中心線 (幾何学)

幾何学において, （）とは三角形に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、三線座標によってあらわすことができる。中心線は三角形の中心とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年のの論文でまとめられた。

 定義 
 に対する三線座標を用いて、平面上の直線は以下の様に書ける。

ここで三線座標

は三角形の中心である。

 三線極線 
三角形の中心と中心線の幾何的な結び付けの一つに三線極線（trilinear polars）と等角共役がある。

三線座標で とし

の表す直線はの三線極線と呼ばれる。

の表す点はの等角共役点と呼ばれる。

したがって、次の式で与えられる中心線は点の等角共役点の三線極線である。

 中心線の作図 
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と点について、中心線は以下の様に定義される。

 をの等角共役点とする。は直線  をの角の二等分線で鏡映した線(等角共役線)である。
 と点に対するチェバ線との交点でチェバ三角形を作る。
 とはを中心とし配景なのでデザルグの定理が成り立つ。
 この配景の軸をの三線極線、の中心線と言う。

 著名な中心線 
クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」における点に対する中心線はと表記される。
サムネイル|400x400ピクセル|  とその傍心三角形の配景の軸、反垂軸

 内心の中心線:反垂軸 
内心  (または )の中心線は、反垂軸（Antiorthic axis）と呼ばれ、以下の式で表される。

 の内心の等角共役点は内心自身である。したがって、とその内心三角形（incentral triangle、内心のチェバ三角形）の配景の軸は反垂軸である。
 反垂軸は と傍心三角形の配景の軸である。
 の傍接円のの辺でない共通接線の成す三角形は外接線三角形（extangents triangle）と呼ばれる。 と外接線三角形の配景の軸は反垂軸である。

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 重心の中心線:ルモワーヌ軸 
の重心（または）の三線座標は以下の様に与えられる。

重心の中心線は以下の式で表される。

この直線はルモワーヌ軸、ルモワーヌ線（Lemoine axis, Lemoine line）と呼ばれる。
 の等角共役点である類似重心（または）の三線座標はである。ルモワーヌ軸は類似重心の三線極線である。
 の頂点の外接円に対する接線の成す三角形を接線三角形という。  と外接三角形の配景の軸はルモワーヌ軸である。

 外心の中心線:垂軸 
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外心（または）の三線座標は以下の様に与えられる。

外心の中心線は以下の式で表される。

この直線を垂軸（Orthic axis）という。
 外心の等角共役点は垂心（または）の三線座標はである。垂心の三線極線は垂軸で、これはオイラー線と垂直に交わる。と垂足三角形の配景の軸は垂軸である。

 垂心の中心線 
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垂心 （または）の三線座標は以下の様に与えられる。

垂心の中心線は以下の式で表される。

 外心の三線極線は垂心の中心線である。

 九点円の中心の中心線 
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九点円の中心（または）の三線座標は以下の式で与えられる。

の中心線は以下の式で表される。

 の等角共役点はコスニタ点である。したがってコスニタ点の三線極線はの中心線である。

 類似重心の中心線: 無限遠直線 
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類似重心 （または ）の三線座標は以下の式で与えられる。

類似重心の中心線は以下の式で表される。

 この直線はの無限遠直線（line at infinity）と呼ばれる。
 類似重心の等角共役点は重心である。したがって重心の三線極線はの無限遠線である。 とその中点三角形の配景の軸は無限遠線である。

 その他の有名な中心線 

 オイラー線 
のオイラー線とは重心、外心、垂心、九円点の中心などを通る直線である。オイラー線の三線座標は以下の式で与えられる。

これはの中心線である。

 ナーゲル線 
のナーゲル線（Nagel line）とは内心、重心、シュピーカー中心、ナーゲル点などを通る直線である。ナーゲル線の三線座標は以下の式で与えられる。

これはの中心線である。

 ブロカール軸 
のブロカール軸（Brocard axis）とは外心と類似重心、ブロカール円の中心などを通る直線である。ブロカール軸の三線座標は以下の式で与えられる。

これはの中心線である。

 出典 

 関連項目 
 三角形の中心
 三線極線

 三角形の二次曲線
 三角形の三次曲線
 近代三角形幾何学

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