 n>10 n>2n=1のときZ2 と同型で非連結
n=2のとき円周群と同型で非単純連結so(n)n(n−1)/2Sp(2n,R)2n次元実斜交群乗算N0Zsp(2n,R)n(2n+1)Sp(n)n次元コンパクト斜交群乗算Y00sp(n)n(2n+1)Mp(2n,R)2n次元実乗算Y0Zこのリー代数は代数群ではない
Sp(2n,R)の二重被覆群sp(2n,R)n(2n+1)U(n)n次元ユニタリ群乗算Y0ZR×SU(n)n=1のときS1と同型 
複素リー群/代数でないu(n)n2SU(n)n次元特殊ユニタリ群乗算Y00複素リー群/代数でないsu(n)n2−1

 実リー代数 
次元はの指数nである。

リー代数要素乗算単純性半単純性性質次元R実数01Rnn次元実数0nR33次元実数外積  3H四元数交換子積4Im(H)純虚四元数外積  su(2)、so(3,R)と同型3M(n,R)n次元実正方行列交換子積n2sl(n,R)トレース0のn次元実正方行列交換子積  n2−1so(n)n次元実交代行列交換子積 
ただし、n=4は除く n=4のとき、半単純リー代数であるが、単純ではないn(n−1)/2sp(2n,R)を満たす2n次元実正方行列

ここで、Jはn次元実交代行列交換子積  n(2n+1)sp(n)n次元四元数エルミート交代行列交換子積  n(2n+1)u(n)n次元エルミート交代行列交換子積複素リー代数ではないn2su(n) n≥2トレース0のn次元エルミート交代行列交換子積  複素リー代数ではないn2−1

 複素リー群/代数 
複素リー群は複素多様体であり、乗算と逆元がそれぞれ正則写像による群として定義される。次元はの指数nである。それぞれの複素リー群／代数は、2倍の次元の実リー群／代数と対応している。

リー群要素演算Cpt被覆空間性質リー代数次元Cnn次元複素数加法N00可換CnnC×0を除く複素数乗算N0Z可換C1GL(n,C)n次元複素一般線型群乗算N0Zn=1のとき、 C×と同型M(n,C)n2SL(n,C)n次元複素特殊線形群乗算N00n=1のとき、自明群
n=2のとき、Spin(3,C)及びSp(2,C)と同型sl(n,C)n2−1PSL(2,C)2次元射影可能特殊線形群乗算N0Z2SL(2,C)メビウス変換群、ローレンツ群SO+(3,1,R)及びSO(3,C)と同型sl(2,C)3O(n,C)n次元複素直交群乗算NZ2–n=1のとき有限群so(n,C)n(n−1)/2SO(n,C)n次元複素特殊直交群乗算N0Z  n=2Z2 n>2n=1のとき、自明群
n=2のときアーベル群かつC×と同型so(n,C)n(n−1)/2Sp(2n,C)2n次元複素斜交群 乗算N00sp(2n,C)n(2n+1)

 複素リー代数 
次元とはの指数nである。それぞれの複素リー代数は、2倍の次元の実リー代数と対応している。

ここで、任意の体に対して2次元アフィン変換のリー代数gが存在する。その例は実リー代数の表で挙げた。

リー代数要素乗算単純性半単純性性質次元C複素数1Cnn次元複素数0nM(n,C)n次元複素正方行列交換子積n2sl(n,C)トレース0のn次元正方行列交換子積  n=2のとき、と同型n2−1so(n,C)交代行列交換子積 
ただし、n=4は除く n=4のとき、半単純リー代数であるが、単純ではないn(n−1)/2sp(2n,C)JA + ATJ = 0を満たす2n次元正方行列
ここでJ は交代行列交換子積  n(2n+1)

 例外型リー群 
リー群ディンキン図形ファイル:Dynkin diagram E6.pngファイル:Dynkin diagram E7.pngファイル:Dynkin diagram E8.pngファイル:Dynkin diagram F4.PNGファイル:Dynkin diagram G2.PNG

 関連項目 

 Classification of low-dimensional real Lie algebras（英語版）

 単純リー群

 参考文献 



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