ドロー＝ファルニー線定理

ドロー＝ファルニーの定理（）は平面幾何学において、垂心を通り直交する直線に関する定理である。

三角形の垂心（頂垂線の共点）を、で直交する直線をとする。次に、との交点をそれぞれ、との交点をそれぞれとする。このとき、線分の中点は共線である。 

ドロー＝ファルニーの定理は、1899年にアルノルド・ドロー＝ファルニーが提言した定理であるが、彼自身の証明は不完全であった。

また中点を、一定の比に置き換えても同様の定理が成立する（あるいはクリストファー・ブラッドリーによる）。

ドロー＝ファルニー線の包絡線は外心と垂心を焦点とする内接円錐曲線 () である。

ドロー＝ファルニーの定理の垂心を他の点に置き換えたとき、ドロー＝ファルニー線の類似物が存在するような直線の組（DF-lines）はただひとつ存在する。この2本の直線は、三角形の頂点と垂心とを通る外接円錐曲線の漸近線と平行である。点について、との DF-lines の二等分線の三線極点とが共線であるようなの軌跡を Df-Cubic という。

 ゴールマハティヒの一般化 
1930年、ルネ・ゴールマハティヒはドロー＝ファルニーの定理の一般化を発表した。

について、その頂点でない点を通る直線の一つをとする。でを鏡映した直線と、それぞれの交点は共線である。

が垂心であるとき、元の定理を得る。

 ダオによる一般化 
サムネイル|292x292ピクセル|ダオによる1番目の一般化
ダオ・タイン・オアイ（）はさらなる一般化を発見している。

１: と任意の点について、3つの平行な線分を、その中点とが共線になるようにとる。このとき、それぞれとの交点は共線である。
右|サムネイル|293x293px|ダオによる2番目の一般化

2: 任意の円錐曲線と点について、を通る直線がそれぞれと、、で交わるとする。次にの極線か上に点を作る。このときは共線である。ただし積集合記号は二直線の交点を表す。

この定理はザスラフスキーの定理（）、ニクソンの定理、ブリスの定理（）、コリングの定理（）、カルノーによるシムソンの定理の一般化などに演繹することができる。

他にも、 と  による対垂三角形を用いた一般化などが存在する。
 出典 

 関連項目 
 ドロー＝ファルニー円

Category:三角形に関する定理
Category:円錐曲線
Category:直線
Category:ユークリッド幾何学
Category:数学のエポニム
Category:初等幾何学
Category:数学に関する記事