キーペルト円錐曲線

幾何学において、キーペルト円錐曲線（キーペルトえんすいきょくせん）は、三角形に関する2つの円錐曲線の総称である。一つはキーペルト双曲線（）、もう一つはキーペルト放物線（）である。

 三角形に対して3つの二等辺三角形を三角形,  , を同じ向きに相似になるよう作る。このとき三角形  と は配景的で配景の中心の軌跡をキーペルト双曲線、配景の軸の包絡線をキーペルト放物線と言う。

キーペルト双曲線は3頂点、重心、垂心を通る円錐曲線、キーペルト放物線はオイラー線とX(110)をそれぞれ準線、焦点とする放物線としても定義できる。R. H. Eddy と R. Fritscは論文で、キーペルト円錐曲線について以下の様に言及している。

 "If a visitor from Mars desired to learn the geometry of the triangle but could stay in the earth's relatively dense atmosphere only long enough for a single lesson, earthling mathematicians would, no doubt, be hard-pressed to meet this request. In this paper, we believe that we have an optimum solution to the problem. The Kiepert conics ..."

 キーペルト双曲線 
詳しくは「キーペルト双曲線」を参照

キーペルト双曲線は、1869年ルードヴィヒ・キーペルトが、1868年のエーミル・ルモワーヌの "三角形の辺に正三角形を外接させたときの頂点がつくる三角形" という問題の解法として示した双曲線である。

を各辺の長さ を角の大きさとする。

 座標 
キーペルト双曲線は重心座標  で以下のように表される。



 中心と漸近線 
 キーペルト双曲線は X(115)でその重心座標は以下の式で与えられる。

 .

 キーペルト双曲線の漸近線はブロカール軸のシムソン線である。
 キーペルト双曲線は直角双曲線で、その離心率はである。

 性質 

 X(115)は九点円上にある。また第一、第二フェルマー点の中点である。
 ブロカール軸上の点の等角共役の軌跡である。
 正三角形でない三角形と点について、をの三線極線とする。がオイラー線に垂直であるようなの軌跡はキーペルト双曲線である。

 キーペルト放物線 
キーペルト放物線は1888年、ドイツの数学教師アウグスト・アルツトが"school program"の中で研究した放物線である。

 キーペルト放物線は重心座標  で以下のように表される。

  ただし.

 キーペルト放物線の焦点X(110)の重心座標は以下の式で与えられる。



 X(110)はパリー円、外接円上にある。
 オイラー線上の点PをBC,CA,ABで鏡映した点をそれぞれA',B',C'とするとA'BC,AB'C,ABC'の外接円はX(110)で交わる。
 キーペルト放物線の準線はオイラー線である。
 キーペルト放物線は、ルモワーヌ軸、無限遠線に接する。
 キーペルト放物線と各辺の接点はシュタイナー点のチェバ三角形の頂点である。
 外接三角形のフォイエルバッハ点はX(110)である。つまり、シュタムラー双曲線の中心である。

 図 

 関連項目 
 接円錐曲線
 三角形の中心
 三角形の二次曲線

 出典 

 外部リンク 


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