辞書式選好

辞書式選好（じしょしきせんこう、英: Lexicographic preferences）またはレキシコグラフィック選好は、ある財（X）を他の財（Y）よりも常に優先して評価する比較選好を表す。具体的には、複数の財バンドルが提示されたとき、エージェントはまず X の数量が最大のバンドルを選び、X の数量が同じ場合にのみ Y の数量を比較する。辞書式選好は、非標準的な無限小が実数を拡張するのと類比的に、効用理論を拡張する。このとき、ある財の効用は他の財に比べて無限小となる。

 語源 
レキシコグラフィー（Lexicography）は辞書編纂を指し、辞書がアルファベット順で整理されること──まず第一文字に「無限の注意」を払い、同点の場合のみ第二文字を見る──を想起させるために用いられる。

 例 
バンドルを (X; Y; Z) とし、選好の規則が X ≫ Y ≫ Z で与えられているとする。このとき、バンドル集合  は次の順に好まれる（左から高順位）。
 5;3;3
 5;1;6
 3;5;3

 (1) は (2) より総量は少ないが、X が同数で Y が多いため好まれる｡
 (1) と (3) は総量が同じでも、X が多い (1) が好まれる｡
 (3) は (2) より Y が多くても、X が少ないため (2) が好まれる｡

 不連続性 
辞書式選好は連続関係ではない。たとえば、減少する収束列  に対して  となる一方、極限の  は  より小さい｡

 効用関数による表現 
この種の選好の特徴は、複数財の実数値定義域から実数値値域への写像としての（連続か否かを問わない）通常の効用関数による表現が存在しないことである｡すなわち、辞書式選好は実数値効用関数では表現できない古典的な例であるSen, Amartya (1970 [1984]) Collective Choice and Social Welfare, ch. 3, "Collective Rationality," pp. 34–35.。

証明の概略：背理法で、2財の場合にこの選好を表す効用関数  が存在すると仮定する｡このとき任意の  について  が必要であり、区間  は幅が正である｡さらに  なら  でなければならないので、すべての  に対するこれらの区間は互いに交わらない必要がある｡しかしこれは非可算な  の集合では不可能である｡

財の種類が有限で、数量が有理数に制限される場合には、十分大きい  に対し  を無限小の大きさとみなすことで（非標準数の近似として）効用関数を構成できる｡また、非標準実数を値にとる効用を許せば、Y や Z の効用は X に比べて無限小、Z は Y に比べて無限小として表現できる｡

 辞書式選好と一般均衡 
全ての経済主体が同一の辞書式選好を持つ場合、劣位の財の価格が 0 より大きい限り主体はそれを売買しないため、標準的な価格体系では一般均衡は存在しない｡「売らない」から「均衡が存在しない」への論理の補足と出典が必要。しかし劣位の財に無限小価格を許せば均衡を達成できる｡

次のような場合には、辞書式選好が存在しても一般均衡の分析が可能である｡
 人によって辞書式の優先順位（財の順序）が異なる｡
 一部の主体のみが辞書式選好を持つ｡
 辞書式の優先が一定数量までに限られる｡

交換経済の均衡価格は、効用と価格の値域を非標準実数に拡張し、標準の均衡手法を用いて決定できる｡非標準実数は保存拡大を成すため、実数で成り立つ定理は非標準実数にも拡張されて成り立つ｡

 関連項目 


 出典 

 外部リンク 
 Lexicographic preference relation cannot be represented by a utility function（Economics.SE）
 Recognizing linear orders embeddable in R2 ordered lexicographically（Math.SE）
 Lexicographic Multi-Objective Linear Programming using Grossone Methodology: Theory and Algorithm（Applied Mathematics and Computation）

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