ゴッサード配景中心

ゴッサード配景中心（ゴッサードはいけいちゅうしん、）またはゼーマン＝ゴッサード配景中心（）は、幾何学において三角形の心の一つを意味する用語。のEncyclopedia of Triangle CentersではX(402)に登録されている。この点は1998年にジョン・ホートン・コンウェイによって、1916年にこの点を発見したを賞して命名された。命名後、1899年から1902年の間に、クリストファー・ゼーマン（）によってこの点が発見された旨のある出版物が発見された。そのため2003年より、Encyclopedia of Triangle Centersでは後者の名を用いている。

 定義 
サムネイル|400x400ピクセル|の垂心と、重心。

 ゴッサード三角形 
のオイラー線が辺と交わる点をそれぞれとする。次に、 を、のオイラー線が成す三角形とする。ただしはのオイラー線の交点とする。も同様に定義される。このをゴッサード三角形（）という。

 ゴッサード配景中心 
のゴッサード三角形をとする。このとき直線は一点で交わる。この点をのゴッサード配景中心という。

 性質 

 ゴッサード三角形と基準三角形は合同である。
 それぞれとは平行である。
 ゴッサード三角形をゴッサード配景中心で鏡映すると基準三角形となる。
 つまりゴッサード三角形は基準三角形をゴッサード配景中心を中心として点対称移動したものである。
 ゴッサード三角形と基準三角形のオイラー線は一致する。
 ゴッサード配景中心はオイラー線上にある。

 座標 
ゴッサード配景中心の重心座標は以下の式で表される。

 として

サムネイル|400x400ピクセル|直線はのオイラー線。直線がと平行になるように動く。の位置にかかわらずはと合同である。反転した青い三角形は基準三角形のゴッサード三角形。

 一般化 
ゴッサード三角形の一般化は基準三角形と合同な三角形として一般化される。

 ゼーマンによる一般化 
次はクリスストファー・ゼーマンによる一般化である。

のオイラー線と平行な直線との交点をそれぞれとする。次にをのオイラー線の成す三角形とする。とのそれぞれの辺は平行である。

 ヨウによる一般化 
サムネイル|400x400ピクセル|パウル・ヨウによるゴッサード三角形の一般化
次はパウル・ヨウ（）による一般化である。

とその重心（幾何中心）ではない点を取る。

 直線との交点をそれぞれ、の重心をとする。
 次に、それぞれを通るの平行線と、を通るの平行線も交点をとする。
 も同様に定義する。このときの成す三角形をと置く。

このときとのそれぞれの辺は平行である。

が垂心のとき、直線はオイラー線で、はゴッサード三角形となる。

 ダオによる一般化 
ダオ・タイン・オアイ（）はさらなる一般化を公表している。と異なる二点を用意する。直線との交点をそれぞれする。次に、を通るの平行線とを通るの平行線交点を、を通るの平行線とを通るの平行線交点をとする。も同様に定義する。このとき、の成す三角形は基準三角形と合同で、かつ相似の位置にあり、相似の中心は上にある。ダオの結果は以下のように上記の定理をすべて統一したDao Thanh Oai, A generalization of the Zeeman-Gossard perspector theorem, International Journal of Computer Discovered Mathematics, Vol.1, (2016), Issue 3, page 76-79,  。

 直線がオイラー線と一致すると、ゴッサード三角形とゴッサード配景中心となる。
 直線がオイラー線と平行ならゼーマンの一般化となる。
 のうち一点が重心ならば、ヨウの一般化となる。

ある直線に関する、最後の相似の中心は直線のダオ＝ゼーマン配景中心（）と呼ばれる。

 関連 

 Central line
 Encyclopedia of Triangle Centers
 幾何中心

 オイラー線
 パリー鏡映点

 出典 

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