アーリヤバタ記数法

アーリヤバタ記数法（アーリヤバタきすうほう、、）は、サンスクリットの音素に基づくアルファ音節型の数値表記体系である。6世紀初頭、インドの数学者アーリヤバタによって著作『（Aryabhatiya）』の第1章「ギーティカ・パダム（Gītikā Padam）」において導入された。この体系では、サンスクリット音韻論における子音＋母音の音節それぞれに数値が割り当てられており、例えば「ka」は 1、「hau」は1018を表す。

 歴史 
この記数法の基本原理は、『』第1章の第2詩節に記されている。

「ヴァルガ（varga：群・類）」に属する文字（ka〜ma）は、ヴァルガ位（1位、100位、10000位など）に配置され、「アヴァルガ（avarga：非群）」に属する文字（ya、ra、laなど）は、アヴァルガ位（10位、1000位、100000位など）に配置される。

ヴァルガ文字（ka〜ma）は1から25までの値を持ち、アヴァルガ文字（ya〜ha）は30、40、50…最大100までの値を持つ。ヴァルガ・アヴァルガ文字ともに、第9母音（位）を超える場合は新たな記号を用いることができる。

母音に対応する位は以下の通りである：

 a = 1
 i = 100
 u = 10000
 ṛ = 1000000
 以下同様に位が増加する

アーリヤバタはこの記数法を用いて、数学および天文学の計算において小さな数から非常に大きな数までを表現した。

この体系は分数や帯分数の表現にも対応している。例えば：

 nga = 
 nja = 
 jhardam（jha = 9、その半分）=  

 使用例 
例：299,792,458（光速の値）位数値音節表記分解100 10158जलja-laja + la102 10324घिनिghi-nighi + ni104 10579झुशुjhu-śujhu + śu106 10799झृसृjhṛ-sṛjhṛ + sṛ1082खॢkhḷkh + ḷ
インド伝統の桁順は現代の十進法とは逆であり、アーリヤバタは一の位から始め、次に十、百、千、万、十万（洛叉）と続けて記述した（インドの命数法）。

別の例として、ṅiśibuṇḷṣkhṛ（ङिशिबुणॢष्खृ）＝1582237500が挙げられる。この場合、106（ṛ）と108（ḷ）の順序が入れ替わっており、10⁶の部分は合字になっている。

三角関数表の詩例（『アーリヤバティーヤ』より）:

 makhi bhakhi phakhi dhakhi ṇakhi ñakhi ṅakhi hasjha skaki kiṣga śghakhi kighva ghlaki kigra hakya dhaki kica sga jhaśa ṅva kla pta pha cha kala-ardha-jyāḥ

この詩は、サイン表（半弦表）を記憶するための韻文であり、各音節が数値を表す。

 数表 
アーリヤバタ数の値を示す際には、短母音（अ、इ、उ、ऋ、ऌ、ए、ओ）が一貫して使用される。ただし、アーリヤバタ記数法では長母音と短母音の区別は行われていない。この表は「カ（क）」に由来する数値（1×10x）の全系列のみを示しているが、これらの値は数値音節全体にわたって有効である。
33 × 9 = 297 のサンスクリット音節による数値表現9つの母音または  - - - - - - - - -      अ  इ  उ  ऋ  ऌ  ए ऐ ओऔ     ×   10 0  10 2  10 4  10 6  10 8  10101012  10141016 軟口蓋破裂音（5つ）            - क  1 क / का  कि / की  कु / कू  कृ / कॄ  कॢ / कॣ  के / कॆ  कै  को / कॊ  कौ    - ख  2  ख    खि    खु    खृ    खॢ    खे    खै    खो    खौ     - ग  3  ग    गि    गु    गृ    गॢ    गे    गै    गो    गौ     - घ  4  घ    घि    घु    घृ    घॢ    घे    घै    घो    घौ     - ङ  5  ङ    ङि    ङु    ङृ    ङॢ    ङे    ङै    ङो    ङौ    硬口蓋破裂音（5つ）            - च  6  च    चि    चु    चृ    चॢ    चे    चै    चो    चौ     - छ  7  छ    छि    छु    छृ    छॢ    छे    छै    छो    छौ     - ज  8  ज    जि    जु    जृ    जॢ    जे    जै    जो    जौ     - झ  9  झ    झि    झु    झृ    झॢ    झे    झै    झो    झौ     - ञ  10  ञ    ञि    ञु    ञृ    ञॢ    ञे    ञै    ञो    ञौ    反舌破裂音（5つ）            - ट  11  ट    टि    टु    टृ    टॢ    टे    टै    टो    टौ     - ठ  12  ठ    ठि    ठु    ठृ    ठॢ    ठे    ठै    ठो    ठौ     - ड  13  ड    डि    डु    डृ    डॢ    डे    डै    डो    डौ     - ढ  14  ढ    ढि    ढु    ढृ    ढॢ    ढे    ढै    ढो    ढौ     - ण  15  ण    णि    णु    णृ    णॢ    णे    णै    णो    णौ    歯茎破裂音（5つ）            - त  16  त    ति    तु    तृ    तॢ    ते    तै    तो    तौ     - थ  17  थ    थि    थु    थृ    थॢ    थे    थै    थो    थौ     - द  18  द    दि    दु    दृ    दॢ    दे    दै    दो    दौ     - ध  19  ध    धि    धु    धृ    धॢ    धे    धै    धो    धौ     - न  20  न    नि    नु    नृ    नॢ    ने    नै    नो    नौ    両唇破裂音（5つ）            - प  21  प    पि    पु    पृ    पॢ    पे    पै    पो    पौ     - फ  22  फ    फि    फु    फृ    फॢ    फे    फै    फो    फौ     - ब  23  ब    बि    बु    बृ    बॢ    बे    बै    बो    बौ     - भ  24  भ    भि    भु    भृ    भॢ    भे    भै    भो    भौ     - म  25  म    मि    मु    मृ    मॢ    मे    मै    मो    मौ    接近音またはふるえ音（4つ）            - य  30  य    यि    यु    यृ    यॢ    ये    यै    यो    यौ     - र  40  र    रि    रु    रृ    रॢ    रे    रै    रो    रौ     - ल  50  ल    लि    लु    लृ    लॢ    ले    लै    लो    लौ     - व  60  व    वि    वु    वृ    वॢ    वे    वै    वो    वौ    歯茎摩擦音（3つ）            - श  70  श    शि    शु    शृ    शॢ    शे    शै    शो    शौ     - ष  80  ष    षि    षु    षृ    षॢ    षे    षै    षो    षौ     - स  90  स    सि    सु    सृ    सॢ    से    सै    सो    सौ    声門摩擦音（1つ）            - ह  100  ह    हि    हु    हृ    हॢ    हे    है    हो    हौ                  

 関連項目 

 IAST（ラテン文字によるサンスクリット翻字規則）
 （文字によるページ番号）
 （象徴語による数値表現）
 （音節に数値を割り当てる記数法）

 出典 

 参考文献 

 Kurt Elfering: Die Mathematik des Aryabhata I. Text, Übersetzung aus dem Sanskrit und Kommentar. Wilhelm Fink Verlag, München, 1975, 
 Georges Ifrah: The Universal History of Numbers. From Prehistory to the Invention of the Computer. John Wiley & Sons, New York, 2000, .
 B. L. van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik. Birkhäuser-Verlag, Basel Stuttgart, 1966, 


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