双曲四元数

双曲四元数（そうきょくしげんすう、）は、またはクリフォード代数  に対応する 4 次元実代数を指す仮称である。

標準四元数と同様に基底  を持つが、虚数単位の平方が

となる点が特徴である。

数学的には、分裂四元数と完全に同型である。
 定義 
双曲四元数  は、

で表され、積は

により定義される。

これにより

が従う。
 分裂四元数との同型 
分裂四元数  を、基底  と

で定義する。

写像

を

と定めると、積の保存

が成立し、 は同型写像である。
 クリフォード代数との関係 
分裂四元数  は、以下と同型であることが知られている：

  は 1 個の負平方元、1 個の正平方元を持つクリフォード代数
  は 2×2 実行列全体
双曲四元数は、この連鎖の中に自然に位置づけられる。
 行列表現 
対応

は、双曲四元数と  の同型を与える。
 ノルム 
共役

に対し、ノルム

を得る。

符号が  の「分裂型」計量であり、  のときに限り逆元が存在する。
 クリフォード代数 

 体系の中での位置づけ（図式） 
クリフォード代数の標準的分岐図における位置づけは次の通り：

さらに、

 標準四元数：
 分裂四元数：
である。

 同型性の厳密証明（ε–δ レベルの代数的厳密性） 
以下では、双曲四元数 と分裂四元数  の同型''

が「代数として」同型であることを、基底同型と積構造保存の  形式に近い厳密さで示す。
 代数同型の定義 
実代数  に対し、写像

が 代数同型 であるとは：

  は線形写像
 単位元の保存
 積の保存
 双射である（全単射）
 線形性の証明 
分裂四元数の任意元

に対し、 は

これは係数の線形写像

として作用し、線形性は係数レベルで自明に成立。

 積の保存 
基底の積だけ確認すればよい（双線形性のため）。分裂四元数の積

に対し、双曲四元数では

写像  のもとで

これで積が保存される。
 全単射性 
 は基底を基底に写す線形写像なので、

行列表示すると

ゆえに可逆。

したがって全単射。
 結論 
以上より、 は代数同型である：

すなわち、双曲四元数は分裂四元数と数学的に完全同型である。

 行列表現とクリフォード代数との一致 
2×2 実行列代数  はクリフォード代数

の既約表現である。

写像

はクリフォード生成子

を満たすため、

と一致する。

 関連項目 
 四元数
 幾何学的代数
 出典 

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