ダルブー導関数

ダルブー導関数（）とは、リー群に値を取る関数に対する導関数概念であり、（意味のある）「微分積分学の基本定理」の概念を定式化できる。

以下本項では特に断りがない限り、単に「関数」、「多様体」等といった場合はすべて級のものをあらわすとする。

 動機 
文献#Sharpe p.115.を参考にダルブー導関数を定義する動機を述べる。実数体上の関数の導関数はそれ自身と同じくからへの関数なので、からを求める問題、すなわち与えられた関数に対し、となる関数を求めよという問題は意味を持ち、微分積分学の基本定理を使って解を求める事ができる。

それに対し、多様体から多様体への写像に対し、導関数からを求める問題は自明なものになってしまう。

なぜならの定義式の中にそれ自身の情報が「埋め込まれて」おり、接ベクトルのによる像はの元であるので、がどの点の接ベクトルなのかを調べる事での像が再現できてしまうからである。

実数体上の関数に対してこの問題が意味を持つのはによるの像を原点まで移動したものを導関数としているので、それ自身の情報が消し去られているからである。

ダルブー導関数は、の値域がリー群である場合に、実数体の場合と同様の像を単位元まで移動する事で、に埋め込まれているの情報を消し去った導関数概念である。すなわち、

を多様体からリー群への写像とするとき、の導関数による像にの元をかける事での像が単位元における接ベクトル空間（これはのリー代数に等しい）に移動したものを

と書き、のダルブー導関数と呼ぶ。ダルブー導関数ではをに移動する事での情報を消し去っているので、与えられたに対し、となる関数を求めよという問題は非自明である。とが十分性質がよければ上記の問題は解を持つ事が知られており、これはダルブー導関数に対する「微分積分学の基本定理」であると解釈できる。

 準備 

ダルブー導関数について述べるための準備として、モーレー・カルタン形式を導入する。モーレー・カルタン形式は以下を満たす#Tu p.198.：ここでは上のリー括弧であり、-値1-形式、に対し、である。

上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式（）、もしくはリー群の構造方程式（）という。

 定義 

本節ではダルブー導関数を具体的に定式化する。

すでに述べたようにのダルブー導関数とは、の像を群の元をかけることでまで移動したものである。具体的には、に対し、はの元なので、を左からかける演算の導関数を作用させた

がのダルブー導関数である。この事実とモーレー・カルタン形式の定義を照らし合わせる事で、ダルブー導関数を以下のように定式化できる事がわかる：

モーレー・カルタン形式が構造方程式を満たすことから、以下が成立する事がわかる：

 微分積分学の基本定理 
本節の目標はをダルブー導関数に持つ関数が存在する条件を記述する事である。

そのための準備として、まず「発展」という概念と「モノドロミー」という概念を定義する。

 発展 
の定義域が区間の場合は、「微分積分学の基本定理」が成り立つ：

上記の定理を多様体上の曲線に対して用いる事で以下の定義が得られる：

 モノドロミー 
が構造方程式を満たせば、発展の終点はホモトピー不変である：

よっての点におけるの基本群を考えると、にの発展の終点を対応させる写像は代表元の取り方によらずwell-definedである。

 定理の記述 
モノドロミーを用いると、をダルブー導関数に持つ関数が存在する必要十分条件を特徴づける事ができる：

 脚注 
 出典 

 注釈 

 参考文献 





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