七円定理

幾何学における、七円定理（なな（しち）えんていり、）はユークリッド平面上の7つの円に関する定理である。 6つの円がそれぞれ隣り合う2つの円とそれぞれ接し、また6つの円すべてが1つの円と（内部または外部で）接しているとする。との接点と6つの円について反対の円（隣り合う円とも隣り合わない円）との接点を結んだ直線延べ3本は共点である。1974年、EvelynとMoney-CouttsとTyrrellによって、初等幾何学的な証明が発見された。 

 証明 
スタンレー・ラビノヴィッツ（Stanley Rabinowitz）の6円が内部にある場合の証明を紹介する。

 補題 
以下の補題を使用する。

・弦のチェバの定理:ある円の弦が一点で交わることと、が成り立つことは同値。

円周角の定理と三角形の相似から

が成り立つので、辺々掛けて示される。

・中心を、半径をとする円がで外接し、また中心、半径の円とそれぞれで接するとき

が成立する。

と円の二つ目の交点をとする。は一つの角を共有し、また二等辺三角形なので、相似でが従う。同様に、が従い、の共線よりは共線である。ところで円周角の定理と三角形の相似から、

である。の共線よりはの直径であり、

と変形して、示される。

 本題 
6円との接点をそれぞれとする。二つ目の補題より

なので、一つ目の補題より、は一点で交わる。

6つの円が外部にある場合は分母がとなるだけで、同様に証明できる。

 関連項目 

 五円定理
 六円定理
 八円定理
 九円定理
 シュタイナー円鎖
 ラムゼーの定理
 ミケルの定理
 ダオの六角形の周上の六円定理
 クリフォードの定理
 ブリアンションの定理

 参考文献 





 the Seven Circles Theorem by Stanley Rabinowitz, with a proof based on Ceva's theorems.

 外部リンク 


 Interactive Applet by Michael Borcherds showing The Seven Circles Theorem made using GeoGebra.
 Seven Circles Theorem at Cut-the-knot.

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