ベルヌーイのレムニスケート

() の極座標系のグラフと対応する直交座標系におけるグラフ。
ベルヌーイのレムニスケート（）は極座標の方程式

で表される曲線である。連珠形（れんじゅけい）、連珠線、双紐線、蔓葉線、総角曲線とも呼ばれる。

直交座標の方程式では

となる。

レムニスケートはヤコブ・ベルヌーイによって1694年に最初に発見され、イタリアの数学者によって楕円積分論の事例として詳しく研究された。レオンハルト・オイラーはファニャノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。

 性質 
 カッシーニの卵形線の特殊例と見なすことができる。
 x軸、y軸に対して線対称である。
 原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線は y=±x となる。原点Oと  でx軸と交わる。
 点  は、レムニスケートの焦点と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「当該任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定値  となる。
 直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。
 中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る円の包絡線はレムニスケートになる。
 ループ1つで囲まれる面積は  であり、2つ合わせて  となる。
 区間  における曲線の弧長は第一種楕円積分を用いて  と表される。これにより、曲線の全周長は  となる。ここで  はレムニスケート周率と呼ばれ、 を円の半径、レムニスケート周率を円周率と見立てれば、全周長の式は円の周長の式と合致することとなる。
 極座標の偏角  の点における法線とx軸との成す角は、 となる。
 重力の影響下で、レムニスケートの弧の先端からレムニスケート上のある点まで球がレムニスケートに沿って移動する時間は、弧の先端からその点まで直線上に球が移動する時間と等しい。
 脚注 

 注釈 

 出典 

 関連項目 
 レムニスケート
 レムニスケート周率

 ∞
 ジアン・フランチェスコ・マルファッティ

 外部リンク 




 "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables 
 Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli  

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