アレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンド

アレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンド（Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735年2月28日 – 1796年1月1日）はフランスの数学者・音楽家であり、ベズーとラヴォアジエとともに活動した化学者である。現在彼の名は、主に数学の行列式についての理論に関係して知られている。彼はパリで生まれ、当地で死去した。

彼はパリ高等師範学校の教授であり、フランス国立工芸院の会員、エコール・ポリテクニークの試験官でもあった。

 経歴 
 前半生 
ヴァンデルモンドはフランドル系の家系の出身で、彼の父親ジャック＝フランソワはで生まれ、ランスで1720年に免許を取得した医師だった。フランス東インド会社の首席外科医（Chirurgien-major）として勤務中、マカオで最初の結婚をし、1927年にシャルルという息子が生まれた。妻と死別し12年ぶりに帰国した後パリで開業し、故郷の郵便局長の娘と再婚した。翌1733年、息子のアレクサンドル＝テオフィルが生まれた。当初、息子が音楽に強い関心を示していたため父は彼に音楽家の道へ進むように促した。一方、若い頃の彼は数学に特に興味を示さなかった。家族は彼にバイオリニストとしての優れた音楽教育を受けさせつつ他の分野の教育も怠ることはなく、1757年、彼はパリで法学士の学位を取得した。1762年に、父の跡を継いで医師となって二つの医学雑誌の編集者を務めていた異母兄が結婚式の前日に死去したため、その遺産により、数学への強い関心を追求する余裕が生まれた。彼はディドロやダランベールなどの百科全書派の著作を多読し、やと親交を深めた。彼は熟練したバイオリニストであったが、この分野で大きな成功を収めることはできなかった。それでも、1770年にによって数学の世界に導かれ、大きな情熱を伝えられた35歳の時まで、音楽を捨てることはなかった。

 数学 
ごく短期間に集中的な数学教育を受けた後、その年の末に彼は最初の著作『方程式の解法に関する論考』を出版した。この著作で彼は対称関数の問題と円分多項式の解法について論じ、ある意味でガロアの理論を半世紀も先取りしていた。この処女作は大きな関心を呼び、1770年12月にフランス科学アカデミーで公に朗読されるという、通例アカデミー会員のみに与えられる栄誉を受けた。翌1771年、かなり意外なことに彼は同アカデミーの会員に選出された。いずれにせよ、彼の最初の論考と、その後1771年から1772年にかけてアカデミーに提出した3つの作品は、当時最も革新的な数学分野における貴重な貢献である。1771年に発表された2番目の論文『位置の問題についての考察』は、位相幾何学の発展における重要な成果であり、関連するオイラーの研究にヴァンデルモンドが精通していなかったことを考慮すると、その重要性はさらに高まる。この論文では、糸や紐の織り目や網目を準位相幾何学的な観点から研究し、結び目の性質を議論するうえで位相的特性が重要であることを明確に述べることで、結び目理論の先駆けとなった。

「空間における糸のねじれや曲がり具合がどうであろうと、その寸法を計算する式は常に得られる。しかし、そのような式は実際にはほとんど役に立たないだろう。網や組紐、あるいは何らかの結び目を作る職人にとってより重要なのは、測定の問題よりも位置の問題、つまり糸がどのように絡み合っているかである。」

数学における彼の最後の二つの貢献は、彼が科学アカデミー会員となった後になされた。『次数の異なる無理数と、その円への応用に関する論考』（1772年）では組合せ論を取り上げ、『消去法に関する論考』（1772年）では行列式論の基礎の一部を示した。科学アカデミーに提出されたこれら 4 つの論文が、彼の出版された数学に関する業績の全てである。1772年を最後に、彼は数学に関する著作を一切発表しなかった。

この最後の著作には有名なヴァンデルモンドの行列式そのものは登場せず、実際、この著作から導出されたのではなく『方程式の解に関する論考』から導かれたものである。この著作では、現代の定式化では前述の行列式が登場する、補間曲線の解法に類似した手順が説明されている。当時、行列式の由来となる行列については、まだ定義すらされていなかった。しかし、行列式とは何かという概念は高度に発達していた。

 理工学 
フランス科学アカデミー会員に任命されたのを機に、ヴァンデルモンドは精力的に研究を進めるだけではなく、同時代の最も著名な科学者たちとの交流を深め、科学と音楽に関する新たな著作を発表するようになった。化学者のエティエンヌ・ベズーとアントワーヌ・ラヴォアジエと知り合い、すぐに緊密な協力関係を築いた。1777年には、ベズー、ラヴォアジエと共同で、とくに1776年に発生した大霜の影響に重点を置いて行った低温に関する実験の成果を発表した。10年後の1787年、ガスパール・モンジュ、ベルトレと共同で鋼鉄の製造に関する 2 編の論文を発表した。その研究の目的は銃剣に使用される鋼鉄の改良であり、そのために鉄と炭素のさまざまな組み合わせが試された。モンジュとの緊密な科学的協力関係は、ヴァンデルモンドがファム・ド・モンジュ（モンジュの女房）と仇名されるほどの深い友情によって支えられていた。

