シュタイナー点

ユークリッド幾何学において、シュタイナー点（シュタイナーてん、）は三角形の中心の一つである。の「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(99)として登録されている。1826年、スイスの数学者ヤコブ・シュタイナーによって言及され、1886年、ヨーゼフ・ノイベルグによって名付けられた。なお、頂点との距離の和を最小にする点をシュタイナー点と言う場合もある（を参照）。

 定義 
サムネイル|300x300ピクセル|シュタイナー点の作図法
シュタイナー点で交わる線:
シュタイナー点の定義は以下のとおりである（これはシュタイナー自身が採用した定義ではない）。

 三角形 の外心を、類似重心を とする。 を直径とする円（ブロカール円）との垂直二等分線のでない方の交点をとする。,についても同様に定める（この三角形はブロカール三角形と呼ばれる）。をを通り に平行な直線とする。,も同様に定義する。このとき,,は共点で、その点を三角形のシュタイナー点と言う。

サムネイル|300x300ピクセル「Encyclopedia of Triangle Centers」で採用された定義は以下の通りである。
 三角形  について,を上記のように定める。を、 をで鏡映した点とする。,も同様に定義する。との交点を 、と の交点を、との交点をとすると、直線 ,  ,  は共点であり、その点をシュタイナー点という。

 三線座標 
シュタイナー点の三線座標は以下の様に与えられる。

 性質 

 シュタイナー楕円と外接円の第四交点である。
 シュタイナー点のチェバ三角形はシュタイナー三角形（Steiner triangle）と呼ばれ、キーペルト放物線のPolar triangleである。また、シュタイナー点はキーペルト放物線のブリアンション点である。
 カナダの数学者ロス・ホンスバーガーは、三角形のシュタイナー点は、各頂点にその頂点の外角の大きさに等しい質量をつり下げて得られる系の重心であると述べた。しかしこれは誤りで、実際は、シュタイナーの曲率重心X(1115) であり、その三線座標は以下の式で与えられる。. 
 シュタイナー点に対する三角形のシムソン線は外心と類似重心を通る直線（ブロカール軸）に平行である。

 タリ―点 

サムネイル|300x300ピクセル|  を通るの垂線、を通るの垂線、を通るの垂線はタリ―点で交わる。
シュタイナー点と似た性質を持つ点がタリ―点である。三角形の外接円の、シュタイナー点の対蹠点をタリ―点と言う。「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(98)として登録されている。タリ―点の三線座標は以下の式で与えられる。



 ここで  は ブロカール角で
  である。

シュタイナー点のように、タリ―点は以下の様に定義される。

 三角形 に対し三角形 をブロカール三角形 とする。をに垂直なを通る直線、をに垂直なを通る直線、をに垂直なを通る直線とする。このとき、, ,は共点であり、その点を三角形のタリ―点という。

 出典 

 関連項目 

 三角形の中心
 タリー点

Category:数学に関する記事
Category:数学のエポニム
Category:三角形の中心