原始概念

原始概念（げんしがいねん、英：primitive notion）とは、数学・論理学・哲学・形式体系において、それ以前に定義された概念に基づいては定義されない概念をいう。しばしば直観への訴えなどを通じて自明とみなされることもある。では、原始概念間の関係は公理によって制限されるMore generally, in a formal system, rules restrict the use of primitive notions. See e.g. MU puzzle for a non-logical formal system.。後者を、「一つ以上の公理で原始概念を定義する」と呼ぶ著者もいるが、これは誤解を招きうる。無限後退に陥ってしまうため、形式理論は原始概念を欠くことはできない。

例として、現代幾何学では、点・直線・含むなどが原始概念の一部である。

 詳細 
アルフレッド・タルスキは原始概念の役割を次のように説明している。

は、認識論における原始概念への不可避な回帰について次のように述べた：

 例 
原始概念の必要性は、数学におけるいくつかの公理的基礎づけに示される。

集合論：集合の概念は原始概念の一例である。は次のように書く。

その根拠として、フェリックス・ハウスドルフを引用している――

素朴集合論：空集合は原始概念である。その存在を主張することは暗黙の公理に当たる。

ペアノ算術：後者関数と数0が原始概念である。ペアノ算術が数の性質に関して有用である以上、原始概念がどの対象を表すかは厳密には重要ではないPhil Scott (2008). Mechanising Hilbert's Foundations of Geometry in Isabelle (see ref 16, re: Hilbert's take) (Master's thesis). University of Edinburgh. CiteSeerX 10.1.1.218.9262.。

実数の算術：通常、原始概念は実数、二つの二項演算（加法・乗法）、0 と 1、順序<である。

公理系：原始概念はその体系に選ばれた公理集合に依存する。アレッサンドロ・パドアは1900年パリの国際哲学会議でこの選択について論じた in 。原始概念は必ずしも明示される必要はない。スーザン・ハックはこう記す――「公理系が、その原始概念に対して暗黙の定義を与えると言われる」。

ユークリッド幾何学（系）：原始概念は点・直線・平面・合同・中間性・インシデンス。

ユークリッド幾何学（ペアノの公理系）：原始概念は点・線分・運動。

 脚注 

 関連項目 
 公理

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