ケンプナー関数

数論において、ケンプナー関数（ケンプナーかんすう、）オンライン整数列大辞典にてニール・スローンがこの表記を用いている。参照。   は正整数について定義される関数である。

 定義 
階乗をが割り切るときの最小値を与える関数である。例えばならば、はで割り切ることはできないが、で割り切ることができる。つまりである。他の言い方をすればがの約数となる最小の整数を与える関数である。

この関数は、素数においては一次関数的に成長し、階乗数では対数関数的成長を見せる、一貫性のないをもつ。
+123456789101112131415161718192021222324252627280,123453746511413756176195711234101397

 歴史 
ケンプナー関数は、1883年、リュカによって初めて言及された。その後は、1887年のノイベルグのジャーナル Mathesis にも見られた。1918年、オーブリー・J・ケンプナーが最初に正しい計算アルゴリズムを与えた。またケンプナーはとしている。

1980年にスマランダチェが再発見し研究したことからスマランダチェ関数（Smarandache function）とも呼ばれる。

 性質 

はを約数に持つため、は常に以下である。が素数か4であることとが成り立つことは同値である。つまりをできるだけ大きくするときは素数である。逆に、できるだけ小さくする場合はを階乗数にすればよい（についてとなる）。

は係数が整数である、出力された整数値がすべてで割り切れるモニック多項式の最小次数となる。例えばについて、以下の三次関数が出力する整数値は6で割り切れる（6を法として0である）。しかし二次または一次のモニック多項式で、その出力された整数値が常に6で割り切れるものは存在しない。

ほとんどすべての整数（が0という意味）で、がの最大の素因数と一致する事がエルデシュによって指摘された.。この問題は1911年にで発表され1994年に解決された。

Tutescuはと予想している。

4以上の整数について、素数計数関数とガウス記号とケンプナー関数に関連する以下の式が成り立つ。

 計算複雑さ 
任意の整数のケンプナー関数は、の素因数の素数冪の中で、の最大値である。が自身であるとき、そのケンプナー関数は、の倍数の中でその階乗の約数がの十分な倍数を含むものを見つける、という手順程度の で見つけられる。 同様のアルゴリズムを任意のに拡張すると、のそれぞれ素因数で、と同様の手順を行い、最も大きい値がの値となる。

素数とより小さい数で、と表せるときである。したがって、半素数のケンプナー関数の計算は、その素因数分解と同等の難しさであることを示唆している。より一般的に、が合成数ならば、を繰り返し評価しが素因数分解できたとしても、との最大公約数は非自明である。ゆえに、ケンプナー関数の計算は一般的に、素因数分解より簡単でない。

 級数 
ケンプナー関数に関する級数には以下のようなものがある。総じてと呼ばれる。

（無理数であることが知られている）

 類似物 

 Pseudosmarandache Function 
Pseudosmarandache Functionは、番目の三角数がを割り切るとき、最小のを出力する関数である。以下のような性質を持つ。


 （奇数の場合）

 についての方程式は無限個の解を持つ。
 はならば収束する。
 は発散する。

 Smarandache-double factorial Function 
Smarandache-double factorial Function は（二重階乗）がを割り切るとき、最小のを出力する関数である。

 Smarandache Near-to-Primorial Function 
Smarandache Near-to-Primorial Functionは、（素数階乗）またはのいずれかがを割り切るとき、最小のを出力する関数である。

 スマランダチェ-ワグスタッフ関数 
スマランダチェ-ワグスタッフ関数（Smarandache-Wagstaff Function）は1から番目までの階乗数の和がを割り切るとき、最小のを出力する関数である。0から番目までとしたものはスマランダチェ-クレパ関数（Smarandache-Kurepa Function）と呼ばれる。

 Smarandache Ceil Function 
Smarandache Ceil Function は、がを割り切る最小の整数を出力する関数である。 である。

の解の個数をとしてとしても表される。

 出典 

 参考文献 


 SMARANDACHE NOTIONS JOURNAL vol7,vol8,vol9,vol10,vol11,vol12,vol13

 関連項目 

 ケンプナー級数
 アンドリカの予想

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