 音楽論 
1778年、ヴァンデルモンドは大きな影響を与えた音楽理論に関する二部構成の著作の第一部をフランス科学アカデミーに提出した。その題は『現代の音楽状況に適用可能な和声の体系』であり、第二部は2年後の1780年に提出された。音楽と数学の両分野に精通した専門家として音楽と数学の関係を探求したり、数学的な観点から和声理論を展開したりすることを期待されていたのに反し、ヴァンデルモンドが提案した音楽理論は数学を根拠とするものではなかった。彼の考えはその反対で、音楽家はあらゆる音楽理論を無視して、音楽を判断する際には良く訓練され教育された自分の耳だけに頼るべきだというものだった。喜劇役者の論争の余波にまだ翻弄され、ラモーの和声論に強く影響されていたフランスの音楽界に、この著作はヴァンデルモンドの立場に賛成する者と反対する者との深い分裂を招いた。当初は多くの音楽家から強い反感を買ったが、ヴァンデルモンドの考えは歳月とともに浸透していった。19世紀初頭、フランス科学アカデミーが音楽を、それまで属していた数学から分離し、芸術の一分野に位置づけることを決定してからは、その影響力はより強まった。ヴァンデルモンドのような著名な数学者が推進したこの分類変更は今では奇妙に思えるかもしれないが、古代ギリシャ以来、音楽は数学の一部と見なされていたため、真の革新であった。

 晩年 
ヴァンデルモンドは、1782年に国立工芸院の院長を、1792年に軍被服局 (Bureau de l'Habillement des Armées) の長官を務めた。同年、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュとともに、新発明の楽器であるハーモニック・バイオリンの評価を行う科学アカデミーの委員会に加わった。友人のモンジュと同様、ヴァンデルモンドはフランス革命の強力な支持者だったが、病弱であった彼はすぐに革命から距離を置き、科学に専念するようになった。ラプラス、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、モンジュとともに、ヴァンデルモンドは1794年10月に設立された高等師範学校の一員となり、政治経済学の講義について決定を下すための実務家たちのチームに加わった。長い闘病の末、1796年に死去した。

 数学に関する 4 編の著作 
ヴァンデルモンドの 4 編の数学論文の表題と、フランス科学アカデミーにおける発表年は以下の通りである。

 Mémoire sur la résolution des équations（方程式の解法に関する論考）（1771年）
 Remarques sur des problèmes de situation（配置問題に関する見解）（1771年）
 Mémoire sur des irrationnelles de différens ordres avec une application au cercle（次数の異なる無理数と、その円への応用に関する論考）（1772年）
 Mémoire sur l'élimination（消去法に関する論考）（1772年）

最初の論文では、方程式の根の n 乗和を求める公式と、それらの根のべき乗の対称関数の和を求める公式を提示している。どちらの公式もエドワード・ウェアリングの著作に簡潔に記載されており、真に独創的なものではない。彼自身この事実を認識してはいたが、しかしながら自分のアプローチは十分異なるものであり、この論点について新たな論文を発表する価値があると考えていた。この論文では、それに加えて n が 10 未満の素数の場合方程式  が根号によって解けることも示している。ジョーンズは、以下のように記している:

「ヴァンデルモンドの真の、しかし認識されていない功績は、最初の論文で、方程式の根の置換に対して不変な関数の研究を通じて、代数方程式の可解性という一般的な問題に取り組んだ点にある。」

クロネッカーは1888年に、現代代数学の研究はヴァンデルモンドの最初の著作から始まったと主張した, „Mit Vandermonde's im Jahre 1770 der Pariser Akademie vorgelegten Abhandlung über die Auflösung der Gleichungen beginnt – so hat sich jüngst Herr Kronecker in einer Vorlesung geäussert – der neue Aufschwung der Algebra“「1770年にパリのアカデミーに提出された、方程式の解法に関するヴァンデルモンドの論文により－クロネッカー氏が最近の講演で述べたように－代数学の新たな隆盛が始まった。」 の著者名のイニシャルが“N.”となっているのは、（p.364）によれば、ドイツ語圏において、著者の個人名が不明な時に用いる慣習的記法である。。コーシーは、ヴァンデルモンドはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュより先に、最終的に群論の研究につながるこの驚くべき発想に到達したと明確に述べた。

彼の 2 番目の著作では、チェス盤上をくまなく巡るナイトの動きと経路を考察している。この研究は位相幾何学研究の初期の例であり、この主題に関するオイラーの研究を彼が知らなかったという事実を考慮すれば、その先駆性はより高く評価されるべきである。以下の記述から、彼が結び目の研究における位相幾何学的性質の重要性を理解していたことは明らかである。

「空間の中で一本の糸がどのような巻き方や結び目をもっていたとしても、その寸法を計算する式を得ることは常に可能である。しかし、そのような式は実際にはほとんど役に立たないだろう。組み紐、網などの特定の形の結び目を作る職人にとって問題になるのは、紐の長さではなく配置である。彼らにとって重要なのは、結び目がどのように絡み合っているかということである。」

