カルタン幾何学

カルタン幾何学（かるたんきかがく）（）とは、微分幾何学における概念で、多様体の各点における「一次近似」がクラインの幾何学とみなせるものの事である。カルタンの幾何学はクラインの幾何学とリーマン幾何学を包括する幾何学概念として提案された。

以下、本項では特に断りがない限り、単に多様体、関数、バンドル等といった場合は級のものを考える。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考える。
 概要 

カルタン幾何学の背景にあるのはクラインのエルランゲン・プログラムである。エルランゲン・プログラムは、当時「幾何学」、例えばユークリッド幾何学、双曲幾何学、球面幾何学、射影幾何学等が乱立していた状況に対し、それらを統一する手法を提案したものであり、今日の言葉で言えば、これらはいずれも等質空間の概念を使う事で統一的に記述できる事を示した。

すなわちクラインの意味での幾何学（以下単にクライン幾何学と呼ぶ）とは、リー群とその閉部分リー群の組を等質空間上に「幾何学を保つ」変換群が作用しており、上の一点の等方部分群がであるとみなしたものである。

しかしエルランゲン・プログラムには、当時すでに知られていたリーマン幾何学が記述できない、という限界があった。実際リーマン多様体は等質空間にはなっていないので、エルランゲン・プログラムでは記述できない。

カルタンの意味での幾何学（以下単にカルタン幾何学と呼ぶ）は上記の事情を背景に、クラインの幾何学とリーマン幾何学を包含する形で定義された幾何学概念である#Sharpe p.61.：
+ユークリッド幾何学一般化　クラインの幾何学　→　　　　　↓一般化　　　↓一般化リーマン幾何学一般化カルタン幾何学　→　　

多様体自身にクライン幾何学の構造が入れば、すなわちであれば、の各点の接ベクトル空間は自然にと同型になる。ここで、はそれぞれ、のリー代数である。

そこでちょうどリーマン幾何学の「一次近似」である接ベクトル空間がユークリッド幾何学になっているように、カルタン幾何学では、多様体の「一次近似」である接ベクトル空間に、クライン幾何学の「一次近似」であるを対応させる。このとき、多様体には等質空間をモデル空間とするカルタンの幾何学の構造が入っている、という。

しかしあくまで「一次近似」がクラインの幾何学と等しいだけなので、実際にはカルタン幾何学はクライン幾何学とはズレる。このズレを図るのがの曲率である。

右|サムネイル|滑りとねじれのない転がし。多様体上の黒い線がに重なるように多様体を平面上で転がす
カルタン幾何学を導入するもう一つの動機が滑りとねじれのない転がしである。これは次元のリーマン多様体を次元平面上「滑ったり」、「捻れたり」する事なく「転がした」ときにできる軌跡に関する研究である。

この軌跡はユークリッド幾何学をモデルにするカルタン幾何学を使うことで定式化が可能であり、曲線の発展という。ユークリッド幾何学は次元平面上の幾何学であるので、次元平面上の軌跡になるが、一般のクライン幾何学をモデルとするカルタン幾何学の発展は、上の軌跡となる。

 定義の背後にある直観 
本節では#Erickson 4.1節を参考に、2次元ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学を直観的に説明する。を2次元ユークリッド空間とし、をの合同変換群とする。すなわちはとを使ってと書ける変換全体の集合である。はと同一視できる。

を2次元多様体とし、上に人が一人立っているとする。人が立っている場所をとし、人の前方向を軸、左方向を軸とすると、接ベクトル空間の基底が定義できる。はユークリッド空間をモデルにしているので、その人は自分の近傍をユークリッド空間だと思っている。

の正規直交基底全体の集合をとし、とすると、は自然に上の-主バンドルとみなせる。以上の議論から、の元は、上にいる人（とその向き）であるとみなせる厳密には、上の人と同一視できるのは、基底が右手系の場合だけで、左手系の場合はその人を"左右反転"する必要があるが、以後この問題は無視する。

上にいる人をと表すとき、その人が上の位置（＝）を変えずに向きだけを「無限小だけ」変えた場合、その向きの変化を表す速度ベクトルはの元とみなせるが、これは人の向きを変えた回転変換の微分なので、回転変換群の無限小変換群（＝に対応するリー代数）であるの元であるともみなせる。

すなわち、の元をの元と対応させる事ができる：


また人が上の位置から無限小だけ歩いた場合は、歩いたことによるの変化の速度ベクトルはの元とみなせるが、その人は自分がユークリッド空間を歩いているのだと理解しているので、速度ベクトルをの無限小変換群（＝のリー代数）であるの元であるとみなす。すなわちの元をと対応付けて考える。

