実効記述集合論

実効記述集合論（じっこうきじゅつしゅうごうろん、Effective descriptive set theory）は記述集合論で細字の定義をもつ集合や実数を扱う分野である; それはすなわち、定義にいかなる実数パラメータも要さないものである (Moschovakis 1980)。つまり実効記述集合論は、記述集合論と再帰理論を組み合わせたものである。

構成
実効ポーランド空間

実効ポーランド空間とは計算可能な表現(:en:computable presentation)を持つ完備可分距離空間のことである。このような空間は、実効記述集合論と構成的解析学の両方で研究されている。 特に、実数直線、カントール集合、ベール空間などのポーランド空間の標準的な例は全て実効ポーランド空間である。

算術的階層

算術的階層、またはクリーネ-モストフスキ階層は、ある集合を、それらを定義する式の複雑さに基づいて分類する。そのような分類を受けた集合は「算術的」と呼ばれる。

より正式には、算術的階層は一階算術の言語における論理式に分類を割り当てる。分類は自然数n（0を含む）に対してとと表される。ここでのギリシャ文字は細字記号であり、論理式に集合パラメータが含まれていないことを意味する。

論理式  が有界量化子のみを持つ論理式に論理的に同値であるとき  は分類  と  を両方割り当てる。

0より大きい各自然数 n に対する ,  は次のように帰納的に定義される:
 が （ただし、 は  式）の形の式と論理的に同値であるとき、 には分類  を割り当てる。
 が （ただし、 は  式）の形の式と論理的に同値であるとき、 には分類  を割り当てる。

参考文献

  Second edition available online

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