契約曲線

下の図では、2人の初期賦存は点Xにあり、ケルビンの無差別曲線K1とジェーンの無差別曲線J1上にある。ここから両者は互いに有益な取引を行うことができ、その取引はこれらの無差別曲線で形成されるレンズ状の領域内で行われる。しかし、互いに有益な取引が不可能な点は、両者の無差別曲線が接する点、例えば点Eである。契約曲線とは、このレンズ内での無差別曲線の接点の集合であり、右上がりの曲線となり点Eを通過する。

契約曲線（けいやくきょくせん、英: Contract curve）またはパレート集合（Pareto set）とは、ミクロ経済学において、二人の経済主体の間で初期の財の配分から相互に有益な取引を通じて到達し得る、最終的な財の配分を示す点の集合である。この軌跡上のすべての点はパレート効率的であり、いずれかの主体をより満足させつつ、もう一方を不満足にさせない再配分は存在しない。契約曲線とは、初期の財の保有から取引によって到達可能なパレート効率的点の部分集合である。図はエッジワース・ボックス・ダイアグラムで描かれ、一方の主体の財の配分は縦軸と横軸で表され、もう一方の主体の原点は箱の右上に置かれる。初期の賦存（財の配分）は図の一点で示され、両者は相互に有益な取引を続け、これ以上有益な取引が存在しない点で止まる。このような点の集合が契約曲線である。

しかし、多くの研究者によると、初期賦存に依存せず、原点から原点までのすべてのパレート効率的な点の集合を契約曲線であるVarian, Hal R. Microeconomic analysis, third edition, 1992, page 324.Nicholson, Walter. Snyder, Christopher. "Intermediate Microeconomics and Its Application", eleventh edition, 2010, page 362.Pindyke, Robert S. Rubinfeld, Daniel L. "Microeconomics", ninth edition, 2018, page 620.Jehle, Geoffrey L. Reny, Philip J. "Advanced Microeconomic Theory", third edition, 2011, page 197.Perloff Jeffrey M. "Microeconomics, Theory and Applications with Calculus", fifth edition, page 338.Browning,Edgar K. Zupan, Mark, A. "Microeconomics, Theory and Applications", twelfth edition, 2015, page 148.Kreps, David M. "A Course in Microeconomic Theory", 1990, page 156.Serrano, Roberto. Feldman, Alan M. "A Short Course in Intermediate Microeconomics with Calculus", 2013, page 271.。

任意の競争均衡は契約曲線上にある。すべてのパレート効率的点と同様に、契約曲線上の各点は両者の無差別曲線の接点であり、このとき両者の限界代替率は等しい。

 例 
2人の経済主体オクタビオとアビーがあり、両者は財XとYを消費し、供給量は固定されているとする。エッジワース・ボックス・ダイアグラムで、両者の初期配分が与えられ、それぞれの選好は原点に凸な無差別曲線で表される。初期配分が両者の無差別曲線の接点でない場合、その配分は無差別曲線の交点にあり、レンズ状の領域を形成する。このとき両者は相互に有益な取引を行い、より高い無差別曲線上に到達する。取引比率は両者の限界代替率の間にある。取引を続けると、両者の限界代替率が等しくなる点、すなわちパレート効率的均衡に到達する。この点では両者の無差別曲線が接し、レンズ内に位置する。

したがって契約曲線は、初期配分から形成されるレンズの内部にあるパレート効率的点の集合である。最終的にどの点に落ち着くかは、両者の交渉力に依存する。

 数学的説明 
2財2主体の場合、契約曲線は以下のように求められる。ここで  は財2の主体1への最終配分を示し、 と  はそれぞれ主体1と主体2の効用水準、 は取引を行わなかった場合の主体2の効用、 と  は財1と財2の総量である。

制約条件:

これは、利用可能な財の総量を超えないように2人に分配しつつ、主体2の効用を初期配分以上に保ちながら主体1の効用を最大化する問題である。この最適化により、主体1がすべての交渉力を持つ場合の効率的点が得られる。

契約曲線全体を描くには、次のように効用の加重平均を最大化する問題を考える。

制約条件:

ここでbの値を0から1の間で変化させることで、契約曲線上のすべての点を得ることができる。b=1の場合は主体1に有利な効率的点、b=0の場合は主体2に有利な効率的点となる。

 出典 

 参考文献 
Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; & Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press. 

Category:ミクロ経済学
Category:経済学