結局、ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学とは、上の-主バンドルで、ファイバーごとの線形写像


を持ち、各に対し、のファイバーの接バンドルへのの制限が


を満たすもので「性質の良いもの」（後述）である。

 準備 
本節ではカルタン幾何学の定式化に必要となる用語を定義する。
 基本ベクトル場 
をリー群とし、をそのリー代数とし、さらにをが右から作用する多様体（例えば-主バンドルの全空間）とする。なお、が-主バンドルの全空間の場合にはは垂直部分空間の元である事が容易に示せる。

 随伴表現 
ここでは上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義はの取り方によらずwell-defninedである。

 モーレー・カルタン形式 
クライン幾何学の構造を調べる準備としてモーレー・カルタン形式を導入する。モーレー・カルタン形式は以下を満たす#Tu p.198.：ここでは上のリー括弧であり、-値1-形式、に対し、である。

上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式（）、もしくはリー群の構造方程式（）という。

 定義と基本概念 
定義
リー群とその閉部分リー群の組でが連結になるものをクライン幾何学、もしくは（カルタン幾何学のモデルになるので）モデル幾何学（）という#Erickson-2 p.3.#Sharpe p.151.。

をモデル幾何学とし、、をそれぞれ、のリー代数とする。

を-主バンドルのカルタン接続（）という。また紛れがなければの事をカルタン幾何学という。

3つの条件の直観的な意味を説明する。
 1つ目の条件は、とが同一視できる事を意味しており、前述した直観的説明のように、モデルがユークリッド幾何学であれば、にいる人は、自分の近傍がユークリッド空間であるとみなしているので、人の動きの速度ベクトルの集合が、無限小変換全体で記述可能である事を要請するのは自然である。
 ２つ目の条件は、各に対し、が同型写像の逆写像である事を要請している。はがに定める無限小変換なので、前述した直観的説明からこれは自然な要請である。なお、この２つ目の条件から特に直観的説明のところで登場した以下の要件が従う：

 ３つ目の条件は、前述した直観的説明からにいる人は自分の近傍がモデル幾何学に似ているとみなしているので、を右から乗じれば、の元はに移動してしまうので、左からもを乗じてに戻す随伴表現を作用させたものと等しくなる事を要請する。

なお、は同型なので、上定義できるカルタン幾何学には

という制約が課せられる事になる。

 主接続との関係 

カルタン接続の定義は主バンドルの接続（主接続）の接続形式の定義とよく似ているが、両者は似て非なる概念であり、-主バンドルの主接続の接続形式はのリー代数に値を取るが、カルタン接続はのリー代数に値を取っている。しかし、ををモデル幾何学とする多様体上のカルタン幾何学とするとき、-主バンドル上定義されたカルタン接続は、自然に

という-主バンドル上の-値1-形式

に拡張する事ができ#Kobayashi p. 128.、は-主バンドルの接続形式である。逆にを任意の-主バンドルとし、を上定義された接続形式とするとき、の-部分バンドルでであり、しかもであればのへの制限は上のカルタン接続になる#Sharpe p.365.。

なお、モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、上記のものとは別の形の関係性をカルタン接続と主接続は満たす。詳細は後述する。

 無限小クライン幾何学による定式化 
定義から分かるように、カルタン幾何学の定義は、、およびには依存しているが、には直接依存していない。これは、、およびは上のカルタン幾何学の局所的な構造を定めるのに対し、はクライン幾何学の大域的な構造を定めるものであるため、が不要である事による。

リー代数に対応するリー群は一意ではなくをの被覆空間とすると、とは同型なリー代数を持つ。、これが原因で大域的な構造を定めるはカルタン幾何学の定義に必須でないばかりか、一部の定理ではを（に対応する）別のリー群に取り替える必要が生じてしまう。

そこでに直接言及せず、を使ったカルタン幾何学の定式化も導入する。そのために以下の定義をする：

以下、特に断りがなければ、が効果的である事を仮定する。ここでが効果的であるとは、に含まれるのイデアルがのみである事を意味する。、を、に対応するリー群とすると、が効果的である事は、、とするとき、が離散群になる事と同値である#Sharpe p.157, 166.。

カルタン幾何学としてのクライン幾何学
本節ではカルタン幾何学の最も簡単な例として、クライン幾何学のカルタン幾何学としての構造を調べる。をクライン幾何学とし、とし、とする。ここではの単位元の同値類である。このとき

