垂足曲線

垂足曲線（すいそくきょくせん、）は、曲線の接線に対する、固定点の直交射影が成す曲線である。より正確に言えば、平面曲線と垂足点 () について、の接線に対するを通る垂線の足（接線と垂線の交点）の軌跡を垂足曲線という。逆に、曲線上の任意の点における接線のある垂線が、ある点を通るなら、その垂線の足は垂足曲線を成す。 

垂足曲線を構成するために、四角形が長方形となるように点を取る。点の軌跡は  と呼ばれる。

曲線の orthotomic は、を中心として2倍に拡大した垂足の軌跡である。を接線で鏡映した点の軌跡ともいえる。

垂足曲線は、曲線の垂足曲線をとして、と定義していったときの一連の曲線の最初の曲線である。この曲線内で、をの  という。逆にはの番目の負垂足線 () または逆垂足曲線と呼ばれる。

 方程式 

 直交座標によるアプローチ 
を原点とする。また、曲線をとする。上の点の接線は次の形で書くことができる。

このときベクトルは（接線のを通る垂線）と平行である。また、線分の長さはである。したがって、は極座標で と表せる。をで置き換えると極座標系における垂足曲線の方程式を得る。

右|サムネイル|464x464ピクセル|である楕円（黒）の垂足曲線（赤）。垂足曲線はと表される。
例として、楕円の垂足曲線を挙げる。楕円の方程式は次のように表される。

楕円上の点における接線は

である。を用いた形に書き換えると次のようになる。

楕円の方程式からをして

を得る。に置き換えると

となる。この式は容易にデカルト座標の方程式に書き換えることができる。

 極方程式によるアプローチ 
を原点とする。曲線を極方程式で与える。を上の点、を前項と同様に定義する。接線と動径の成す角（極）をとして、

より、

である。これらの方程式において、とを変換して、垂足曲線の方程式を得ることができる。

例として、円の垂足曲線を考える。

であるから

そして、

が成り立つ。したがって、

 垂足方程式によるアプローチ 
曲線の垂足座標における表示と垂足曲線は深い関係にある。原点を垂足点として取る。における動径と曲線の成す角は、垂足曲線とにおける対応する角と等しい。垂線の長さ（から垂足までの距離）を、対応する垂足曲線のを通る垂線の長さをとすれば、三角形の相似より、

これより、曲線の垂足方程式をとして、垂足曲線の垂足方程式は次の式で表せる。

この式から曲線の  の垂足方程式を簡単に求めることができる。

 パラメトリック方程式によるアプローチ 
右|サムネイル|458x458ピクセル|上記と同じ楕円の 
右|サムネイル|461x461ピクセル|楕円の縮閉線の垂足曲線。楕円の  と一致する。
とする。また、をに分解して次のように書く。

は方向のベクトルとなる。

をパラメタとして曲線の垂足曲線のパラメトリック方程式は

で表される（が0または定義できない点は無視する）。

曲線を媒介的に定義して、垂足点をとする垂足曲線は、

と定義できる。は次の式で与えることができる。

同じ垂足点においては、と曲線の縮閉線の垂足曲線は一致する。

 幾何学的な性質 
点を通る直線と、曲線の接線が直角を成すような剛体移動を考える。この角の頂点は曲線との垂足曲線をたどる。角が動けばに対する角の運動方向はと平行になり、の動く方向は接線に平行になる。したがって瞬間中心は、のを通る垂線と、のを通る垂線の交点である。における垂足曲線の接線はのを通る垂線と一致する。

を直径とする円は長方形に外接し、またを直径に持つ。したがって円と垂足曲線はどちらもと直交するので、で接する。ゆえに、もとの曲線上の点をとして、垂足曲線は直径をとする円の包絡線となる。

直線は曲線の法線であり、その包絡線は曲線の縮閉線である。ゆえには縮閉線の接線で、はを通る縮閉線の接線の垂足である。つまりは縮閉線の垂足曲線である。よって  は元の曲線の縮閉線の垂足曲線であることが従う。

をを中心に2倍縮小した図形をとする。 に対応する点は長方形の中心であり、におけるの接線はと平行な直線で、長方形を二等分する。から発射され、で に衝突して反射する光線はを通る。この反射された光線はの垂足曲線と直交する直線であると一致する。垂足曲線に直交する直線の包絡線は、反射された交線の包絡線、のとなる。この事実は、曲線の火線が  の縮閉線と一致することの証明に使われる。

前述の様に、を直径とする円は垂足曲線に接する。この円の中心はである。

をの共通接線で鏡映の関係にある合同な曲線として、の定義の様に、上を滑らせずに転がす。2曲線が点で接するとすれば、 と対応する点はとなる。また輪転曲線は垂足曲線となる。同様に、曲線の  は輪転曲線の鏡映像の輪転曲線となる。 

 例 
サムネイル|274x274px|蝸牛形 - 円の垂足曲線
が円であるとき、上述の議論から蝸牛形について次のような定義ができる。

 円の垂足曲線。
 ある固定点と円上の点を直径の両端とする円の包絡線。
 中心が円上にあり固定点を通る円の包絡線。
 同半径の円上を転がる円の輪転曲線。

円の火線は蝸牛形の縮閉線である。

 例 
有名な曲線の垂足曲線を挙げる。
曲線方程式垂足点垂足曲線円円周上の点カージオイド円任意の点蝸牛形（リマソン）放物線焦点頂点における接線放物線頂点ディオクレスのシッソイドデルトイド中心三葉曲線楕円または双曲線焦点副円楕円または双曲線中心 （）直角双曲線中心ベルヌーイのレムニスケート対数螺旋極対数螺旋正弦波螺旋極 (別の正弦波螺旋)

 脚注 

 注釈 

 出典 

 参考文献 



"Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley


 関連項目 


 垂足三角形

 外部リンク 





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