補点 (三角形)

三角形幾何学における補点（ほてん、）は三角形の重心を中心に点を-1/2倍した点のこと。点と補点の関係は一般の図形においても適用される。
 歴史 
サムネイル|400x400ピクセル|ドカーニュによる補点の構築 : 点を三角形の辺の中点で鏡映した点をとして、の交点は、の補点となる。
近世三角形幾何学の発展において、クリスティアン・ハインリヒ・フォン・ナーゲルは、三角形の中心の補点の関係に注目した。カール・グスタフ・ロイシュレはこの研究を引き継いで拡張を行った.。

1882年モーリス・ドカーニュは、基準三角形の中点三角形との対称性を考えることで補点を構築することに成功した。1884年、エミール・ハイン（Émile Hain）は、三角形の頂点と、その対辺の中点が補点の関係にあることを観察した。その結果、ハインは、共役性を補点の観点から考える事を好んだ。1886年、ド・ロンシャンは、補点とは逆の関係である逆補点（anticomplement）を考え、その翌年に、アヴェロン県の幾何学者Émile Vigariéが、補点をベクトルを用いて、定式化した。 1924年、ブリュッセルの大学教授は、三角形の三次曲線に関する書籍を執筆し、重心座標と三線座標によって、補点を代数的に拡張した。

 例 
主な点とその補点を挙げる（MathWorldやETCによる）。

三角形の中心補点内心シュピーカー点幾何中心（重心）幾何中心外心九点円の中心垂心外心ジェルゴンヌ点ミッテンプンクトナーゲル点内心ド・ロンシャン点垂心第三ブロカール点ブロカール中点ベバン点内心と垂心の中点シュタイナー点キーペルト双曲線の中心合同辺平行線点内心の等長共役点



直線や円に補点の関係を適用することもできる。

図形補点の軌跡ド・ロンシャン線オイラー線やナーゲル線など重心を通る線自身無限遠直線無限遠直線外接円九点円極円ド・ロンシャン円基準三角形中点三角形シュタイナーの外接楕円シュタイナーの内接楕円シュタイナー-ウォレス双曲線キーペルト双曲線リュカ三次曲線17点3次曲線

 座標 
三線座標でと表される点の補点はとなり、重心座標で、と表される点の補点はとなる。

 逆補点 
補点とは逆に、三角形の重心を中心に、点を-2倍した点を逆補点（anticomplement）あるいは反補点という。この変換を2:1の反転ともいう。

例えば、基準三角形の逆補となる図形は、逆補三角形である。

重心座標で、と表される点の逆補点はとなる。

 出典 

 外部リンク 




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