三角形に関する不等式の一覧

三角形に関する不等式（triangle inequalities）の一覧。辺だけでなく、周長、半周長、角、三角法、面積、内半径、外半径や角の二等分線、頂垂線の長さなども不等式内に含まれることがある。

特に断りのない限り、ユークリッド平面上の三角形の不等式について言及する。

 変数の表記 
以下に、本記事で扱う三角形の各値の表記を並べる。

 三角形の辺長
 周長、半周長
 角（それぞれ辺の対角）
 面積
 中線の長さ
 頂垂線の長さ
 角の二等分線の長さ
 垂直二等分線の長さ（中点から他の辺との交点まで）
 内半径と傍接円半径
 外半径

 辺長 
三角不等式または、

変形すれば、ここで右辺は極限値、つまり三角形を線分へ退化させた場合に等号が成立するPosamentier, Alfred S. and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.。また左辺はネスビットの不等式。

 Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” and elsewhere, .









が鈍角であるとき、



が鋭角であるとき、



が直角であるとき、ピタゴラスの定理。



二等辺三角形が線分へ退化するときこの等号が成立する。

重心が内接円の内側にあるとき、

 Nyugen, Minh Ha, and Dergiades, Nikolaos.  "Garfunkel's Inequality", Forum Geometricorum 4, 2004, 153–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200419index.html

ただし、三角不等式より、上の式は常に成立する。



これは調和平均、相乗平均、相加平均の関係式である。等号成立条件は。

ガーファンクルの不等式（Garfunkel's Inequality）によれば、三角形の頂点と、それぞれ内心と重心を結ぶ線分と内接円の交点が成す三角形について、重心の方の三角形の周長は、内心の方の三角形の周長以上である。

 角 







この式の等号成立条件は三角形が正三角形であること。

  Lu, Zhiqin. "An optimal inequality", Mathematical Gazette 91, November 2007, 521–523.









ここで  つまり黄金比。





   Scott, J. A., "A cotangent inequality for two triangles", Mathematical Gazette 89, November 2005, 473–474.



について、



等号成立条件は三角形が頂角60°以上の二等辺三角形であること。



等号成立条件は三角形が頂角60°以下の二等辺三角形であること。



左辺との等号成立条件はの頂角60°超過の三角形であること。右辺との等号成立条件はの頂角60°以下の三角形であること。

次の不等式は角と辺の関係式である。



また、とは同値。

外角定理によれば、次の式が成立する。三角形の内部の点について、



鋭角三角形について、



ただし、鋭角三角形については、逆向きの不等式が成立する。

更に鈍角三角形でない三角形について、



等号成立条件は。

クラムキンの不等式によれば、任意の実数と非負整数について、

フランダースの不等式（Flanders's inequality）またはAbi-Khuzam Inequalityによれば、次の式が成立する。

等号成立は正三角形の場合。

フランダースの定理の類似物としてYffの不等式がある。ここではブロカール角。

 面積 
によれば、



等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。また、この不等式はハドヴィッガー・フィンスラー不等式の不等式の系である。



 Torrejon, Ricardo M. "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html

または、



最右辺の上界とAM-GM不等式を用いれば、三角形の等周不等式を得る。



これを三角形の周長に置き換えれば



を得る。等号成立条件は正三角形であるときChakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.。また、次式はこの不等式のより強力な不等式である。


等周不等式によれば、

更に、ボンネゼンの不等式はこの上の不等式より強力である。



また、面積と辺長について



を得る。等号成立は正三角形。半周長を用いれば次の式が成立する。



また、



オノの不等式は鋭角三角形について成り立つ。



内接円の面積と三角形の面積の比について、次の式が成り立つ。



等号成立は正三角形Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115, October 2008, 679–689: Theorem 4.1.。

基準三角形とそれに内接する三角形について、以下の不等式が成立する。



基準三角形と内心三角形について、以下の不等式が成立する。



三角形の重心を通る直線は三角形を、基準三角形の4/9以上の面積を持つ三角形に分けるHenry Bottomley, “Medians and Area Bisectors of a Triangle” http://www.se16.info/js/halfarea.htm。

 中線と重心 
中線は頂点と、その対辺の中点を通る直線である。中線の長さについて、次の式が成り立つ



さらに、



等号成立は正三角形。内半径については次の式が成り立つ。



中線を含む外接円の弦の長さをとすれば、次の式が成立する。



三角形の重心を、circum-medial triangleをとすれば、





が成立する。加えて、



鋭角三角形について、



ただしは外半径。鈍角三角形では不等式の向きが逆になる。

を内心と各頂点の距離とすると、



中線の長さを持つ三角形を作ることができるBenyi, A ́rpad, and C ́́urgus, Branko. "Ceva's triangle inequalities", Mathematical Inequalities & Applications  17 (2), 2014, 591-609.。つまり、



更に、Michel Bataille, “Constructing a Triangle from Two Vertices and the Symmedian Point”, Forum Geometricorum 18 (2018), 129--133.



