Vieta jumping

数論におけるVieta jumping（ヴィエタ ジャンピング）あるいはroot flippingは、証明方法の一つ。2つの整数の関係と解が与えられた問題に用いられる。特にディオファントス方程式 の1つの解から新しい解を作る際に使う。Vieta jumpingには多様なバリエーションが存在しており、大抵は根と係数の関係（ヴィエタの公式）を使用した方程式の解を探すことによる無限降下に関連している。

 歴史 
Vieta jumpingはディオファントス方程式との論理における基本的な解法である。 例えば、1879, 1953年のミルズの論文において、マルコフ方程式の解析に使われている。

1988年の国際数学オリンピックにおいて、コンテストで最も難解であるとされた問題の解法に使用され、数学の競技で注目されるようになった。

 を、がを割り切るような2つの正の整数とする。  が平方数であることを示せ。

はこの問題の難易度について、次のように言及した。

この問題で最高得点を獲得した11人の中にはゴ・バオ・チャウ、、、ニクショル・ダンがいる。ブルガリア代表のエマヌエル・アタナソフ（Emanouil Atanassov）は、一段落でこの問題を解き、特別賞を受賞した。テレンス・タオやエロン・リンデンシュトラウスは問題を解けず1点に収まった。

 Standard Vieta jumping 
standard Vieta jumping のコンセプトは背理法であり、次の4つの工程から成る。

 与えられた条件に背くいくつかの解が存在するという矛盾を想定する。
 最小性の定義に従って、解のうちの最小のものを取る。
 式のを変数に置き換え、が解となる方程式を得る。
 ヴィエタの公式を用いて、より小さい解を探し、矛盾を導く。

 例

1988年IMO問6: を、がを割り切るような2つの正整数とする。 が完全平方であることを示せ。

 非平方数を固定する。を満たす正整数の存在を仮定する。
 を、を満たしが最小となる2つの正整数とする。ただしとしても 一般性を失わない。
 を固定してを変数に置換すると方程式が導かれる。この方程式の根の1つはであるから、二次方程式の解と係数の関係より、とが分かる。
 一つ目の式よりが整数であることが分かり、二つ目の式からが非完全平方なのでが分かる。より、そしてが正整数であることが従う。 より、つまりであるから。これはの最小性に矛盾する。

 Constant descent Vieta jumping 
constant descent Vieta jumping は、の関係と定数に何らかの関係があることを証明したいときに用いる。standard Vieta jumpingとは異なり、 constant descentは背理法を使わない。 

 等号成立の場合はを仮定して証明する。
 を固定し、の関係式を、を係数とし、が1つの解となる二次形式に変形する。 他方の解をヴィエタの公式で表す。
 上の任意の基本の場合について、と、が整数であることを示す。同じ定数に対してをに置き換える操作を行い、最初の基本の場合に帰着するまで繰り返す。
 のケースに対して主張を証明し、がこの過程で不動であることからすべてのペアに対して主張が証明される。

 例

を、がを割り切る正整数とする。を示せ。

 つまりがを割り切る（すなわちが1を割り切る）ならばで、式が成立する。以降としても一般性を失わない。
 条件を満たすについて、とする。二次形式に変形して数を置き換えると、 となる。この方程式の解の1つはで、ヴィエタの公式より他方の解をとして、が従う。 
 式よりが正整数であることが示される。と、がともに正であることからでさらにとなる。 なので。したがって が成立する。同じ定数に対してをに置換する操作を繰り返し、基本の場合になるまで続ける。
 ここで帰着する基本の場合はの場合である。が条件を満たすには、がを割り切る必要があるが、これはつまりは2を割り切る、即ちは1か2である。の場合は除外したのでは2に限ることができる。このとき、 。はこの過程（Vieta jumping）を通して不動であり、条件をみたす任意のについて が証明された。

 幾何学的解釈 
Vieta jumpingは第一象限内の双曲線上の格子点に関する視点で幾何学的に説明できる。 より小さな根を捜索する過程は下方の格子点を探す操作に等しい。この手順は次のようになる。

 与えられた条件より、を入れ替えても変わらない、つまりに対して対称な双曲線の族の方程式を得る。
 双曲線との交点において主張を証明する。
 としても一般性を失わない。を双曲線上の格子点とする。ヴィエタの公式を用いて、座標が同じで異なる枝上にある格子点と対応させる。における鏡映で元の枝上の新たな格子点を得る。
 この操作によって、より座標の低い格子点を得て（のような）ある条件を達成するまで繰り返すことができることが示される。条件を双曲線の方程式に代入することで、求めるべき結論を証明できる。

 例

1988年IMO問6をもう一度例にとって、幾何学的方法で証明する。 を、がを割り切るような2つの正整数とする。 が完全平方であることを示せ。

 とし、の値を固定する。のときは明らかに完全平方。ならば、となっての整数解は存在しない。のとき、方程式を双曲線の式として定義すると、は上の格子点である。
 を上の格子点（ただし）とすると、（は整数なので）が分かる。命題の主張は点において真である。
 今、第一象限内の上の格子点をとる。ただし 。対称性より、かつがの上方の枝にあるとしてもよい。ヴィエタの公式を適用し、は下方の枝の格子点となることが分かる。とする。双曲線の方程式より、。より。つまりは第一象限にある。鏡映よりもまた第一象限の上の点である。 さらにヴィエタの公式よりと が分かる。と式を組み合わせてを示すことができる。新たに取った点は第一象限内かつ上にあって、の座標よりもそれぞれの座標が小さい。
 が正の座標を持つときはいつでもこの過程を再現することができる。しかし、 これらの点の座標は非負整数の減少数列であるからの上方の枝の点に到達する前までは、有限回だけしか繰り返すことができない。代入によって、つまりが平方数であることが示された。 

 出典 

 関連項目　 

 ヴィエタの公式
 背理法
 無限降下法
 マルコフ数
 アポロニウスのギャスケット
 LTEの補題

 外部リンク 

 Vieta Root Jumping at Brilliant.org




 アタナソフの解法を解説する動画 
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