アーウィン・ホール分布

アーウィン・ホール分布またはアーウィン-ホール分布（-ぶんぷ、）は、確率論や統計学における確率分布の一種であり、標準連続一様分布からの独立同分布な確率変数の総和が従う確率分布を記述するJohnson, N.L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2, 2nd Edition, Wiley (Section 26.9)。このため、英語ではuniform sum distributionと呼ばれることもある。この分布の名称は Joseph Oscar Irwin と Philip Hall に由来する。

近似的に正規分布に従うような擬似乱数を生成する際に、プログラム設計の単純さから一様分布に従う疑似乱数の総和が利用されることがある。アーウィン・ホール分布を適切にスケール変換することで、生成される確率変数の正確な分布が得られる。

この分布はしばしばと混同されがちである。 ベイツ分布は標準一様分布に従う独立な  個のサンプルの平均が従う分布である一方、アーウィン・ホール分布は独立サンプルの総和が従う分布である。そのため、確率変数  が母数  のアーウィン・ホール分布に従う場合、確率変数  はベイツ分布に従う。

 定義 
アーウィン・ホール分布は連続確率分布の一種であり、標準一様分布  に従う独立同分布な  個の確率変数  の総和



が従う確率分布である。

 での確率密度関数は次で与えられる:



ただし、で



を意味するものとした。

が整数なので、 となるのは  となるときに限定される(は床関数)。 したがって、 におけるこの確率密度関数の別の表し方として



という形が得られる。

この式からわかるように、この分布の確率密度関数は  個の制御点で規定される  次元のスプライン曲線(区分多項式関数)となる。実際、に限定すれば、確率密度関数は



という形になる。ここで、係数は以下の漸化式で与えられる:



アーウィン・ホール分布の期待値と分散は、標準一様分布のそれらを単に  倍したものとなる。具体的には、それぞれ  と  である。

 小さいnに対する具体例 

  の時、アーウィン・ホール分布は標準一様分布そのものとなる:



 の時、アーウィン・ホール分布は三角分布となる:



 のときは以下の式で与えられる区分的な2次関数で与えられる。



 のときは区分的な3次関数で与えられる。



 のときは区分的な4次関数で与えられる。



 正規分布の近似式として 
中心極限定理により、十分大きな  に対して、アーウィン・ホール分布は,  の正規分布に近づく。標準正規分布を近似するためには、アーウィン・ホール分布を平均だけずらした後、スケール変換すればよい:



これにより、 の選択によっては(平方根の計算が不要という点で)計算上単純な正規分布の近似が得られる。そのような選択の中でもっとも簡単な  を選択した場合、標準正規分布の近似式として



が得られる。

 関連項目 


 正規分布
 中心極限定理
 連続一様分布
 三角分布

 脚注 

 Hall, Philip. (1927) "The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., pp. 240–245. doi:10.1093/biomet/19.3-4.240 
 Irwin, J.O. (1927) "On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., pp. 225–239. doi:10.1093/biomet/19.3-4.225 

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