シンツェルの定理

においてシンツェルの定理（シンツェルのていり、）は、平面上の円と格子点に関する定理である。

によって証明され、その功績を称えて名づけられた。

 証明 
サムネイル|シンツェルの構成によって与えられた、ちょうど4点を通る円
シンツェルは次の方法によって円を構成し、定理を証明した。が偶数つまり整数を用いてと表せるとき、次の方程式で表される円は、ちょうどつの格子点を通る。半径はで中心は。例えば、としたとき、半径はで、格子点を4点のみ通る。

両辺に4をかけて式を変形すると、ここでは奇数と偶数のである。を2つの整数の自乗の和として表す方法は、ちょうど通りあることが知られている。例えばならば、であるので、通る格子点は（複号任意）に対応する4点となる。

が奇数、つまり整数を用いてと表されるときは、次の方程式で表される円がただ個の格子点を通る。半径はで、中心は。

 性質 
シンツェルの方法によって構成された円は、必ずしも条件を満たす最小の円であるとは限らない。しかし、明白に方程式を示すことができるという点で有用である。

 出典 

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