E7 (数学)

数学において、E7とは、133次元のコンパクトリー群で、代数群の一つである。対応するリー代数はe7である。ルート系に由来しており、その階級は7である。E7 は複素単純リー群のキリング形式に由来している。単純リー群にはAn, Bn, Cn, Dnと、例外型である, , , , がある。E7 はそのうちの一つである。

この群には基本的な複素表示がある。E7の代数表記は2階の巡回群Z/2Zであり、その外部自己同型群は自明群である。基本表現の次元は56である。

 実/複素表示 

 ディンキン図形 
サムネイル|120x120ピクセル|E7のディンキン図形
E7のディンキン図形は以下の通りである。

 ルート系 
サムネイル|300x300ピクセル|E7の231 polytopeの126 vertices ルート系。コセクター数のコクセター・ディンキン図形は である。
サムネイル|300x300ピクセル|H3対称性の[u,v,w]ベクトルを用いた3Dプロジェクション。u、v、wは以下のとおりである。u = (1, φ, 0, -1, φ, 0,0)v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1,0)w = (0, 1, φ, 0, -1, φ,0)
ルート系には(1,−1,0,0,0,0,0,0)による8×7パラメータがあり、かつ(,,,,−,−,−,−)によるパラメータがある。

7次元部分空間は、8次元座標の成分の和が0となる部分空間がある。これらのルート系の数は126である。

単純ルート系は以下の通りである。

 (0,−1,1,0,0,0,0,0)
 (0,0,−1,1,0,0,0,0)
 (0,0,0,−1,1,0,0,0)
 (0,0,0,0,−1,1,0,0)
 (0,0,0,0,0,−1,1,0)
 (0,0,0,0,0,0,−1,1)
 (,,,,−,−,−,−)

サムネイル|562x562ピクセル|E7ルート系のハッセ図
E7のワイル群は2903040のオーダーをもつ。巡回群の部分群のオーダーは2である。特殊単純群のオーダーは1451520である。これはPSp6(2)及びPSΩ7(2)で説明できる。

 カルタン行列 
カルタン行列は以下の通りである。

 主な部分代数 
サムネイル|804x804ピクセル|E7の133次元部分空間
E7にはSU(8)部分代数があり、これは8次元ルート系による。これはSU(8)ルート系の最初の群である。これはE7のカルタン部分代数と同等である。

加えて、133次元表現はE8にある。

実/複素リー代数/群の有限次元による表現の指標はすべてワイルの指標公式で与えられる。取り得る次元を小さい順に並べた数列がである。

 1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840...

 多項式不変量 
E7は、56の非可換な変数による多項式の組の自己同型群である。(p, P)と(q, Q)という28次元の群に分けることができる（ここで、p と q は実数値であり、PとQは八元数によるエルミート行列である。よって、Sp(56, R)の最初の多項式不変量は以下の通りである。

2つ目の多項式不変量は以下の対称4次多項式である。

ここで、はであり、2項演算子はである。

別の4次式不変量は、カルタンが構築した、28個の要素を持つ2つの8次元反対称正方行列を用いる。

 物理との関連性 
11次元空間から次元簡略した4次元空間でのN = 8超重力理論はボソン系におけるE7大域対称性とSU(8)ゲージ理論を許容する。フェルミ場はSU(8)の表現、ゲージ場はE7の表現、スカラー場はその両方の表現である（重力子はその両方に関して一重項状態である）。物理状態はそれらの商群状態である。

超弦理論において、E7表現はゲージ群の部分群であり、不安定非超対称性をもつヘテロティック弦理論である。 これは4次元K3曲面上のヘテロティック弦理論6次元コンパクト化における連続ゲージ群にも現れる。

 注釈 

 参考文献 

 関連項目 



 単純リー群

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