混合体積

における混合体積（こんごうたいせき、mixed volume）とは、上のいくつかのの組と非負数を特徴づける手法である。凸体の形状と大きさ、相対的な方向に依存する。

 定義 
を上の凸体とする。次の関数を考える。



ここでは次元体積、内の加法は拡大縮小されたに関するである。は次斉次多項式であることが分かり、次のように書ける。



ただし、は対称関数である。インデックス について、係数をの混合体積という。

 性質 

 混合体積は次の3つの性質で特徴づけられる。


  は対称関数。
 は多重線型形。つまり、について、 

 混合体積は非負で、各変数において単調増加。つまりとすれば、 。
 との発見によれば、次の不等式が成立する（アレクサンドロフ＝フェンシェル不等式）。



 やのような多くの不等式は、このアレクサンドロフ＝フェンシェル不等式の系である。

 Quermassintegrals 
を凸体、を単位球とする。



はの j-th quermassintegral と呼ばれる。

混合体積の定義よりシュタイナーの公式（Steiner formula）と呼ばれる次の式が成立する。ヤコブ・シュタイナーの名を冠する。



 Intrinsic volumes 
の j-th intrinsic volume はquermassintegralの異なる正規化物である。次の式で定義される。


 つまり、


ここでは、次元単位球の体積。

 ハドヴィガーの定理 

ハドヴィガーの定理は、内の凸体上の剛体運動の下で不変で連続な任意の付値はquermassintegral（またはintrinsic volume）の線型結合で表すことができることを主張する。

 脚注 

 外部リンク 


 数学特別講義 特異点入門
 等周不等式について

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