は自然に-主バンドルとみなせる。上のモーレー・カルタン形式がカルタン接続の定義を満たす事を示せるので、はをモデルとするカルタン幾何学になる。
 局所クライン幾何学とその上のカルタン幾何学 
リー群とその閉部分リー群の組を考える。の離散部分群で、へのからの作用のへの制限が効果的なものを考える（が効果的な事はである事と同値である）。このとき、による商集合を考える。が連結なとき、を局所クライン幾何学（）という#Sharpe pp.154, 207, 213.。

局所クライン幾何学上に以下のようにカルタン幾何学を定義できる。まずが効果的なのでとすると、商写像

には自然に-主バンドルの構造が入るが効果的でないと、の各ファイバーはと同型なものになってしまうため、-主バンドルにならない。。また上のモーレー・カルタン形式はその定義より左不変なので、商写像に対し

を満たす一意な-値1-形式をとする事で、にカルタン接続がwell-definedされ、上にをモデルとするカルタン幾何学が定義できる。

 カルタン幾何学の（局所）幾何学的同型 
２つのカルタン幾何学の間の（局所的および大域的な）同型概念を以下のように定義する：

 定数ベクトル場と普遍共変微分 
任意のに対しては同型写像であるので、はにより

という同一視ができ、はベクトルバンドルとして自明である。

よって特にを各に対しての逆写像でに移すことで、上のベクトル場を作る事ができる。

定数ベクトル場を用いると、以下の「普遍共変微分」を定義できる：
モデル幾何学が「簡約可能」という条件を満たす場合は、普遍共変微分は通常の共変微分を導く。これについては後述。

 接バンドル 
本節ではカルタン幾何学が定義された多様体の接バンドルの構造を調べる。そのために以下の定義をする。

ををモデル幾何学とする上のカルタン幾何学とする。はのへの作用を定義するが、のへの制限は上の随伴表現である（のではを保つ）ことから、はのへの作用を誘導する。または-主バンドルに作用していたので、これの作用により、ベクトルバンドル

を定義できる。実はこのベクトルバンドルは接バンドルと同型である：

具体的には写像

はwell-definedであり、ベクトルバンドルとしての同型写像である。ここでは同型写像の逆写像でをに移したものである。

 曲率 
 定義 
クライン幾何学をカルタン幾何学とみなした場合、カルタン接続はモーレー・カルタン形式と等しいので、カルタン接続は構造方程式

を満たすが、一般のカルタン幾何学は構造方程式を満たすとは限らない。そこで以下の量を考える：

は（局所）クライン幾何学からのズレを表す量であると解釈でき、明らかにクライン幾何学や局所クライン幾何学の曲率は恒等的に0である。

曲率は以下を満たす：

点のファイバーにはが単純推移的に作用するので、をfixして、によりとを同一視すると、上にモーレー・カルタン形式が定義できる。しかもはの取り方に依存しないことも容易に証明できる。実は曲率のへの制限はに一致する。なお、実は、の少なくとも一方がに属していれば、である事が知られている。よって特に次が成立する：
このは次節で導入する曲率関数を用いる事で具体的に記述できる。
曲率関数
が同型写像であったことから、写像の合成

を定義できる。またすでに述べたように、の少なくとも一方がに属していれば、である事が知られている事から、この写像は上の写像をwell-definedに誘導する。

曲率が上の-値2-形式を誘導する事を前に見た。このは曲率関数を使って以下のように書き表す事ができる。



 捩率 
さらに以下の定義をする：

モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、この捩率はアフィン接続の捩率テンソルに一致する。詳細は後述。

 標準形式 
本節の目標は、商写像

とカルタン接続の合成の幾何学的意味を説明する事である。

まず、は以下のように特徴づける事ができる：

上記の特徴付けから、の幾何学的意味は同型に関係しているので、この同型の幾何学的意味を見る。にベクトル空間としての基底をfixし、同型

によるの像をとすると、はの基底をなす。

よって特に、とすると、は上の（＝各点のファイバーがの基底からなるバンドル）になる#Sharpe p.191.。

一般には対応

は全単射ではないが、の定義から、カルタン幾何学が下記の意味で「一階」であれば、この写像は全単射になる：

以上の準備のもと、を幾何学的に意味付ける：

上記のような、にとなるを対応させる-値1-形式をフレームバンドル上の標準形式（）という#Kobayashi-Nomizu-1 p.118.。上述の定理はカルタン幾何学が一階であればは標準形式として意味づけられる事を保証する。

