ホフスタッター点

ユークリッド幾何学において、 ホフスタッター点（ほふすたったーてん、Hofstadter points）とは三角形の中心の集合の一つである。そのうち二つはホフスタッター1点、ホフスタッター0点と呼ばれる有名点で、クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではそれぞれX(359)、X(360)として登録されている。X(360)は、1992年、ダグラス・ホフスタッターによって発見された。

 ホフスタッター三角形 
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 と実数がある。

点のある方向へ、線分を点を中心に回転した線を、点を中心に回転した点をとし、その二直線の交点をとする。同様に、も定義する。 の成す三角形はのホフスタッター三角形（またはホフスタッター三角形）と呼ばれる。

 特別な場合 

 ホフスタッター 1/3三角形は、第一モーリーの三角形と呼ばれる正三角形である。
 ホフスタッター 1/2三角形は、単に内心となる。
 ホフスタッター 2/3三角形は、第一モーリーの付属三角形である。

 三線座標 

ホフスタッター三角形の各頂点の三線座標は以下の様に与えられる。

 ホフスタッター点 
右|サムネイル|432x432ピクセル|ホフスタッター点のアニメーション。  はホフスタッター0点で  はホフスタッター1点. 赤い線はの範囲のホフスタッター点の軌跡を表す。この軌跡は内心 を通る。
実数についてに対するホフスタッター三角形の頂点をとする。このときは共点で、その点をのホフスタッター点と言う。  

 特別な場合 

 ホフスタッター1/2点は内心
 ホフスタッター2点は外心
 ホフスタッター-1点は垂心
 ホフスタッター1/3点は第一モーリー・テイラー・マール心X357
 ホフスタッター2/3点は第二モーリー・テイラー・マール心X358

 ホフスタッター点の三線座標 
ホフスタッター点の三線座標は以下の様に与えられる。ホフスタッター点とホフスタッター点は等角共役である。が0,1,2でない整数の場合、ホフスタッター点とホフスタッター点は外接円に対する反転の関係にある。

 ホフスタッター0点とホフスタッター1点 
が0または1であるとき、単に上の式にそれを代入しても三線座標を得ることはできない。

ホフスタッター0点はホフスタッター点を0に極限まで近づけたときに得られる三線座標の値が表す点として定義される。より

ホフスタッター1点も同様にホフスタッター点を1に極限まで近づけたときに得られる三線座標の値が表す点として定義される。より

 脚注 

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