エルデシュ・モーデルの不等式

ユークリッド幾何学においてエルデシュ・モーデルの不等式（エルデシュ・モーデルのふとうしき、）は、三角形とその内部の点について、三角形の各頂点との距離の和は、三角形の各辺との距離の和の2倍以上であるという定理である。ポール・エルデシュとルイス・モーデルに因み名付けられた。エルデシュ  はこの不等式の証明の問題を発表し、その2年後に、モーデルとバロー  によって証明がなされた。この不等式は実に初等的であるが、彼らによる証明は全く初等的でない。その後 、、 らによって単純な証明が与えられた。

バローの不等式はエルデシュ・モーデルの不等式のより強力な不等式である。エルデシュ・モーデルの不等式は点と辺との距離、つまり垂線の長さに関する不等式だが、バローの不等式は角の二等分線の長さに関する不等式となっている。

 主張 
右|サムネイル|エルデシュ・モーデルの不等式

 証明 
の対辺とその長さをと表現する。またの長さをそれぞれ、間,間,間の距離をそれぞれとする。このとき



を証明する。この不等式は



と等しい。このとき、右辺は三角形の面積を表すが、左辺のは底辺をとしてみたときの三角形の高さよりも大きい。したがってこの不等式は成立する。をの角の二等分線で鏡映した点にこの不等式を用いればを得る。同様にを得る。これらの不等式を変形する。







この3つの不等式を加えて



ここで相加相乗平均の関係式よりエルデシュ・モーデルの不等式を得る。等号成立条件は、元の三角形が正三角形でが三角形の重心であることである。

 他のより強い不等式 
外接円をとすると、の内部の点について、を辺に対するの垂足、をにおけるの接線に対するの垂足とする。このとき



が成り立つ。等号成立条件は元の三角形が正三角形であること（; ）。 

 一般化 
を凸n角形、をその内部の点とする。またをとの距離、をとの距離、をの二等分線との交点との距離とする。このとき次の不等式が成り立つ 。



 絶対幾何学 
 においてもエルデシュ・モーデルの不等式が成り立つことが知られている  。ただし絶対幾何学での三角形の内角の和は180°以下であることを考慮する必要がある。

 出典 

 参考文献 
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 . (See D. K. Kazarinoff's inequality for tetrahedra.)
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 関連項目 

 三角形に関する不等式の一覧
 ヴィヴィアーニの定理
 三角不等式
 オノの不等式
 カルノーの定理 (垂線)
 垂足三角形
 外接三角形

 外部リンク 

 Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.

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