適正強制公理

数学の集合論において、適正強制公理（てきせいきょうせいこうり、、PFA）とは、マーティンの公理の重要な強化版で、可算鎖条件（ccc）を適正強制（てきせいきょうせい、）で置き換えたものである。

 言明 
強制半順序  が適正（てきせい、）であるとは、いかなる不可算正則基数  についても、 による強制が  の定常部分集合を保存することである。

適正強制公理とは次の命題である:  が適正であって、各  についての  が  の稠密部分集合であるとき、あるフィルター  が存在して、全ての  について  が非空となる。

PFAが適用できる適正な強制半順序のクラスというのは、十分に大きい。例えば、ごく標準的な議論で、 が ccc を満たすか ω-closed であれば、 は適正であることが証明される。また、 が適正強制によるである場合も、 自体が適正となる。特に重要なこととして、全ての適正強制は  を保存する。

 様々な帰結 
PFA は ccc 強制に対するマーティンの公理に直接的に対応する公理である。基数演算において、PFA からは  が導かれる。PFA の下では、R のいかなる二つの -dense な部分集合も同型であるし、いかなる二つのアロンシャイン木も club-同型であるAbraham, U., and Shelah, S., Isomorphism types of Aronszajn trees (1985) :en:Israel Journal of Mathematics (50) 75 -- 113し、ブール代数  上の自己同型写像は全て自明なものになる。PFA の下ではが成立する。:en:John R. Steel によって証明された特に注目すべき結果として、集合論宇宙の実数全体を含む最小の内部モデルである :en:L(R) においては決定性公理が成立するというものがある。また別の帰結として、PFAの下では :en:Square principle が成立せず、それゆえ大量のが存在する内部モデルの存在性も示されることが知られている。

 無矛盾性の強さ 
もし、超コンパクト基数が存在するなら、PFA が成り立つ集合論モデルも存在する。証明には適正強制が可算サポート反復の下で保存されることと、 が超コンパクトなら、 に対するも存在することを用いる。

PFA からどれだけの巨大基数公理がちょうど導かれるのかは未解決である。現在知られている下限は、ウディン基数の列の極限であるウディン基数の存在をわずかに下回るものとなっている。

 他の強制公理 
有界適正強制公理（ゆうかいてきせいきょうせいこうり、、BPFA）は PFA の弱化で、任意の稠密集合に適用できていた部分をサイズ  の極大反鎖のみに制限したものである。:en:Martin's maximum はこの強制公理の変形の中で可能な限り最強のものである。

強制公理は、巨大基数公理に代わり集合論の公理体系を拡張する有力な候補である。

 適正強制の基本定理 
適正強制の基本定理はシェラによるもので、いかなる適正強制による可算サポート反復も、それ自体が適正となるという定理である。これは適正反復補題（Proper Iteration Lemma）と呼ばれる次の補題から導かれる: 

もし、
  が  に基づく可算サポート反復である。
  が  の可算な初等部分構造（ただし、ここで は十分大きい正則基数）である。
  である。
  である
  が -generic である。
  が  を強制する。
が成立するなら、ある  が存在して、
  は -generic である。
  の  への制限は  に等しい。
  は  の  への制限が  以上に強い元になることを強制する。
が成立する。

適正反復補題の  が  の元であることを仮定しないこのバージョンは Schlindwein によるものであるSchlindwein, C., "Consistency of Suslin's hypothesis, a non-special Aronszajn tree, and GCH", (1994), Journal of Symbolic Logic (59) pp. 1–29。

適正反復補題は  上の簡単な帰納法で証明でき、適正強制の基本定理は補題で  としたものから従う。

 脚注 

 出典 

 参考文献 






 関連項目 
 :en:Stevo Todorčević
 サハロン・シェラハ

Category:集合論の公理
Category:強制法
Category:数学に関する記事