極と極線

極（きょく、）と極線（きょくせん、）は、幾何学において、円錐曲線に関する点と直線を指す用語。極は点であることを強調するため極点とも言われる。

与円による極と極線の相反変換（Polar reciprocation）は、点を直線に、直線を点に変換する。

 性質 
極と極線はいくつかの有用な性質を持つ。

 点が直線上にあるとき、の極は、の極線上にある（ラ・イールの定理、La Hire's theorem）。
 点が直線上を動くとき、の極線はの極を中心に回転する。
 極を通る円錐曲線の2つの接線の接点は極線上にある。
 円錐曲線上の点の極線は、その点における円錐曲線の接線である。
 点が自身の極線上にあるならば、その点は円錐曲線上にある。
 どの直線も、退化していない円錐曲線に対して、極を持つ。
 円の場合 
円錐曲線が円である場合は反転と深い関係を持つ。もととなる円をとする。極線の極は、の円の中心に最も近い点（円の中心を通る垂線の垂足）をにおいて反転した点となる。逆に、点の極線は、をにおいて反転した点を通り、直線上の点の中で円の中心と最も近い点がとなるような直線となる。
右|サムネイル|点の極線上の点の極線はを通る。 
極と極線の関係は相互的である。点の極線上の点の極線はを通る。 

円の外側に極がある場合、その極線は別の定義をすることもできる。を通るは高々2個存在する。この2接線の接点を通る直線はの極線となる。この定義から、退化していない円錐曲線に対する極と極線へ一般化することができる。

 変換 

右|サムネイル|点と直線の双対性の画像。2直線が一点を通るとき、 の極線はの極を結んだ直線となる。
極と極線の概念は射影幾何学にも発展できる。例えば、与えられた極と円錐曲線に対する射影調和共役点の集合は極線となる。 点を曲線に置き換える操作、またその逆の操作は極系（polarity）と呼ばれる。

極系は対合として知られる相互関係でもある。

任意の点とその極線について、上の他の点はを通る直線の極である。これは相互的な関係を構築し、その逆の操作も相互的になるEdwards, Lawrence; Projective Geometry, 2nd Edn, Floris (2003). pp. 125-6.。

 円錐曲線への一般化 
サムネイル|直線はそれぞれ点の極線。
サムネイル|直線はそれぞれ点の極線。
極と極線の概念は円から円錐曲線（楕円、双曲線、放物線等）へ拡張できる。や複比、射影変換などに関わる性質は、一般化しても同様に成り立つ。

 極線の計算 
一般化された円錐曲線は平面直交座標系で、二次曲線として次の式で表すことができる。

ただしは定数とする。点の極線の方程式は次の形で与えられる。

ただし

 極の計算 
直線の非退化円錐曲線に関する極は次の2つの過程で求まる。

まず次の式のx,y,zを求める。

が与えられた直線の極となる。

 極と極線の関係の表 

円錐曲線円錐曲線の方程式の極線 円楕円双曲線放物線

円錐曲線円錐曲線の方程式直線の極円楕円双曲線放物線

 完全四辺形 
射影幾何学では、平面上の任意の2直線は必ず交わるとされる。 4つの直線はと呼ばれる四角形を成す。また4点を結ぶ直線の交点は対角点（diagonal point）と呼ばれる。

円錐曲線上にない点を与え、を通る2つの割線を作る。割線との交点から完全四辺形を作る。するとはこの完全四辺形の対角点の一つとなる。他の二つの対角点を結ぶ直線はの極線となる（ブロカールの定理、Brocard's theorem）。

 応用 
極と極線は、元はジョセフ・ジェルゴンヌがアポロニウスの問題を解くために定義したものである。

平面力学において pole（極）は回転の中心、polar は力線、conic は慣性の質量行列の役割を果たすJohn Alexiou Thesis,  Chapter 5, pp. 80–108 。pole と polar の関係は剛体のの定義で使用される。極が hinge point ならば、極線はにおける percussion line となる。

 出典 

 参考文献 



   The paperback version published by Dover Publications has the .


 関連項目 

 双対多面体

 三線極点
 直極点

 外部リンク 
 Interactive animation with multiple poles and polars at Cut-the-Knot

 Interactive 3D with coloured multiple poles/polars - open source




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