テトラド表記

テトラド表記(テトラドひょうき　)またはの多脚場である四脚場とは、アインシュタイン方程式を解くために簡略化する時のリーマン曲率テンソルの形を変える際に用いられる。
定義
4成分の正規直交ベクトルの組をテトラド表記という。つまり、反変な基底ベクトルを用意する。このかっこの添字がテトラドの添字を表し、という４つの組がテトラドと呼ばれるもので、このテトラドを非座標基底としたときテトラド基底という。
詳しく言えば、
曲率テンソルなどの共変微分を求める際、実際の計算として基底は正規直交であることが好ましいため、計量の成分についてとなり、は＋ーーーの符号系が与えられている。

上記のようになるように取った基底を正規直交基底と呼ぶ。

基底の内積は計量テンソルの成分であったため、基底の内積の総和をとったようにかける。そしてそれらの添字の上げ下げは特殊相対性理論と同じくミンコフスキーメトリックで良い。

接ベクトルの成分を正規直交基底で書き直すと、
ここで、となり、よって接ベクトルの成分を正規直交基底で現すと成分は、となる。はn×nの成分を持つ行列であり、これのことをでは、テトラド表記と呼ぶ
性質
添字の上げ下げはその空間の計量テンソルで行い、として、共変な基底ベクトルとなる。に相反しているベクトルをとすると、となる。テンソルのテトラド成分はテトラドによる系に射影することによって、逆も同じで、である。

出典

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