フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理

フォン・シュタウト−クラウゼンの定理（フォン・シュタウト−クラウゼンのていり、Von Staudt–Clausen theorem）は、数論におけるベルヌーイ数の小数部分に関する定理である。クラウゼン−フォンシュタウトの定理とも呼ばれる。と、 が独立して発見した。

を正整数、をがで割り切れるような素数として、ベルヌーイ数にすべてのを加えた数は整数になる。つまり、

この定理により即座に、0でないベルヌーイ数の（既約な）分母が、がで割り切れるような素数の総積であることが分かる。更に、無平方で、6で割り切れる事も導ける。

ベルヌーイ数について、n番目の分母の成す数列は次の通り。

 6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... .

整数列 は次のようになる。

 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, 6193, -86579, 1425518, -27298230, ... .

 証明 
4つの補題を用いる。

を素数とする。

1. がで割り切れるならば、



2.  がで割り切れないならば、



補題1,2の証明にはフェルマーの小定理を使う。について、



である。

がで割り切れる（がの倍数）ならば、について、



であるから、




より補題1が証明された。ただし、二番目の式では二項定理を用いている。

がで割り切れないならば、フェルマーの小定理より、



とする。床関数の性質より。

、について、フェルマーの小定理より、



したがって、




のときであるから、補題2が証明された。

3. のとき、はで割り切れる。

4. 第二種スターリング数は整数である。

フォン・シュタウト＝クラウゼンの定理の証明には、ベルヌーイ数の一般項の公式を用いる。



これは第二種スターリング数を用いて次のように書ける。


を4より大きい合成数とすると、補題3よりは で割り切れる。

ならば、



を整数とする。が素数ならば補題1,2を使って、が合成数ならば補題3,4を使って、次の式の成立が分かるH. Rademacher, Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1973.T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1976.。


これは示されるべきことであった。

 関連項目 



 出典 

 参考文献 




 外部リンク 




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