等角共役

右|サムネイル|三角形の内側の点を等角共役による変換
幾何学において、等角共役（とうかくきょうやく、英:isogonal conjugate,isogonal conjugation）は、三角形と点について、の角の二等分線で、直線を鏡映した線の交点のこと、またはとの関係である。

の角の二等分線で、直線を鏡映した線（等角共役線、isogonal lines）が一点で交わることはチェバの定理の逆で示すことができる。 に対して、を等角共役、または等角共役点と言う。の等角共役点はである。

 例 

 内心と傍心の等角共役点はその点自身である。
 垂心の等角共役点は外心である。
 重心の等角共役点は類似重心である（類似重心の定義）。
 フェルマー点の等角共役点は等力点である。
 2つのブロカール点は互いに等角共役である。

 性質 
三線座標系で、 とする。ただしは頂点でないとする。の等角共役点はである。 故に、の等角共役点はで表されることもある。三角形の中心の集合で三線座標の積（trilinear product）は以下の式で定義される。



したがってをアーベル群として見ると、の逆元はである。

関数としての等角共役として、等角共役は直線や円にも適用できる。直線の等角共役は外接円錐曲線になる。直線が外接円とそれぞれ0,1,2点で交わるとき、その等角共役は楕円、放物線、双曲線となる。例えばブロカール軸、オイラー線の等角共役はそれぞれキーペルト双曲線、ジェラベク双曲線である。外接円の等角共役は無限遠直線である。

幾つかの有名な三次曲線（ノイベルグ三次曲線や17点3次曲線、McCay Cubic）はとがともに線上にある三次曲線（自己等角共役、self-isogonal-conjugate）である。

 他の定義 
サムネイル|等角共役点の2つ目の定義
をで鏡映した点をとする。円の中心はの等角共役点である。これはの垂足円の中心が、その等角共役点との中点となるためである。

 一般化 
2021年、ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）は、等角共役の一般化を示した César Eliud Lozada, Preamble before  X(44687)Encyclopedia of Triangle Centers。

と外接円錐曲線、そして点について、とが再び交わる点をそれぞれとする。を通るの平行線との第二交点をとして、は共点である。これをダオ共役（Dao conjugate）という。

の中心との重心座標をそれぞれ、としてのダオ共役点は、と表される。

が外心でが外接円ならば等角共役、
が幾何中心でがシュタイナー楕円ならば等長共役、がX(1249)ならばpolar conjugateである。
 関連 

 等長共役
 チェバ共役
 Centaral lines
 三角形の心

 参考文献 

 外部リンク 

 Interactive Java Applet illustrating isogonal conjugate and its properties
 MathWorld
 Pedal Triangle and Isogonal Conjugacy

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