イェルムスレウの定理

イェルムスレウの定理（イェルムスレウのていり、）は幾何学において、ヨハネス・イェルムスレウの名を冠する定理の一つである。ある直線上に点があるとして、他の直線に等長写像となるように点を移す。このとき線分の中点は共線である。

証明はを用いて容易に行うことができる。等長写像が奇数であるならば、それは必然的に直線による鏡映か（1つの直線とその2つの垂線による鏡映）となり、平面上の任意の点について主張は真になる。つまり任意の点Pについて、PP'の中点は（映進）鏡映の軸上にある。等長写像が偶数ならば、直線PQRによる鏡映を用いて、奇数と同様の場合にし、証明する。

イェルムスレウの定理の重要な部分は、平行線公準を仮定しない証明が存在する点にある。つまり非ユークリッド幾何学においても成立する。これを利用すると、PをP'P"の中点に移す写像（P',P"はPをある点を中心に鋭角で回転したもの）はを板の内側に移す全単射の共線写像になるように見えるから、双曲平面の線型構造に直感的な概念を提供できる。これをと呼ぶ。

 出典 

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 外部リンク 

 Hjelmslev's Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.
 Hjelmslev's Theorem from cut-the-knot

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