対数一様分布

対数一様分布（たいすういちようぶんぷ、）は、確率論や統計学における連続確率分布の一種。確率変数のある値における確率密度関数がその逆数に比例する形となっていることが特徴である。このため、英語ではreciprocal distribution (直訳で逆数分布)と呼ばれることもある。 

「対数一様」の名は、正の確率変数 が対数一様分布に従うとき、確率変数 が連続一様分布に従うという性質に由来する( は自然対数)。一方、対数一様分布に従う確率変数の逆数もまた、対数一様分布に従う。

 定義 
対数一様分布の確率密度関数は次で与えられる:



ここで、 実数 はこの分布の台を定める母数であり、は自然対数である。

この分布の累積分布関数は次で与えられる:



 特徴 
 連続一様分布との関係 
左|サムネイル|対数一様分布に従う確率変数のヒストグラム。(左)横軸が線形スケール。(右)横軸が対数スケール。
正の確率変数  が対数一様分布に従う時、確率変数  は一様分布に従う:



これを示すには(または同値の)として確率変数の変数変換を適用すればよい:

なお、この関係性は対数や指数関数の底がネイピア数でなくとも成立する。実際、に対して、が一様に分布しているとき、も一様に分布する。同様に、なる  に対して、が対数一様に分布していればも対数一様に分布する。

 応用 
対数一様分布は、数値解析において極めて重要である。これは、初期に任意の分布を持つ仮数部が、計算機において算術演算(特に反復的な乗算・除算)を実行することで、極限的には対数一様分布に従うようになるためである。Hamming R. W. (1970) "On the distribution of numbers", The Bell System Technical Journal 49(8) 1609–1625

 脚注 

Category:数学に関する記事