 頂垂線 
頂垂線の長さについて、次の不等式が成立する。





加えて、として



更に、



内角の二等分線の長さを、内半径と外半径をそれぞれとすると、



頂垂線の長さの逆数の長さを持つ三角形を作ることができるMitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle", Mathematical Gazette 89 (November 2005), 494.。つまり



 内角の二等分線と内心 
内角の二等分線の長さ、つまり頂点と、その内角の二等分線と対辺の交点の距離をそれぞれとする。次の式が成立する。



他の長さを用いれば



となる。更に、 





を内角の二等分線を含む外接円の弦の長さとする。このとき、



等号成立は正三角形。また、



等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。更に、次の式が成立する。



内心をとする。



各辺の中点をとすると、



正三角形でない三角形の内心を、重心を、外心を、を、垂心をとすれば、それらの距離や成す角について以下の式が成立するFranzsen, William N.. "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum 11 (2011): 231–236.。













ただしは最も長い中線の長さ。

  >   > 90° ,  > 90°.

鈍角三角形について、



オイラーによって示された次の式は上の2つ目の不等式より、強力であるL. Euler, "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum", Novi Comm. Acad. Scie. Petropolitanae 11 (1765); reprinted in Opera Omnia, serie prima, vol. 26 (A. Speiser, ed.), n. 325, 139–157.。



内角の二等分線の長さの大小と角の大小は対応するAltshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007.。



 垂直二等分線 
以下では、三角形の辺の二等分線の三角形の内部における長さを扱う。ただし とする。このときMitchell, Douglas W. "Perpendicular bisectors of triangle sides", Forum Geometricorum 13, 2013, 53–59: Theorem 4. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307index.html、 



かつ



 任意の点における不等式 

 内部の点 
点を三角形の内部の点とする。



更に一般的に、（）が最短辺とすれば、



トレミーの不等式によれば、



を並び替えても成立する。

の三角形の辺に対する垂足をとすれば、



エルデシュ・モーデルの不等式によれば、. http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711index.html .



等号成立条件は正三角形の場合。

更に強い不等式にバローの不等式がある。の二等分線との交点をとして、.



他のエルデシュ・モーデルの不等式より強い不等式に、外接三角形に対するの垂足をとして、Dao Thanh Oai, Nguyen Tien Dung, and Pham Ngoc Mai, "A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality", Forum Geometricorum 16 (2016), pp. 317--321, Theorem 2  http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201638.pdf



がある。また、



が成り立つDan S ̧tefan Marinescu and Mihai Monea, "About a Strengthened Version of the Erdo ̋s-Mordell Inequality", Forum Geometricorum Volume 17 (2017), pp. 197–202, Corollary 7. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201723.pdf。ほかにも次の不等式がある。













任意の正の数（は1以下）について、Janous, Walther. "Further inequalities of Erdos–Mordell type", Forum Geometricorum 4, 2004, 203–206. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200423index.html



t > 1 ならば、



 内部または、外部の点 
任意の点に関する不等式は多数存在するSandor, Jozsef. "On the geometry of equilateral triangles", Forum Geometricorum 5, 2005, 107–117. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514index.html。



k = 0, 1, ..., 6について、

 Mansour, Toufik, and Shattuck, Mark. "On a certain cubic geometric inequality", Forum Geometricorum 11, 2011, 175–181. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201118index.html





k = 0, 1, ..., 9について、



 Mansour, Toufik  and Shattuck, Mark.  "Improving upon a geometric inequality of third order", Forum Geometricorum 12, 2012, 227–235. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201221index.html







三角形について、を各辺の中点として、

 Dao Thanh Oai, Problem 12015, The American Mathematical Monthly, Vol.125, January 2018

 円の半径 

 内接円と外接円の半径 
オイラーの不等式によれば外接円と内接円の半径をそれぞれとして、



等号成立条件は正三角形のときDragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012),  197–209.  http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html。

