ハート円

幾何学において、ハート円（ハートえん、）は、8つの円弧三角形をなすような（で交わるような）3つの円に生成される円の一つである。 ハルト円とも。8つの円弧三角形の任意の1つと隣接する3つの円弧三角形（関連三角形, Associated Triangles）について、4つの円弧三角形の内接円（3円のアポロニウスの問題の解円）に接するような円が存在する。これをハート円という。3円から生成されるハート円は8つ存在する。この定理をハートの定理（Hart's theorem）という。3円を3直線に退化させれば、4つの内接円は三角形の内接円と傍接円、ハート円の一つは九点円となって、フォイエルバッハの定理が演繹される。

ハート円の名は、1861年にこの円を発見したアンドルー・サール・ハートに由来する。

ハートの定理に幾何学的変換を施すと、1892年にアレクサンダー・ラーモア（Alexander Larmor）が示した定理となる。

3円がそれぞれで交わるとき、円弧三角形の外接円は同一の円に接する。

またこの定理は、実質的にサーモンの定理と等価で、ラウル・ブリカールの示した次の定理と双対的である。
3つの有向円において、2円の組に対してそれぞれ共通接線、、を書く。このときに接する有向円、に接する有向円、に接する有向円、に接する有向円はある円に接する。
 一般化 
円を円錐曲線に一般化することもできる。

3つの楕円、 または3つ双曲線の各々の一枝が、2点ずつで交わるとき、これらの円錐曲線に接する円錐曲線が8つあって、また8つの円錐曲線のうちから適切に4つを取ったとき、この4つの円錐曲線に接するような円錐曲線が存在するような組が8つ存在する。

 応用 
最初に与えた3円がそれぞれ交わらない場合、ハート円は14つ存在することがある。

三角形の3つの傍接円はその例である。3つの傍接円のアポロニウスの問題の解円は3辺、九点円、アポロニウス円、3つのジェンキンス円である。

内接円は、3辺と九点円に接するのでハート円の一つとなる。他に、3つのジェンキンス円とアポロニウス円と接する Moses hull 円などがある。

辺と側のジェンキンス円に外接する、円をとする。同様にを定義する。このとき、は九点円とも接する。の2つに各辺接しかつを包含する三角形と、元の三角形は配景である。この配景の中心は Miyamoto-Lozada perspectorと呼ばれる。

 脚注 

 参考文献 






 外部リンク 

 History of the Nine-Point Circle, Cambridge University
 Discussion of Hart Circle in context of Feuerbach's theorem- Cut the knot
 On Centers and Central Lines of Triangles in the Elliptic Plane
 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics by Eric W. Weisstein

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