三角形の円錐曲線

ユークリッド幾何学において、三角形の円錐曲線または三角形の二次曲線（英:Triangle conic）は三角形に定義される、円錐曲線の総称である。 たとえば、外接円や内接円、シュタイナー楕円、キーペルト双曲線が挙げられる。ほかに、それぞれの頂点または対辺ごとに定義される、アルツト放物線のようなものもある。

三角形の円錐曲線と言う言葉に、明確な定義は存在せず、文献の中で広く使われている （などを参照）。ギリシャの数学者Paris Pamfilosは「円錐曲線が外接するとは、の頂点3つを通ることであり、円錐曲線が内接するとは3辺に接することである」と述べた。三角形の円、楕円、放物線、双曲線（triangle circle,ellipse,parabola,hyperbola）といった言葉も同様に定義された。

Encyclopedia of Triangle CentersやCatalogue of Triangle Cubicsのような、三角形に対する図形の辞典のようなもので、円錐曲線がまとめられているものは2024年現在、存在しない。

 三線座標による式 
三線座標を用いて任意の円錐曲線は以下の式で表される。うち、外接円錐曲線と内接円錐曲線は以下の式で表すことができる。

 特別な三角形の円錐曲線 
以下に有名な円錐曲線を挙げる。基準となる三角形を 、頂点及び角を、その対辺をそれぞれ、とする。また、円錐曲線をあらわす三線座標の変数をとする。

 三角形の円 
+有名な三角形の円No.名称定義等式図1外接円頂点3つを通る円サムネイル|の外接円2内接円3辺に接する内側の円サムネイル|の内接円3傍接円辺の一つとは辺の内部で接し、他2辺とは延長線上で接する円右|サムネイル|内接円と傍接円4九点円辺の中点、頂垂線の足、垂心と頂点の中点などを通る円サムネイル|九点円5第一ルモワーヌ円ルモワーヌ点を通り、各辺に平行な線と、他2辺の交点を通る円サムネイル|第一ルモワーヌ円

 三角形の楕円 
+有名な三角形の楕円No.名称定義等式図1シュタイナー外接楕円の頂点を通り、重心を中心に持つ楕円サムネイル|のシュタイナー楕円2シュタイナーの内接楕円各辺と接し、重心を中心にもつ楕円サムネイル|のシュタイナーの内接楕円

 三角形の双曲線 
+三角形の双曲線No.名称定義等式図形1キーペルト双曲線3つの相似な二等辺三角形, , , を三角形の同じ側に作ったときが交わる点の軌跡サムネイル|のキーペルト双曲線。垂心と重心、頂点を通る。.2ジェラベク双曲線三角形の頂点、垂心、外心を通る双曲線サムネイル|のジェラベク双曲線3フォイエルバッハ双曲線三角形の頂点、垂心、内心を通る円サムネイル|のフォイエルバッハ双曲線

 三角形の放物線 
+有名な三角形の放物線No.名称定義等式図1アルツト放物線でと接する放物線（他2組についても同様）サムネイル|のアーツ放物線2キーペルト放物線3つの相似な二等辺三角形, , を同じ側に作ったとき、と の配景の軸が成す包絡線サムネイル| のキーペルト放物線。の包絡線である。

 三角形の円錐曲線の族 

 ホフスタッター楕円 
サムネイル|のホフスタッター楕円
ホフスタッター楕円（Hofstadter ellipses）はある媒介変数によってあらわされる楕円の集合である。ただし  は媒介変数でである。  と  が表す楕円は等しい。また のとき内接楕円となり とすると外接楕円となる。

 トムソン円錐曲線とダルブー円錐曲線 
トムソン円錐曲線（Thomson Conics）は、各辺との接点を通る、各辺の法線が共点である内接円錐曲線の集合である。ダルブ―円錐曲線（Darboux Conics）は頂点での円錐曲線の法線が共点である外接円錐曲線である。双方の共点は、ダルブ―三次曲線上にある。

 平行線との交点により構成される円錐曲線 
サムネイル|平行線によって構築される円錐曲線と点について、を通るに平行な線と、他2辺との交点をそれぞれとする。この6点は同一円錐曲線上にある。特にが類似重心であるとき円となる。の三線座標をとすると、6点を通る円錐曲線は以下の式で表される。

 九点円錐曲線 
サムネイル|九点円錐曲線

と点について、の中点と、、、の交点の計9点を通る円錐曲線を九点円錐曲線（Nine-point conic）という。が垂心のとき円（九点円）、重心のとき内接楕円（シュタイナーの内接楕円）となる。

 イフ円錐曲線 
サムネイル|イフ円錐曲線
媒介辺数 を用いて、で表される円錐曲線をイフ円錐曲線（Yff conics）という 。任意の点によってはで表される。特に放物線（イフ放物線、Yff parabola）の時はである。

 または のとき楕円、 のとき双曲線となる。 のときは、座標平面上には表れない。

 ラビノヴィッツ円錐曲線 
サムネイル|ラビノヴィッチ円錐曲線
と点について、同じ向きにで、を満たすように点をとると、その6点は同一円錐曲線上にある。これをラビノヴィッツ円錐曲線（Rabinowitz Conics）と言う。

 関連 

 三角形の中心
 Central line

 三角形の三次曲線
 近代三角形幾何学

 出典 

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