六円定理

幾何学で、六円定理（ろくえんていり、）は、三角形と6つの円に関する定理である。についてに接する円をつくる。に接する円、に接する円と、循環的にまで定義したとき、とは接する（chainが閉じる）。この定理は1974年以降に発見された。2016年、円が三角形の内部にある場合だけでなく、外部にもある場合、6円以上の連鎖になることが発見された。 

三角形の辺を円弧に変えたもの（円弧三角形）でも同様の定理がなりたつ（九円定理）。また多角形へも一般化されている（その場合周期が異なる）。 

 円の半径 
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半周長が1であるについて、線分とに接する円をとする（）。また、と、その対辺と内接円の接点の距離をとして

とする。すると

を得る。このとき内接円の半径について

が成り立つ。との接点と、の距離をとして

とすると、

が成り立つ。このことと円の中心が角の二等分線上にあることから、円の半径を求めることができる。また、計算していくと、

が分かるので、連鎖が6であることが分かる。

 証明 
サムネイル|s=1とした場合。
とがそれぞれで接しているとする。また、の半径をとすると、

また、より

なので

である。これを用いれば

を得る。この式をについて解くと

となる。に注意すれば

となる。よって、円の半径の項で見たようにこの式を循環的に使えば、証明される。

 特別な場合 

 内接円 
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最初の円を内接円にすると、奇数回目の操作で得られる円は常に内接円となる。特に

が成り立つので、

が従う。これは1814年の算額の書物や1781年の西洋算法でも示されているGéry Huvent,, Dunod, 2008, p. 125。他に1730年、1817年のにも書かれている。

The Ladies' Diaryでは以下の形で紹介されている。

 マルファッティの円 
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4つ目の円と1つ目の円を一致させると円の周期は3になりマルファッティの円となる。特に

が従う。

 出典 

 関連項目 
 アポロニウスの問題
 シュタイナーの円鎖
 ポンスレの閉形定理
 フォードの円
 ミケルの定理
 クリフォードの定理
 五円定理
 七円定理
 八円定理
 ダオの六角形の周上の六円定理

 外部リンク 



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