調和共役 (幾何学)

射影幾何学において、調和共役（ちょうわきょうやく、）は、実射影直線における以下の点の関係のことである。

 同一直線上にある三点 についてをその直線上にない点、をそれぞれあるを通る直線との交点とする。またとの交点をとする。との交点をの,に対する調和共役点というR. L. Goodstein & E. J. F. Primrose (1953) Axiomatic Projective Geometry, University College Leicester (publisher). This text follows synthetic geometry. Harmonic construction on page 11　。

は複比の不変性やデザルグの定理により、点や直線の取り方に依らない。

またこのときの複比については が成り立つ。

平面幾何学では{P,Q}調和共役（{P,Q}-harmonic conjugate）と書かれることもある。

 複比の基準 
は調和点列（Harmonic range）または調和列点と呼ばれている。に対するの内分比との外分比は常に等しい。つまり以下が成り立つ。線分比について符号付き距離を導入すると複比は以下の式で表される。



調和点列の複比は常に-1である。



複比を取る4点の選びは6通りあり、選び方によって複比の値は変わってしまう。しかし、調和点列の場合、のいずれかとなる。これらは調和比（harmonic cross-ratio）と呼ばれる。

実数直線状の点について点の分割比（division ratio）は以下の式で表されるDirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, page 7。ならば、は負の値を取る。逆にの外であれば正の値を取る。複比は分割比を用いて と書くことができる。ならば、とは,に対する調和共役である。

調和共役の関係にある2つの点との距離が、調和点列の分比である点の軌跡はアポロニウスの円と呼ばれる。

 中点の調和共役 
右|サムネイル|181x181ピクセル|中点と無限遠点
との中点に対しての分割比は-1である。複比の基準によれば、中点の調和共役点はを満たさなければならない。しかし無限の概念を使わねば、を定義することができない。中点の調和共役点は実数直線上の無限遠点として定義される。

 完全四角形 
調和共役とは深い関係にある。完全四角形の調和共役による表現はH. S. M.コクセターによって提唱された。

 どの3点も共線でない4点を結んでできる6つの直線のからできる図形を完全四角形または完全四辺形というH. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, page 29, University of Toronto Press　。

最初に調和共役を用いたカール・フォン・シュタウトは著作「」の中で、調和共役を初等幾何学の概念から射影幾何学の概念へ発展させたB.L. Laptev & B.A. Rozenfel'd (1996) Mathematics of the 19th Century: Geometry, page 41, Birkhäuser Verlag 　。

代替文=parallelogram with diagonals|右|サムネイル|, , , , 
ジョン・ウェスレー・ヤングによれば、完全四角形によって中点を定義することができる。

 2直線  についてそれぞれ平行な直線, を描く。  の交点は無限遠点、の交点無限遠点である。完全四角形 の対角線は直線と、上の無限遠点である。平行四辺形の対角線の交点は対角線を二等分することより、 の調和共役点はの中点であるJohn Wesley Young (1930) Projective Geometry,  page 85, Mathematical Association of America, Chicago: Open Court Publishing　。

 円錐曲線 

円錐曲線と上にないについて、を通る直線との交点をそれぞれ,とする。直線が動くとき、 の,に対する調和共役点は、ある直線上を動く。この時を極（pole）、調和共役点の動く直線をの極線（polar line）と言う。

 反転幾何学 

特に円の場合、調和共役は円による反転と等しい。これはSmogorzhevskyの定理の一つであるA.S. Smogorzhevsky (1982) Lobachevskian Geometry, Mir Publishers, Moscow 。

 円,  が垂直に交わっているとき,の中心を結ぶ直線との2つの交点はについて、反転の関係にある。また、の中心,と直線の側の交点に対して,の中心を結ぶ直線との2つ交点は調和共役の関係にある。

 円錐曲線とヨアヒムスタールの方程式 
を以下の式で表される楕円とする。



楕円の外にある点  について、を通る直線が楕円と,で交わっている。   の座標を とする。上の点を、がを:に内分する、楕円の内部に位置する点とすると、以下が成り立つ。

 .

これらの方程式を𝜉と𝜂について解く代わりに、以下の式が解であることを代入によって調べることができる。



が上にあることは以下の式から確かめられる。




この等式はのヨアヒムスタールの方程式（Joachimsthal's Equation）と呼ばれる。この方程式の2つの根は,に対する,の位置を決定する。





上の等式の両辺がと等しいならば



このとき に対する の内分比との外分比は等しい。すなわちこれは調和比である。

この等式は を極とする極線を表す。

 出典 

 参考文献 
 Juan Carlos Alverez (2000) Projective Geometry, see Chapter 2: The Real Projective Plane, section 3: Harmonic quadruples and von Staudt's theorem.
 Robert Lachlan (1893) An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, link from Cornell University Historical Math Monographs.
 Bertrand Russell (1903) Principles of Mathematics, page 384.

 外部リンク 




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