 簡約可能なモデル幾何学に対するカルタン幾何学 

本節ではモデル幾何学が「簡約可能」という性質を満たす場合にが対するカルタン幾何学の性質を見る。具体的にはモデル幾何学がユークリッド幾何学やアフィン幾何学の場合には簡約可能になる。
 定義 
まず簡約可能性を定義する：

なお、の取り方は一意とは限らないので注意されたい。

が2つのリー群の半直積で書けている場合は、、に対応するモデル幾何学は、のリー代数をとして選ぶ事で簡約可能である。

よって特にユークリッド幾何学の等長変換群は直交群と平行移動のなす群の半直積で書けるので対応するモデル幾何学は簡約可能である。アフィン幾何学も同様である。

 カルタン接続の分解 
ををモデル幾何学にする多様体上のカルタン幾何学とする。モデル幾何学が、と簡約可能なとき、の元はの元との元の和で一意に表現できるので、カルタン接続も

のように「部分」と「部分」の和で書ける。この分解を用いると、カルタン接続と主接続の接続形式との関係性を以下のように記述できる：

したがって、簡約可能なモデル幾何学の場合にはカルタン接続から主接続の接続形式が得られることになる。

一方、は

によりをと同一視すると、はと同一視でき、前述のように（カルタン幾何学が一階であれば）は標準形式であるとみなせる。

したがって分解はカルタン接続を接続形式と標準形式に分解するものであるが、実は逆に接続形式と標準形式からカルタン接続を復元できる：

前述した、カルタン接続から接続形式と標準形式とに分解する定理とは丁度「逆写像」の関係にあり、簡約可能で一階の場合はカルタン接続は接続形式と標準形式との組と1対1に対応する。

 Koszul接続 
モデル幾何学が簡約可能である場合、上述したようにカルタン接続から定義されるは-主バンドルの接続形式になる。ベクトル空間上のの線形表現があれば、ベクトルバンドルとしての接続（Koszul接続）の一般論から、接続形式は上のベクトルバンドルにKoszul接続を定める#Sharpe p.199.。

よって特に、接バンドルは

と書けたので、は上のKoszul接続、すなわちアフィン接続を定める。

このことから分かるようにモデル幾何学がアフィン幾何学でなくても、簡約可能でありさえすればアフィン接続を誘導する。

しかし特にモデル幾何学がアフィン幾何学であれば、アフィン変換群の上の随伴表現は上のアフィン変換になる事を示す事ができ、この意味においてはアフィン空間のバンドルとなる。後述するように、この事実が例えばモデルがユークリッド幾何学の場合には重要になる。

 普遍共変微分との関係 
をベクトル空間上のの線形表現とし、が上のベクトルバンドルに定めるKoszul接続をとする。

の切断とに対し、となるが一意に存在し、はからへの関数とみなせる。

上記のようにはKoszul接続と関係するが、それに対しの方は自明なものになってしまう：

 曲率の分解 
本節ではモデル幾何学がと簡約可能でしかも

となっている場合、すなわちとしての部分リー代数になっているものを取れる場合に対し、曲率の「部分」と「部分」を具体的に書き表す。

先に進む前にこの条件を満たすモデル幾何学の具体例を述べる。例えばに対応するリー群が2つのリー群の半直積で書けている場合に、としてのリー代数を取れば上述の条件を満たす。特に、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合は、アフィン変換群は線形変換と平行移動のなす群の半直積で書け、しかもをのリー代数とすると、

というより強い条件が成立する。モデル幾何学がユークリッド幾何学の場合も同様である。

曲率はに値を取るので、曲率を


と「部分」と「部分」に分解する。商写像が同型になることから、という同一視をすると、


とがカルタン幾何学の捩率に対応する事が分かる。

とくにアフィン幾何学をモデルとするカルタン幾何学の場合、はアフィン変換群の並進部分であるに対応するリー代数であるので、アフィン幾何学をモデルとする場合、捩率とは並進に関する曲率であるとみなせる。

 構造方程式 
曲率の定義から、


が成立するので、仮定を使うと以下が成立する事が分かる：

が接続形式に対応している事から、上記の定理の１つ目の式は、接続形式が定義する主接続に対する第二構造方程式である事がわかる。よって特に、は主接続の曲率形式である事がわかる。したがって

