キャプランスキーの稠密性定理

フォン・ノイマン環の理論において、カプランスキーの密度定理（Kaplansky density theorem）は、アーヴィング・カプランスキーに由来する基本的な近似定理である。この技術的工具の重要性と普遍性から、ゲルト・ペダーセンはその著書の一つで次のように述べているPg. 25; Pedersen, G. K., C*-algebras and their automorphism groups, London Mathematical Society Monographs, .：
密度定理は、カプランスキーが人類に贈った偉大な贈り物である。それは毎日、そして日曜日には二回使える。

 定理の主張 
K− で、ヒルベルト空間 H 上の有界作用素全体のなす集合 B(H) における集合 K の強作用素位相に関する閉包を表す。また、(K)1 で、K と B(H) の単位球の共通部分を表す。
カプランスキーの密度定理Theorem 5.3.5; Richard Kadison, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. .。　 が  の自己共役な作用素環であるとき、 の強作用素位相に関する閉包の単位球に含まれる任意の元  は、 の単位球の強作用素位相に関する閉包に含まれる。すなわち、 が成り立つ。特に、 が  に含まれる自己共役作用素であるならば、 は  に含まれる自己共役作用素全体の集合の強作用素位相に関する閉包に含まれる。

カプランスキーの密度定理は、強作用素位相に関するいくつかの近似結果を導くために用いられる。

1. h が (A−)1 に含まれる正作用素であるならば、h は (A+)1 に含まれる自己共役作用素全体の集合の強作用素位相に関する閉包に含まれる。ここで、A+ は A に含まれる正作用素全体の集合を表す。

2. A がヒルベルト空間 H 上で作用するC*-環であり、u が A− に含まれるユニタリ作用素であるならば、u は A に含まれるユニタリ作用素全体の集合の強作用素位相に関する閉包に含まれる。

密度定理及び1. の結果は、単位球の代わりに半径 r > 0 の球を考えても成り立つ。

 証明の概略 
標準的な証明は、有界連続な実数値関数 f が強作用素連続であるという事実を用いる。すなわち、A に含まれる自己共役作用素のネット {aα} に対して、連続関数計算 a → f(a) は、

を強作用素位相において満たす。これは、A− の単位球の自己共役部分が、A の自己共役元によって強近似可能であることを示している。その後、対角成分が 0 で他の位置が a と a* である自己共役作用素を M2(A) で考える行列計算により、自己共役性の制限を取り除き、定理を証明する。

 脚注 

 参考文献 
 Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. .
 V.F.R.Jones von Neumann algebras; 講義ノート（未完成）。
 M. Takesaki Theory of Operator Algebras I 

 関連項目 
 ジェイコブソンの密度定理
 フォン・ノイマンの二重交換子定理

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