正弦波螺旋

極座標系における  のグラフと直交座標系における対応するグラフ。
代数幾何学における正弦波螺旋（せいげんはらせん、）は、次の極座標系の等式で定義される曲線の族である。

ここでは0でない定数で、は0でない有理数。原点を中心に回転することで、次の式でも書くことができる。 

螺旋（渦巻）の形をしていないのにもかかわらず、螺旋と称される。正弦波螺旋は多くの有名な曲線を含んでいる。

 直角双曲線 ()
 直線 ()
 放物線 ()
 ()
  ()
 カージオイド ()
 円 ()
 ベルヌーイのレムニスケート ()

コリン・マクローリンによって最初に研究された。

 等式 

を微分してを取り除くことで、に関する微分方程式を作ることができる。

したがって、

これは、極が、

で表され、接角が、

であることを意味する（複号はとが同符号なら正、異符号なら負をとる）。

単位接ベクトルは、

であるため、上記のベクトルと大きさを比べると次の式を得る。

ならば、特に一つのループの長さは次のように表現できる。

曲率は次の式で与えられる。

 性質 
原点を中心に持つ円による、正弦波螺旋のは、を元の曲線のの反数に置き換えたものとなる。例えば、ベルヌーイのレムニスケートは直角双曲線になる。

正弦波曲線の、Isoptic曲線、垂足曲線及び負垂足曲線は、異なる正弦波螺旋になる。

のべき乗に比例する中心力によって動く粒子の経路の一つは正弦波螺旋である。

を整数として、点が半径の円上に等間隔に配置されているとき、点までの距離の幾何平均が一定となる点の集合は正弦波螺旋である。特にである。

 出典 
 Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Spiral" p.￥213–214
 "Sinusoidal spiral" at www.2dcurves.com
 "Sinusoidal Spirals" at The MacTutor History of Mathematics



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