クンマーの定理

数学において、クンマーの定理（クンマーのていり、英: ）は二項係数におけるp進付値を与える定理で、エルンスト・クンマーによって1852年に示された。

 主張 
整数 n ≥ m ≥ 0 と素数 p に対し、 二項係数  が p で割り切れるような最大の回数  は m と n-m を底 p で加算した時の繰り上がりの回数と等しい。 

また、以下のような同値な表現も存在する。

整数 n の p 進表示を とし、桁和  を定める。このとき、

この公式は、ルジャンドルの公式をに適用することで証明できる。

 例 
が2で割り切れる最大回数を求める。,  を  進法で以下のように加算すると3回繰り上がる。

したがって  である。実際  は2で最大3回割り切れる。

p 進法での桁和を用いても求められる。2進法での3, 7, 10 の桁和はそれぞれ, ,  なので、

 多項係数への一般化 
クンマーの定理は次のように 多項係数  にも一般化することができる。 

 関連項目 
 リュカの定理
 ルジャンドルの公式

 出典 

 外部リンク 


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