Squircle

squircle（スクワークル）は、正方形と円の中間的な図形である。少なくとも2つの「スクワークル」の定義が用いられており、1つはスーパー楕円に基づくもの、もう1つは光学分野の研究から生まれたものである。「スクワークル」という言葉は、「square」（正方形）と「circle」（円）のかばん語である。スクワークルはデザインや光学に応用されてきた。

 スーパー楕円に基づくスクワークル 
デカルト座標系において、スーパー楕円は次の方程式で定義される。

ここで  と  はそれぞれ長半径と短半径、 と  は楕円の中心の  座標と  座標、 は正の数である。ここから、典型的なスクワークルは  かつ  のスーパー楕円として定義される。その方程式は以下の通りである。

ここで  はスクワークルの半径である。これを円の方程式と比較するとよい。スクワークルが原点を中心とするとき、 となり、これはラメの特殊な四次曲線と呼ばれる。

このスクワークルの内部の面積は、ベータ関数  またはガンマ関数  を用いて次のように表現できる。

ここで  はスクワークルの半径、 はレムニスケート周率である。

===p-ノルム表記===
-ノルム  を  上で用いると、スクワークルは次のように表現できる。

ここで 、 はスクワークルの中心を示すベクトル、 である。実質的に、これは中心から距離  にある点の「円」であるが、距離の定義が異なる。比較として、通常の円は  の場合であり、正方形は  の場合（上限ノルム）、回転した正方形は  の場合（タクシーノルム）で与えられる。これにより、 における球立方体（spherical cube）やスフューブ（sphube）、あるいはより高次元のハイパースフューブ（hypersphube）への一般化が容易になる。 の値を変えることでより一般的なスクワークルを定義でき、そこから三角法の類似物である「スクワークル三角法（squigonometry）」が発展した。

 フェルナンデス・グアスティーのスクワークル 
もう一つのスクワークルは光学分野の研究から生まれた。これは上記のスーパー楕円に関連するスクワークルと区別するため、著者の一人にちなんでフェルナンデス・グアスティーのスクワークル（Fernández-Guasti squircle）または FG スクワークルと呼ばれることがある。この種のスクワークルは、原点を中心として、次の方程式で定義される。

ここで  はスクワークルの半径、 は四角さのパラメータ（squareness parameter）、 と  は区間  内にある。 の場合、この方程式は円になり、 の場合は正方形になる。この方程式により、無限大を用いることなく、円から正方形への滑らかなパラメータ化が可能となる。

 極座標形式 
FG スクワークルの中心から縁までの動径距離  は、円の半径と回転角を用いて次のように媒介変数表示できる。

実際には、コンピュータで描画する際、（nは任意の整数）の場合に不定形  となるのを避けるため、角度の引数  に 0.001 のような微小な値を加えるか、これらの場合に  と設定することができる。

 四角さの線形化 
FG スクワークルにおける四角さのパラメータ  は 0 と 1 の間に制限されるが、その結果としてスクワークルの「角」は内側の円と正方形の角との間で非線形な補間となる。 を意図する角の線形補間された位置とすると、以下の関係式によって  を  に変換し、スクワークルの公式に用いることで、正しく補間されたスクワークルが得られる。

 周期的なスクワークル 
もう一つの種類のスクワークルは三角法から生じる。このタイプのスクワークルは  上で周期的であり、次の方程式を持つ。

ここで  はスクワークルの短半径、 は四角さのパラメータ、 と  は区間  内にある。 が極限において 0 に近づくと、方程式は円になる。 のとき、方程式は正方形になる。

 類似の図形 

角丸四角形

スクワークルに似た図形として角丸四角形（rounded square）がある。これは、4つの円の四分円を分離し、その端を直線で結ぶか、あるいは正方形の4辺を分離し、四分円でつなぐことによって生成できる。このような図形はスクワークルと非常によく似ているが、同一ではない。角丸四角形の構築は概念的にも物理的にも単純かもしれないが、スクワークルの方が方程式は単純であり、はるかに容易に一般化できる。この結果の一つとして、スクワークルや他のスーパー楕円は容易に拡大・縮小することができる。これは、例えば入れ子状のスクワークルを作成したい場合に便利である。

切頂円
もう一つの類似図形は切頂円（truncated circle）である。これは、正方形と、それと中心を共有する円との共通部分の境界である。この円の直径は、正方形の一辺の長さより大きく、かつ正方形の対角線の長さより短い（これにより、各図形が他方の内部に含まれない内部点を持つことになる）。このような図形は、スーパー楕円や角丸四角形が持つ接線の連続性を欠いている。

角丸立方体角丸立方体（rounded cube）はスーパー楕円体の観点から定義することができる。

スフューブ

「スクワークル」という名称と同様に、スフューブ'''（sphube''）は「sphere」（球）と「cube」（立方体）のかばん語である。これはスクワークルの3次元版である。3次元におけるFGスクワークルの方程式は次のようになる。

極座標では、スフューブは次のように媒介変数表示される。

この場合、四角さのパラメータ  はスクワークルの場合と全く同じようには振る舞わないが、それでも  が 0 のときは曲面は球となり、 が 1 に近づくにつれて鋭い角を持つ立方体に近づく。

 用途 
スクワークルは光学において有用である。2次元の正方形の開口部を光が通過するとき、回折パターンにおける中心の斑点は、スクワークルやスーパー円でよく近似することができる。長方形の開口部が用いられる場合、その斑点はスーパー楕円で近似できる。

スクワークルは皿の製造にも用いられてきた。スクワークル型の皿は、同じ半径の円形の皿よりも面積が広く（したがってより多くの食べ物を載せられる）、それでいて長方形や正方形の食器棚で同じスペースしか占めない。

多くのノキアの携帯電話モデルは、スクワークル型のタッチパッドボタンを採用して設計されておりNokia Designer Mark Delaney mentions the squircle in a video regarding classic Nokia phone designs:、第2世代のMicrosoft Zuneも同様であった。Appleは、iOS、iPadOS、macOSのアイコンや、一部のApple製ハードウェアのホームボタンに、スクワークルの近似形（実際には5次のスーパー楕円）を使用している。Android Oreoで導入されたアダプティブアイコンの形状の一つはスクワークルである。Samsungは、AndroidソフトウェアオーバーレイであるOne UIや、Samsung Experience、TouchWizにおいて、スクワークル型のアイコンを使用している。

イタリアの自動車メーカーであるフィアットは、第3世代パンダの内外装デザインに多数のスクワークルを用いた。

 脚注 

 関連項目 
  (Squigonometry)
 アステロイド
 楕円
 楕円体
  空間
 オーバル
  (Squround)


 外部リンク 

  by 
 スーパー円とスーパー楕円のオンライン計算機


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