バナッハ関数空間

可測関数のクラス、例えば（重み付き）ルベーグ空間、オルリッチ空間、ローレンツ空間は、関数解析学の多くの分野で中心的な役割を果たし、これらの概念はバナッハ関数空間（バナッハかんすうくうかん、Banach function space、BFS）という抽象的なクラスの特殊なケースである。この空間は、関数の同士の順序をノルムで順応させるという特徴を有する。

 定義 
(の値を許す)ノルム空間に対し、写像が測度空間上の関数ノルムであるとは、次の条件を全て満たすことである。

 Ideal property：全てのに対し、 a.e.ならば
 Fatou property：全てのに対し、 a.e.ならば
 全てのに対し、ならば
 全てのに対し、ある実数が存在し、ならば
ただし、は-可測関数の全体の集合、は集合の指示関数を表すとする。
全てのに対してであるとき、は測度空間上のバナッハ関数空間と呼ばれる。

さらに、に対し、で定めたとき、写像をのassociateノルムという。自身がバナッハ関数空間となるとき、associate空間と呼ぶことにする。

 性質 
測度空間上の関数ノルムに対して、次のような性質が言える。
 -単関数はに属する。
 Fatouの補題が成り立つ。
 associateノルムは関数ノルムである。
 Hölderの不等式が成り立つ。
測度空間上のバナッハ関数空間に対して、次のような性質が言える。
 全てのに対し、ならばあるが存在し。従って、は完備である。
 ノルム収束するならば、ほとんど至る所で各点収束する。
 ルベーグ測度において、
 ルベーグ測度において、二重associate空間はに等しく、互いの関数ノルムの値も一致する。

 参考文献 
 Colin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Pure and Applied Mathematics Book 129, 1988.

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