一方2本目の式においてはに一致し、標準形式として解釈できるので、モデル幾何学がアフィン幾何学である場合のようにであれば、2本目の式は



となり、第一構造方程式に対応している事が分かる。よってこの場合の捩率は接続形式がによって定まる主接続の捩率テンソルに一致する。

 ビアンキ恒等式 
前述したカルタン接続のビアンキ恒等式


を「部分」と「部分」に分解することで以下の定理が結論づけられる：

が接続形式に対応している事から、上記の定理の1本目の式は接続形式が定義する主接続に関する第二ビアンキ恒等式である。

一方、2本目の式は、構造方程式の場合と同様、モデル幾何学がアフィン幾何学のようにを満たせば、



と第一ビアンキ恒等式に一致する。

 曲線の発展 

 上の発展 
ををモデルとする上のカルタン幾何学とし、を区間上定義された上の曲線とするを上の点とすると、にはカルタン接続によりの元が対応している。次の事実が知られている：
モーレー・カルタン形式は、上の接ベクトルをの作用によりに移す変換であったので、上記の定理はがの作用による移動を除いてに一致する事を意味する。

上記の定理の直観的な意味を説明する。クライン幾何学においては等質空間における同型写像のなす群であったので、そのリー代数の元は上の「無限小同型変換」、すなわち同型写像の微分とみなせた。

カルタン幾何学の付与された多様体とは「一次近似」がクライン幾何学に見える空間であり、の元はカルタン接続によりの元と対応しており、はにおける「無限小同型変換」を意味していた。

上記の定理は曲線に沿って「無限小同型変換」であるの元を束ねていくとその「積分曲線」として同型変換であるの元があらわれる事を意味している。

もしがそのものであれば、この同型変換は実際に上の同型変換になる事を後述する。

 上の発展 

をからへの商写像とすると、上記の補題から次が成立する：

 ホロノミー 

が連結であるとし、とを満たすをfixし、をを基点とする上の閉曲線とする。を満たす上の閉曲線でを基点とするものとすると、前述した補題から、の単位元からの発展の終点はの取り方によらず等しい。そこで以下のような定義をする：

ホロノミー群は基点やそのリフトを取り替えても、共役を除いて一意に定義できる。実際、基点のリフトを別の点, where に取り替えると、ホロノミーはを満たす。また基点を別の基点に変えると、を満たすが存在する。

の元のうち、0-ホモトープな閉曲線全体はの正規部分群になる。を制限ホロノミー群（）という。

写像は基本群からの群準同型写像

をwell-definedに誘導する。上記の写像をカルタン幾何学のモノドロミー表現（）という。

 一般化円と測地線 

特にクライン幾何学に対し、上の一般化円は、の元の1-パラメーター変換群の軌跡のへの射影である。よって「一般化円」という名称であるが、ユークリッド幾何学での「一般化円」は螺旋になる事もあるので注意されたいユークリッド空間の合同変換群のリー代数から、を選び、の積分曲線のへの射影を考えると螺旋になる。

がと簡約可能なとき、に属する元の上の1-パラメーター変換群の軌跡のへの射影を直線（）という。

この事実を使うと、一般化円と測地線は以下のように言い換える事ができる：
前述したように、が簡約可能なときは、上にアフィン接続が定義できるので、となる曲線を測地線として定義する事もできる。この２つの測地線の定義は同値である。

 クライン幾何学との関係 

カルタン幾何学はクライン幾何学をモデルとしており、しかも（局所）クライン幾何学はカルタン幾何学として平坦（）、すなわち曲率が恒等的に0である事を前述した。

本章はこの逆向きについて述べる。すなわち平坦なカルタン幾何学がいかなる条件を満たせば局所クライン幾何学と等しいかを特定するのが本章の目標である。

ダルブー導関数の一般論から、以下が従う：

よって特に、の点の十分小さい開近傍を取り、上にを制限したは（のへのリフトを考えることで）局所幾何学的同型を持つことが分かる#Sharpe p.212.。

このように被覆空間を考えたり、あるいは各点の開近傍に制限したりすれば、平坦なカルタン幾何学がクライン幾何学に局所幾何学的同型である事を示す事ができる。しかしこれだけでは自身が（局所）クライン幾何学と幾何学的同型になるか否かはわからない。

