ポンスレの閉形定理

幾何学において、ポンスレの閉形定理（ポンスレのへいけいていり、）または単にポンスレの定理は、二つの円錐曲線にそれぞれ、 内接する多角形が1つでも存在すれば、そのような多角形は無数に存在するという定理である。1746年、ウィリアム・チャップル が三角形の場合を証明し、1822年、ポンスレが一般の場合を解決した。

 主張 
を二つの円錐曲線とする。3以上の整数について、あるn角形がに外接する（多角形の頂点すべてが上にある）かつに内接する（多角形の辺すべてがと接する）ならば、同様にに外接しに内接する角形を無数に見つけることができる。または上の任意の点はそのような多角形の接点になり得る。 

がともに円ならばこの多角形は双心多角形と呼ばれる。双心多角形は Poncelet's porism の一部である。 

 証明の概要 
を P2上の曲線として見る。簡単のため、は単純な交点を持つとする（非特異でにある）。このときベズーの定理よりの交点は4つ存在する。点を通るの接線の接点を、をもつの部分代数多様体をとする。ならばは1つ、でなければ2つ存在する。したがって、射影によりは、4点以上で分岐した位数2の自己同型で表される。つまりは楕円曲線である。   を同一座標上の点へ移すの対合をとする。不動点をもつ楕円曲線の対合は、群として、と表現されるので、もこの形式となる。同様に射影も、の4つの共通接線との接点で分岐した位数2の自己同型であり、対合はと一致する。したがって合成写像はへの変換を表す。のべきが不動点を持つならば、そのべきはその不動点で恒等写像である必要がある。に言い換えると、（対応するの存在する）ある点が閉じた軌道をつくる（つまり角形を作る）ならば、すべての点が不動であるということである。が退化した場合は極限を取ることで導かれる。

 空間への拡張 
1880年、フルヴィッツは次のように空間へ一般化した。

2つの空間三次曲線にそれぞれ内接・外接するような四面体が、2つでもあれば、そのような四面体は無数に存在する。

他に1901, 1904年にフォントネーに論じられ、1928年にフランツ・マイヤー（Franz Meyer）に双対を証明された、次のようなものもある。

与えられた空間三次曲線に内接し、二次曲面に外接する四面体は、一般に1つ存在し、2つ存在するならば、そのような四面体は無数に存在する。
フォントネーやブリカールは八面体や二十面体への拡張にも言及している
。

 出典 

 参考文献 
 Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. "Poncelet's closure theorem". Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289–364.

 関連項目 



 シュタイナー円鎖

 イーガン予想

 外部リンク 

 David Speyer on Poncelet's Porism
 D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics
 Interactive applet by Michael Borcherds, 2円、の場合のGeoGebraによる描画。
 Interactive applet 楕円および放物線、の場合。
 Interactive applet 2つの楕円、の場合。
 Interactive applet 2つの楕円、の場合。
 Interactive applet 2つの楕円、の場合。


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