サーモンの定理

サーモンの定理（サーモンのていり、）は、ジョージ・サーモンに因んで命名された幾何学の諸定理。

 極線に関する定理 
を中心とする円と任意の点について、の極線へのの直交射影（垂足）をとしたとき、が成立する。

この定理に関して、澤山勇三郞は次の一般化を示した。

円錐曲線と任意の点に関して、の極線のを通る垂線との一方の軸との交点をそれぞれ、の極線へのの直交射影をとしたとき、が成立する。

 弦に関する定理 
円周上の任意の一点を通る3つの弦を直径とする円をそれぞれ書く。3円のでない方の交点は共線である。これはと3円の交点が成す三角形のシムソン線となる。

この定理には小倉金之助による一般化が存在する。

 楕円に関する定理 
2つの共焦点楕円に囲まれた領域を作る。内側の楕円に接するような軌道でボールを打ち出す。ビリヤードの球の様に外側の楕円で跳ね返るようにボールの軌道を描いたとき、軌道は、内側の楕円に接し続けるMathworld。

 円錐曲線に関する定理 
ある三角形とその極三角形の配景の中心と配景の軸それぞれを、その円錐曲線に関する「極」「軸」と表現する。また、極三角形が元の三角形と一致するとき、円錐曲線に関して「自共役」であると表現する。

2つの円錐曲線について、に内接する任意の三角形がに関して自共役であるとする。このときに内接する三角形のに関する極は上にある。に外接する三角形のに関する軸はに接する。

他にも、円錐曲線に関するサーモンの定理と呼ばれる定理が存在する。

 ケイリー-サーモンの定理 
円に内接する六角形において、たとえばの交点をと表す。はパスカルの定理より一直線（パスカル線）上にある。このパスカル線をと書く。

今、それぞれ、、の成す三角形について、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（シュタイナー点）である（シュタイナーの定理）。円上の6点についてシュタイナー点は20個存在する。次にそれぞれ3辺

からなる3つの三角形の、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（カークマン点）である。ここで、シュタイナー点1つとカークマン点3つを通るような直線が20本存在する。この20本の線は4本ずつ共点であり、このような点は15個存在する。これをケイリー-サーモンの定理という。アーサー・ケイリーの名を冠する。

他、や代数曲線に関する定理のサーモンの定理、ケイリー-サーモンの定理がある。

三角形に関しては、重心、垂心、外心、が調和点列を成すことを、サーモンの定理と呼ぶこともあるДмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника . — Одесса, 1902. — С. 47. Глава II, п.47。

 出典 

 参考文献 




 外部リンク 


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