アルキメデスの双子の円

幾何学において、アルキメデスの双子の円（アルキメデスのふたごのえん、）は、アルベロスに対して定義される二つの特別な円である。アルベロスは共線点のうち2つを両端とする同じ側の半円で作られる領域（円弧三角形の特別の場合）である。の中央の点を通る、直線の垂線をとする。アルベロスをで2つの円弧三角形に分割する。2つの円弧三角形の辺、つまり、アルベロスを成す2つの円とに接する円をアルキメデスの双子の円という。

アルキメデスの双子の円はアルキメデスのの命題5が初出であるとみられ、2円は合同であることが示されている (1897), The Works of Archimedes. ケンブリッジ大学出版局.  Book of LemmasのProposition 5.  引用: "Let AB be the diameter of a semicircle, C any point on AB, and CD perpendicular to it, and let semicircles be described within the first semicircle and having AC, CB as diameters. Then if two circles be drawn touching CD on different sides and each touching two of the semicircles, the circles so drawn will be equal."。この書籍をアラビア語に翻訳したサービト・イブン・クッラはこの円の功績をアルキメデスに帰した。アルキメデスの円と合同な円の数々はと呼ばれるが、これは後年の学者らに帰せられる。

 構成 
右|サムネイル|アルキメデスの双子の円のアニメーション。
アルベロスの頂点をとする。ただしは線分内にあるとする。また、を、アルベロスを構築するもっとも大きい半円（を両端とする半円）とを通るの垂線の交点とする。L線分はアルベロスを2つの部分に分かつ。アルキメデスの双子の円はこの2つの部分の内接円である。

アルキメデスの双子の円は2つの接円と、その一方に接する直線におけるアポロニウスの問題の解となる。

アルキメデスの双子の円に合同な円、アルキメデスの円には、バンコフの円、Schoch の円、Wooの円などがある。

 作図 
サムネイル|274x274ピクセル|双子の円の作図。
上気と同様にを定める。また、直径をそれぞれとする半円の中心をとする。を通る半円の接線と、の交点を、半円との接点をと定義し、の二等分線との交点は、一方の双子の円の中心となる。また、双子の円との接点はとなる。

 性質 
をアルベロスを成す小さい2円の直径とする。アルキメデスの双子の円の半径は次式で表される。

大きい円の直径を1とすれば、小さい2円の直径はそれぞれとなって次の式も成立する。

相加相乗平均の関係式よりアルキメデスの双子の円の半径が最も大きくなる時は小さい2円の半径が一致するときである。

双子の円に接する円のうち、最も小さい円の半径はであるBaptiste Gorin, Une étude de l'arbelos, p.6, prop. II.3.。

 出典 

 参考文献 




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