正弦三倍角円

において、正弦三倍角円（せいげんさんばいかくえん、）は、三角形に関して定義される円の一つであるMathWorld, Weisstein, Eric W。について、上の点 、上の点、上の点を、式、、を満たすようにとる。
このとき、は同一円周上にある。この円を正弦三倍角円という。初め、タッカーとノイベルグはこの円をフランス語で "cercle triplicateur" と呼んでいた。

 性質 

  を満たす。これが、正弦三倍角円の名称の理由である。しかし、3辺をこの比で切るような円は無数に存在する。そのような円の中心は 、3つの傍心および正弦三倍角円の中心を通る双曲線上に存在する。
 九点円と正弦三倍角円の相似中心はコスニタ点とキーペルト放物線の焦点である。
 外接円と正弦三倍角円の相似中心はブロカール円でジェラベク双曲線の中心を反転した点と、である。
 それぞれの正弦三倍角円における極線との交点は共線である。
 正弦三倍角円の半径は、

で表される。ここでは三角形の外接円の半径。

 中心 
正弦三倍角円の中心は三角形の心として Encyclopedia of Triangle Centers のに登録されている。の三線座標は次の式で与えられる。 

三角形の外心と垂心をそれぞれとする。でそれぞれを鏡映した点の中点をと定める。をに対して同様に定義したとき、は相似でその中心はである。
 一般化 
自然数において、

を満たすように冒頭と同様に点を配置したときは共円である。正弦三倍角円はの場合に該当する。更に次の式が成立する。

 関連項目 

 六点円
 タッカー円
 三角形の円錐曲線
 三倍角

 脚注 
 出典 

 注釈 

 参考文献 




 外部リンク 

 GeoGebra,X(49) Center of sine-triple-angle circle

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