そこで本章ではまず自身が局所クライン幾何学と幾何学的同型になる条件を定式化し、次にこれらの条件を満たす平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と幾何学同型になる事を見る。
 条件 
本節では平坦なカルタン幾何学が局所クライン幾何学と同型であるための条件である「幾何学的向き付け可能性」と「完備性」を定義する。
 幾何学的向き 
幾何学的向きを定義するため、まず記号を導入する。を多様体とし、ををモデル幾何学とする上のカルタン幾何学とし、をに対応するリー群の一つとすると、その随伴表現はリー群間の写像なのですでに指摘したように、モデル幾何学 のが に対応するリー群の随伴表現である事が暗に仮定されている。、対応するリー代数間の写像


を誘導する。はリー代数に対応するリー群の取り方によらずwell-definedであり、


が成立する#Sharpe p.111.。とカルタン接続の合成


を考え、以下の定義をする：

の定義より、曲線がのファイバー内にあれば、その発展の終点は必ずになる。よってを単位元を含むの連結成分とすると

が成立する。

しかし上記の定義は曲線がファイバー内に収まる事は仮定しておらず、よって一般にはの方がより大きいこともある。なお、が連結であれば、はの正規部分群になる事が知られている。

次が成立する：

 完備性 
を多様体とし、ををモデル幾何学とする上のカルタン幾何学とする。

 定式化 
完備かつ平坦で幾何学的に向き付可能なカルタン幾何学は局所クライン幾何学と幾何学的同型になる：なお、すでに見たように局所クライン幾何学は平坦かつ完備であり、しかもが連結であれば局所クライン幾何学はカルタン幾何学として向き付け可能であるので、連結なを考える場合は、これ以上条件を減らす事はできない。

なお、を固定すると、上述の定理が存在を保証するは共役を除いて一意に定まる：

 ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学 
本章ではモデル幾何学がユークリッド幾何学の場合を考える。すなわち、モデルとするクライン幾何学がユークリッド空間上の等長変換群と直交群の組である場合の、多様体上のカルタン幾何学を考える。
 標準的な計量 
本節では以下の定理を示す：

これを示すため、の性質を調べる。は随伴表現によりに作用するが、におけるは原点を中心とする回転として、は平行移動としてに作用する事を簡単な計算により確かめられる。

よって上にはにより不変な内積が定数倍を除いて一意に定まる。前述したようにであるので、に対し、写像


が定義できる。

そこでに対しの計量をを任意に選んで
  for 

により定義するとがによらずwell-definedされる事が知られており、上にリーマン計量が定まる。

 アフィン接続 
と半直積で書けるので、リー代数の組はを使って簡約可能であり、しかもは一階である。

よって前述のようにカルタン接続を「部分」と「部分」に分けてと書くことができ、は主バンドル上の接続形式になり、が標準形式となる。逆にとからが復元できる事もすでに示した。

接続形式がに誘導するアフィン接続を定義する事ができ、は以下を満たす：

しかしの捩率は0とは限らない#Sharpe p.234.に捩率が0の場合とそうでない場合にわけて考える旨の記載がある。。もしの捩率が0であればユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学の場合にカルタン幾何学の意味での捩率がKoszul接続の捩率テンソルと同一な事はすでに示した。リーマン幾何学の基本定理より、はレヴィ・チヴィタ接続に一致する。

以上の考察から、カルタン幾何学の立場から見るとリーマン幾何学とは、ユークリッド幾何学をモデルとするカルタン幾何学で捩率がのものとして（計量の定数倍を除き）特徴づけられる幾何学である。

 リーマン多様体の発展 
上述のようにリーマン多様体にはユークリッド幾何学をモデルとする捩れのないカルタン幾何学の構造が入る。

右|サムネイル|滑りとねじれのない転がし（再掲）※図の記号は本文中と異なり、図の、がそれぞれ本文の、に相当する。
次元リーマン多様体上に曲線を取り（図の青の線）、に沿ってを次元平面上を「滑ったり」「ねじれたり」することなく転がした英語では、「捩率」はtorsion、「ねじれのない転がし」の「ねじれ」はtwistであり、両者は無関係な概念である。ときにできる曲線の軌跡をとする（図の紫の線）。

このとき、次が成立することが知られている：

また、を次元平面上滑りもねじれもなく転がすと、時刻にがに接した瞬間にがに重なるので、自然に写像

が定義できる。この写像を使うと、のレヴィ・チヴィタ接続の幾何学的意味を述べることができる：

すなわち、曲線に沿ったの共変微分をに移したものは、を移したものを通常の意味で微分したものに一致する。

よって特に以下が成立する：

 脚注 

 出典 

 注釈 

 参考文献 

 カルタン幾何学関連の文献 







 カルタン幾何学以外の文献 





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