より強い不等式に次の形がある。



別の形では



右辺は正の値にも負の値にもなり得る。

更に別の形には、次のようなものがある。











面積との関係には次の式が挙げられる。









次の二つの不等式は、 最右辺は60°以上の頂角を持つ二等辺三角形で、最左辺は60°以下の頂角を持つ二等辺三角形で成立する。更に正三角形の場合すべての等式が成立する。



ただし外心が内接円外にあるとき 、内接円内にある時 。外心が内接円内にある必要十分条件は、

 Yurii, N. Maltsev and Anna S. Kuzmina, "An improvement of Birsan's inequalities for the sides of a triangle", Forum Geometricorum 16, 2016, pp. 81−84.
である。


Blundonの不等式によればDorin Andrica, Cătălin Barbu. "A Geometric Proof of Blundon’s Inequalities", Mathematical Inequalities & Applications, Volume 15, Number 2 (2012), 361–370. http://mia.ele-math.com/15-30/A-geometric-proof-of-Blundon-s-inequalities



鋭角三角形について、



内心を、circummidarc triangle の頂点をとして、



角について、 



三角形の頂点で外接円に接しさらに対辺と接する円の半径をそれぞれとして



また、 

 Lukarevski, Martin: "An inequality for the tanradii of a triangle", Math. Gaz. 104 (November 2020) pp. 539-542. doi: 10.1017/mag.2020.115

どちらも等号成立条件は正三角形であるとき。

 外半径と線分長 
外半径をとする。















外心を、外心のチェバ三角形の頂点をとして、



垂心をとして、鋭角三角形について



鈍角三角形については、不等号の向きが逆となる。

二つのブロカール点をとしてScott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.


ライプニッツの不等式（Leibniz’s Inequality）によれば、

 内接円と外接円の半径と不等式 
を内接円の半径、を各傍接円の半径として













鋭角三角形の内心と垂心の距離について、



鈍角三角形では不等号が逆になる。

更に鋭角三角形について



同様に鈍角三角形では不等号が逆になる。

内角の二等分線と対辺の交点をそれぞれとして、



cicummidarc triangleの頂点をとして、



更に、



接触三角形について、



 内接図形 

 内接する六角形 
3つの辺が三角形の辺でその角対辺が3辺と平行である、三角形に内接し円に外接する六角形の周長について



 内接する三角形 
辺上の点によってできる4つの三角形について、以下の式が成立する。また、等号成立条件はが各中点であるとき。



 内接する正方形 
鋭角三角形は3つの内接する正方形を持つ。それぞれ1辺が三角形の辺に含まれ、その端点でない頂点が三角形の他2辺上にある（直角三角形はそのような正方形をただ1つ持つ）。3つのうち2つの、辺の長さを（）とすれば

 Oxman, Victor,  and Stupel, Moshe. "Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?" Forum Geometricorum 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html

更に、その面積について、



 オイラー線 
二等辺三角形でない三角形について、オイラー線と内心の距離を、最長の中線と辺の長さをそれぞれ、半周長をとして、次の不等式が成立する。



すべての比について、その最大値は最右辺の1/3である。

 直角三角形 
斜辺、他二辺の長さをIとする直角三角形について、次の式が成立する。等号成立条件は直角二等辺三角形であるとき。



内接円半径について、次の式が成立する。



直角からの頂垂線について、



 二等辺三角形 
底辺、等辺、頂角でない角の二等分線の長さをとする二等辺三角形について、次の式が成立する。



 正三角形 
正三角形と、その外接円上にない任意の点について、次の式が成立する（ポンペイウの定理）。

が外接円上にある場合、ファン・スコーテンの定理である。

任意の点において、三角形の各辺の距離と各頂点との距離が次の式を満たす場合、は正三角形である。

 二つの三角形 
によれば、面積、辺長の三角形と面積、辺長の三角形について、以下の不等式が成立する。



等号成立条件は二つの三角形が相似であるとき。

Hinge theoremによれば、2つの三角形の二辺が合同であるとき、その成す角の大きさと3つ目の辺の大小は一致する。 つまり（それぞれ辺長が、）について、ならば、



逆も成立する。

任意の2つの三角形の角の余接について、次の式が成立する。



 非ユークリッド平面 
楕円幾何学のように、球面三角形の内角について、次の式が成り立つ。



この不等式はにもたらされる。

 関連項目 

 不等式の一覧
 三角形関連の記事の一覧

 出典 

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