彼はチェス盤上を周遊するナイトの動きについて考察するとともに、その動きによって描かれる曲線がどのように絡み合うかも研究した。この分野での彼の仕事は、後にガウス、そしてマクスウェルによって、電気回路の分野においてさらに深められていくアイデアの始まりとなった。

彼の最後の二つの論文は、彼がすでに科学アカデミー会員であった頃に執筆された。第 3 論文 Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle（1772年）では組合せ論を論じ、記号

と

を定義した。

当時はn!の表記法すら存在しなかったため、ヴァンデルモンドはさらに一般的な記法を定義したことは興味深い。ヴァンデルモンドの表記法を用いると、明らかに  である。

彼は第 4 論文 Mémoire sur l'élimination（1772年）で、行列式論の基礎の一部を明らかにした。は、この論文のおかげで、ヴァンデルモンドは行列式論の創始者と見なされるにふさわしい唯一の人物であると主張している。ミュアがこのように強く主張する理由は、ライプニッツなどの数学者がヴァンデルモンドより前に行列式を研究していたものの、それ以前の研究はすべて、行列式を単に線形方程式を解くツールとして使っていただけなのに対し、ヴァンデルモンドは行列式を関数として考え、関数が行列式となるための特性を確立したからである。ヴァンデルモンドは行列式を関数として考え、関数が行列式となるために必要な性質を定めたからである。彼は、行列式の 2 行または 2 列を交換した場合の効果を示し、そこから、2 つの列または 2 つの行が等しい行列の行列式は 0 であることを導き出した。また、行列式を表す非常に明快な表記法を定めたが、この表記法はその後定着しなかった。有名なヴァンデルモンドの行列式は、この最後の著作には明示的に登場しないが、第 1 論文 Mémoire sur la résolution des équations では曲線の補間法に似た手順を提示しており、その手順を現代的に定式化すると、前述の行列式が使用される。

 業績 
 数学 
ヴァンデルモンドはバイオリニストであり、数学の研究に従事したのは1770年前後の期間のみである。Mémoire sur la résolution des équations（方程式の解法についての論考） (1771)で、彼は対称関数と円分多項式の解について報告した。この論文は、のちのガロア理論（群論の黎明期におけるヴァンデルモンドの役割については、群論の歴史を参照）を予期させるものだった。Remarques sur des problèmes de situation（配置問題に関する見解） (1771) で、彼はナイトの巡歴問題について研究し、結び目の特徴に関する議論において、位相幾何学的特徴の重要性について以下のように明白な注意を残すことにより、結び目理論のさきがけとなった:

"空間内における糸の組のひねりや折り返しがどのようなものであっても、その不変量を計算するための数式を必ず求めることができるが、その式の実用的用途は皆無であろう。組み紐、網やある種の結び目を考案する職人は、不変量の計算ではなく、それらの位置関係を考慮する: 彼がそこで見るのは、糸が組み合っているその組み合い方である。"

同年、彼はフランス科学アカデミーの会員に選ばれた。Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle（次数の異なる無理数と、その円への応用に関する論考） (1772) は組合せ論の、Mémoire sur l'élimination（消去法に関する論考）（1772）は行列式の基礎理論に関するものである。これらの論文は科学アカデミー紀要 に掲載され、彼の出版された数学的業績はこれが全てである。 ヴァンデルモンドの行列式に関する明白な記述は無い。

 経済学 
1794年、彼は公安委員会政府の命を受け、リヨンの商工業の衰退の原因に関する詳細な報告書を提出した。彼は新設されたパリ高等師範学校においてフランスで初の経済学講義を担当したが、アシニャ券の価値低下による財政難のため学校は授業開始から 4 ヶ月後の 1795 年 5 月に閉鎖され、講義は開始から 2 ヶ月で中断してしまった。

ヴァンデルモンドの講義案はジェイムズ・ステュアートの『政治経済学の原理の研究』の構成にほぼ従ったものであり、イギリスに遅れを取っていた革命後のフランス経済を発展させるために、政府が積極的に「人為的欲求」を刺激することにより、富裕層の消費意欲と貧困層の労働意欲が活発化し、経済的格差は次第に縮小されると論じた。彼の唱えた政府主導の産業主義的政策は、ナポレオン体制下で商法典を編纂したによって引き継がれた。

 遺産 
ヴァンデルモンドは、彼の名を冠したヴァンデルモンド行列で最もよく知られている。この行列は彼の著作にはそのままの形では登場せず、その名称は主に、1940年にルベーグがヴァンデルモンドのノート一部を非常に寛大に解釈したことによるものである。同様に、組合せ論における基本的な恒等式であるも、彼に敬意を表した命名である。しかし、おそらく最も影響力がありながら、最も知られていない彼の貢献は、音楽理論を数学から切り離したことであろう。

 関連項目 
 ナイト・ツアー
 結び目理論

 ヴァンデルモンド多項式
 ヴァンデルモンド行列

 脚注 

 関連文献 
 Gilbert Faccarello, Du Conservatoire à l'Ecole Normale, Les cahiers d'histoire du CNAM, 2-3, 17–57, CNAM, Paris, 1993.  
















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