ボンネゼンの不等式

ボンネゼンの不等式 （ボンネゼンのふとうしき、）またはボンネゼンの定理はジョルダン曲線の外接円と内接円、面積、周長に関する不等式である。ユークリッド平面における等周不等式より強力である。 

具体的には、平面上の単純な閉曲線の周長を、面積を、内接円と外接円の半径をそれぞれとする。トミー・ボンネゼンは次の不等式を証明したここでいう閉曲線の外接円とは閉曲線を内部に含む最小の円（）を指し、閉曲線の内接円とは閉曲線の内側に含まれる最大の円を指す。
右辺のは"isoperimetric defect"として知られる。

におけるisosystolic defectはボンネゼンの不等式のisoperimetric defectのな類似物である。

 証明 
次の証明はヒューゴ・ハドヴィッガーに帰せられる。原点中心、半径tの円をとする。また、関数を閉集合の面積とする。
サムネイル|図1|左
内接円と外接円の半径がそれぞれである凸コンパクト集合を考える。図1では、を紫色の正方形、内接円を緑色、外接円を青色で示してある。に含まれず、に含まれる部分をとする。ミンコフスキー和の面積と半径の円（図1,黄）について

が成立する。
サムネイル|図2|右
次に内接円、外接円の中心を通る直線でを半分に切断する。上の部分をとする。のミンコフスキー和は半径の半円板と図2の様な薄黄色の部分の和集合になる。をとの2つの交わる部分の長さとして次の式が成立する。

この等式にミンコフスキー・シュタイナーの公式を用いて値を評価する。ただしは凸集合ではないため、右辺は極限値とはならない。

ここでは、上部の周長。
下部についても同様にした式と、この式を辺々加えて

ここではの周長。また、の面積は外接円板との面積の差に等しいので、

これは面積についての2次多項式に、内接円半径を代入した値が負になることを意味する。

上記と全く同様の議論で、外接円半径についても同様の結論を得る。

この2つの不等式より、さらに次の不等式が成立する。

これを変形して、

 出典 

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