ネスビットの不等式

ネスビットの不等式（）は、以下の不等式である。アルフレッド・ネスビット（Alfred Nesbitt）の名を冠する

ただし、a, b, c は正の実数。等号は a = b = c のとき成立する。

 証明 
ネスビットの不等式はシャピロの不等式の  = 3 の場合である。
 証明1:相加調和平均の関係式 
相加調和平均の関係式をに用いる。

整理して、

 証明2:並べ替え不等式 
を仮定すると

を得る。
 ,
と定義する。並べ替え不等式より、この2列のドット積は、2列がともに単調増加あるいは単調減少であるときに最大値をとる。
今、2列は単調減少数列になっている。2つのベクトルをを循環的に置き換えたものとして、

辺辺足して、ネスビットの不等式を得る。
 証明3:平方和 
任意の実数について、恒等式

が成り立つから、正の実数におけるネスビットの不等式を得る。

備考:すべての有理不等式は、平方和の恒等式に変換することで証明可能である。詳細はヒルベルトの第17問題を参照。 
 証明4:コーシー＝シュワルツ 
2つのベクトル

に関するコーシー＝シュワルツの不等式、

を証明1と同様にして変形することで題意の不等式を得る。
 証明5: 相加相乗平均の関係式 
のようにラヴィ変換を施して、相加相乗平均の関係式を用いることにより、

を元に戻して、

整理すると、ネスビットの不等式を得る。
 証明6:Tituの補題
ティトゥの補題はコーシー＝シュワルツの不等式を個の実数の列と、個の正の実数の列に関する不等式に換言したものである。


とすると、

 証明7:斎次性 
不等式の左辺が斎次的であることから、 としても一般性を失わない。 ラヴィ変換を施して、

とすれば、不等式は に帰着する。これは、と変形できるが、ティトゥの補題より、成立が確認できる。
 証明8:イェンセンの不等式 
として、関数を考える。この関数は区間内で凸であるから、イェンセンの不等式より、

整理して、

証明9 

について、不等式を証明して、 を考えることにより、右の不等式が示せる。

実際に であるから不等式が成立する。
 証明10:ムーアヘッドの不等式 
証明9の右の不等式は、におけるムーアヘッドの不等式そのものである。
 証明11
不等式を変形して

この左辺は、

となるので、不等式が成立する。
 出典 

 Ion Ionescu, Romanian Mathematical Gazette, Volume XXXII (September 15, 1926 - August 15, 1927), page 120 

 外部リンク 

 Nesbittの不等式の6通りの証明 | 高校数学の美しい物語



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