指数型効用関数

指数型効用関数（しすうがたこうようかんすう、英: Exponential utility）は、指数関数を用いた形式の効用関数のこと。期待効用を最大化するようなリスク（不確実性）が存在する状況でよく用いられる。典型的には、次のように表される。

ここで  は消費など意思決定者が多いほど望ましい変数であり、 はリスク選好の度合いを示す定数である（ はリスク回避的、 はリスク中立的、 はリスク愛好的）。リスク回避的な選好を想定する場合、式はしばしば  と簡略化される。

上式に含まれる定数項 1 は数学的には無関係であり、（非負の c の範囲で関数の値域を 0 と 1 の間に保つ理由から）含まれることがあるに過ぎない。この無関係性の理由は、効用の期待値  を最大化することが、 の期待値を最大化することと同じ選択を導くためである。効用関数そのものではなく効用の期待値が序数的効用として解釈されるため、その範囲や符号は重要ではない。

指数型効用関数は効用関数の特殊な場合である。

 リスク回避の特性 
指数型効用関数は一定絶対的リスク回避（CARA）を意味し、絶対的リスク回避の係数は定数となる。

例えば、1つのリスク資産と1つの無リスク資産を考える標準モデルにおいて、最適なリスク資産保有量は初期富の水準に依存しない。このため、追加の富はすべて無リスク資産に配分される。この特徴が指数型効用関数を非現実的と見なす理由である。 Reprinted in: Essays in the Theory of Risk Bearing, Markham Publ. Co., Chicago, 1971, 90–109.

 数学的な扱いやすさ 
等弾力的効用関数（相対的リスク回避一定：CRRA）がより現実的とされるが、指数型効用関数は多くの計算において特に便利である。

 消費の例 
例えば、消費 c が労働供給 x と確率項  の関数で表されるとする：c = c(x) + 。このとき指数型効用の下で期待効用は次のようになる。

ここで E は期待値演算子である。雑音が正規分布に従う場合、

次が成り立つ。

したがって、

 複数資産ポートフォリオの例 
最終的な富 W の期待指数型効用  を最大化するポートフォリオ配分問題を考える。

ここで W0 は初期富、x は n 個のリスク資産に配分する数量ベクトル、r は n 資産の収益率、k は 1 のベクトル（したがって  は無リスク資産への投資額）、rf は既知の無リスク資産の利子率である。r が多変量正規分布に従うと仮定すると、期待効用は

と書ける。ここで  は r の平均ベクトル、 は最終的な富の分散である。これを最大化することは、次を最大化することに等しい。

ただし、V は r の共分散行列である。この解は

となる。これにより、(1) リスク資産の最適保有量 x* が初期富 W0 に依存しない（非現実的な性質）、(2) リスク回避パラメータ a が大きいほど各リスク資産の保有量が小さくなる（直感的に妥当な性質）、ことが示される。このポートフォリオの例は、指数型効用関数の二つの主要な特徴 ― 正規分布の下での扱いやすさと、一定絶対的リスク回避ゆえの非現実性 ― を示している。

 関連項目 


 出典 

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