シュワルツシルトの内部解

アインシュタインによる一般相対性理論において、シュワルツシルトの内部解（シュワルツシルトのないぶかい、英: interior Schwarzschild solution) (シュワルツシルトでなくシュヴァルツシルトとも呼ばれる）とは、アインシュタイン方程式の厳密解の一つで、球対称で静的な質量分布の内部にできる重力場を記述する。ただし、電荷や角運動量、宇宙定数はすべてゼロとする。これはカール・シュヴァルツシルトによって1916年に発見された。

シュワルツシルトの内部解は最初に発見された静的球対称完全流体解である。アインシュタイン方程式のたった三ヶ月後、シュワルツシルトの外部解の僅か一か月後の1916年2月24日に発表された。
 シュワルツシルト計量（内部解） 
シュワルツシルトの内部解は、物体の中心が原点に位置している状態の球面座標系と、時間の座標を組み込んだ時空座標を用いて導かれる。符号 (1, −1, −1, −1) での線素は以下の通りに表される。

ここで、以下のような変数および定数を用いた。

 τ は固有時間（試験粒子のたどる世界線に沿って動く時計で測った時間）
 c は光速
 t は座標時（質量から無限に遠い静的な時計で測った時間）
 r は動径座標
 θ は余緯度座標（北極からラジアン単位で測った角度）
 φ は経度座標（単位はラジアン）
 rs は質量をもつ物体に対応するシュワルツシルト半径（M により rs = 2GM/c2 のように決まるスケールファクター。ここで G は万有引力定数である）
 は物体の表面のr座標の値（測定可能な内部の半径）

この解は、ニュートン力学において質点のつくる重力場に相当する。

この解はのとき成り立つ。球体が形成する重力場の完全な基準について、このシュワルツシルトの内部解は表面において外部解と整合的な解でなければならない。とすると、以下のように外部解に一致する。

 他の定式化 
とパラメータを定義すると、以下の線素が得られる。

また代わりの動径座標としてと、対応したパラメータを定義できる。

 実際の値 
これはいくつかの天体の、回転を無視し球体からのずれによる不均一性と密度変化の関連したパラメータである。
+天体(赤方偏移)地球6,370 km8.87 mm7×10−10太陽696,000 km2.95 km2×10−61太陽質量の白色矮星5000 km2.95 km3×10−42太陽質量の中性子星20 km6 km0.15

 脚注 

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