テボーの定理

テボーの定理（テボーのていり、、）は、フランスの数学者、ヴィクトル・テボーが提唱したいくつかの幾何学の問題の総称である。それぞれは、テボーの問題I, II, IIIとして知られている。

 テボーの問題 I 
サムネイル|テボーの問題Iをもとにしてつくられたタイルのパターン
ある平行四辺形の4辺の外側に正方形を作る。このとき、4つの正方形の中心は正方形を成す（デポールの定理、テボールの定理とも呼ばれる）。

これはヴァン・オーベルの定理の特別な場合である。またヴァン・オーベルの定理は、ペトル-ダグラス-ノイマンの定理の系でもある。

 テボーの問題 II 
ある正方形の隣り合う二辺に正三角形を作る。ただし、双方ともに、外側または内側にあるとする。このとき、2つの正三角形の頂点でない正方形の頂点と、正方形の頂点でない二つの正三角形の頂点が成す三角形は正三角形である。

 テボーの問題 III 
ある三角形と、上の点について、と三角形の外接円に接する（内接する）円をの両側にそれぞれ作る。 2つの円の中心と三角形の内心は共線である。澤山-テボーの定理 () とも呼ばれている。また、円は曲線内接円 () と呼ばれる。

2003年まで、学界はテボーの問題 IIIの証明はこれらの問題の中で最も難しいと考えていた。テボーの問題 IIIは1938年、 で紹介され、1973年に、オランダの数学者H・ストリーフカーク () によって証明された。しかし東京の陸軍中央幼年学校の教官であった陸軍教授[ 『官報』第5444号]、明治34年8月24日。澤山勇三郞が1905年に独自に証明を与えていたことが、2003年、ジャン＝ルイ・エム () によって発見された。

テボーの問題 IIIの円を傍接に置き換えたもの、つまり内心を傍心に、2つの円を外接円に外接するように置き換えたものは、2002年、Shay Gueron によって発見され、 ケイシーの定理を用いて証明された 。澤山-テボーの定理は以下のようにも言い換えることができる。

 ジャン=ルイ・エムによる証明 

 補題（澤山の補題） 
サムネイル|427x427ピクセル|澤山の補題、がと一致することを示している。
・円との接点をとする。は共線である。

円と△の外接円との接点をとする。を中心とする円の相似からとの交点は弧の中点、つまりとの交点である。したがって、は∠の二等分線である。またとの交点を、との交点をとして、なのでライムの定理の逆から、は共円である。△とに、ミケル点をとしてミケルの定理を用いることで、と円はで接することが分かる。円はで共軸で、と円が接することから、を中心としを通る円と円は直交する。ところで、と接弦定理の逆から円はと接するので、共軸な3円は、すべてを中心としを通る円と直交する。したがってである。トリリウムの定理よりなので。以上よりの共線が示された。

特にとすると、円はの混線内接円となり、この補題はニクソンの定理 () と呼ばれる。Dao Thanh Oaiは等角共役点を用いた一般化を発表している。

 本題 
・は共線である。

円との接点をとする。はそれぞれ∠の内側、外側の二等分線上にあり、またはそれぞれの垂線であるので、である。さらになのでパップスの六角形定理の逆より、の共線が示された。

 脚注 

 注釈 

 出典 

 外部リンク 

 Thébault's problems and variations at cut-the.knot.org

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