凸選好

凸選好（とつせんこう、英: Convex preferences）とは、経済学において、さまざまな結果（通常は財の消費量）に対する個人の選好順序のことであり、概ね「極端より平均が好ましい」という性質をもつ。この性質は、消費者が一種類の財を多く持つよりも多様な財を持つことを好むことを意味する。これは、限界効用逓減の概念にほぼ対応するが、必ずしも効用関数を仮定する必要はない。

 記法 
実数の順序関係における「大なりイコール」に対応して、以下で用いる記号は「少なくとも同等に好ましい」（選好充足において）と解釈できる。

同様に、は「厳密により好ましい」と、は「同等に好ましい」と解釈できる。

 定義 
消費バンドル（複数の財の数量の組合せ）をx、y、zで表す。消費集合X上の選好関係は、以下を満たすとき凸型と呼ばれる。  
 であり、かつ  および であるとき、

任意の  に対して  
。  

すなわち、あるバンドルxに対して、それ以上に好ましいとされる2つのバンドルyとzがあれば、それらの重み付き平均もx以上に好ましいとされる。

さらに、選好関係は厳密に凸型と呼ばれるのは、以下を満たすときである。  
 であり、 , , かつ であるとき、

任意の  に対して  
。  

すなわち、異なる2つのバンドルがあるバンドルx以上に好ましいとされるならば、その重み付き平均（両方の財を正の割合で含む）は、xよりも厳密に好ましいとされるハル・ヴァリアン『Intermediate Microeconomics A Modern Approach』ニューヨーク: W. W. Norton & Company アンドリュー・マス＝コレル、マイケル・ウィンストン、ジェリー・グリーン『Microeconomic Theory』オックスフォード大学出版 (1995) 。

 代替定義 
消費バンドルをxとyとする。選好関係は、以下を満たすとき凸型と呼ばれる。  
 で  のとき、

任意の  に対して  
。  

すなわち、yがxより好ましいならば、yとxの混合もまたxより好ましい。

また、選好関係は以下を満たすとき厳密に凸型と呼ばれる。  
 で  かつ  のとき、

任意の  に対して  
、  
。  

すなわち、等価とされる2つのバンドルの重み付き平均は、それぞれのバンドルよりも好ましいとされる。

 例 
 単一財のみが存在する場合、任意の弱単調増加の選好関係は凸型である。これは、もし  ならば、yとxのあらゆる重み付き平均もまた  だからである。
 財1と財2が存在する経済を考える。次のレオンチェフ型効用関数で表される選好関係を考える。  

この選好関係は凸型である。証明：xとyが等価なバンドルであると仮定する。すなわち、。両方のバンドルで最小の財が同じであれば（例: 財1）、 であり、任意の重み付き平均も同じ量の財1を持つため、重み付き平均もxおよびyと等価である。一方、最小財が異なれば（例: かつ）、である。このとき、かつであるため、。この選好は凸型であるが厳密凸ではない。
 線形効用関数で表される選好は凸型であるが厳密凸ではない。であれば、その任意の凸結合もまた両者と等価となる。
 次の効用関数で表される選好を考える。  

この選好は凸型ではない。証明：とを考える。このとき、両者の効用が5で等価である。しかし、凸結合は効用4であり、両者よりも劣る。

 無差別曲線および効用関数との関係 
凸関数型の無差別曲線は凸型選好を表す。すなわち、ある無差別曲線上にあるすべてのバンドル（複数財の組合せ）が等しく望ましいとされるとき、それ以上に望ましいとされるバンドルの集合は凸集合となる。

凸型選好とそれに対応する凸型無差別写像は、準凸関数型の効用関数から導かれる。ただし、効用関数は選好の分析に必ずしも必要ではない。例えば、定率代替弾力性（CES）効用関数は、凸型かつ相似拡大的選好を記述する。CES選好は自己双対であり、一次と双対のCES選好はいずれも任意の程度の凸性を示す無差別曲線体系を導くことができる。

 関連項目 

 凸関数
 相似拡大的選好
 レベル集合
 準凸関数
 半連続関数
 シャープレー＝フォークマン補題

出典

Category:ミクロ経済学
Category:経済学
Category:効用