三線極線

ユークリッド幾何学において、三線極線（さんせんきょくせん、英:trilinear polar）とは三角形と点について一意的に決まる直線のひとつである。1865年、フランスの数学者ポンスレ (1788–1867)によって提言された。

 定義 
右|サムネイル|338x338ピクセル|の三線極線
 と点のチェバ三角形の配景の軸をの三線極線と言う。

つまり との交点を、それぞれ直線の組の交点をとすると、デザルグの定理よりは共線である。このとき直線をの三線極線という。

にたいして直線が三線極線となるような、点をの三線極点（trilinear pole）または三線極と言う。

三線座標でを とするとの三線極線は以下の等式で表される。



 三線極点 
右|サムネイル|377x377ピクセル|直線の三線極
との交点をそれぞれ、直線の組の交点をそれぞれとする。 と は配景の関係にあり、その配景の中心はの三線極点となる。

 三線極線の例 
以下に有名な三線極線を挙げる。

 重心の三線極線、無限遠直線
 類似重心の三線極線、ルモワーヌ軸
 垂心の三線極線、垂軸
 三角形の頂点に関しては、三線極線は定義されない

 三線極点の束 
サムネイル|338x338ピクセル|定点を通る直線の三線極の軌跡は外接円錐曲線となる。
三線座標でを 、を とする。の三線極線は以下の式で表される。



この直線がを通る場合、以下のように書くことができる。



逆に、この式を満たすの軌跡は以下の式で表すことができる。



この式が表す曲線は外接円錐曲線となる。 

と、外接円錐曲線に対する極三角形はを中心として配景的である。 例えば、外接円の極三角形は外接三角形で、外接円上の点に対する三線極線は類似重心を通る。

 関連 

 Central lines
 三角形の中心
 極と極線
 直極点

 出典 

 外部リンク 

 Geometrikon page : 三線極線
 Geometrikon page : 直線の等長共役

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