飽和集合

飽和集合（ほうわしゅうごう）は、数学（特に集合論や位相空間論の下位分野）において、集合  と関数  に対して、 が  の定義域  の部分集合で、 が2点  と  を同じ値に写すならば、 は  に属する（つまり、 ならば  である）とき、 は  について飽和的あるいは飽和している（saturated）という。より簡潔には、集合  は  のとき、飽和しているという。

位相空間論において、位相空間  の部分集合が  の開集合の交差に等しいときに、その部分集合は飽和しているという。T1空間では任意の集合が飽和している。

 定義 

 準備 
 を写像とする。任意の部分集合  に対して、 による像を、集合と定義し、 の原像あるいは逆像を、集合と定義する。 をとるとき、 の  上のファイバーとは、原像と定義する。

 飽和集合 
集合  が  の定義域  の部分集合で、以下の同値な条件のいずれかを満たしているとき、 は  あるいは という： 

  。
 ある集合  が存在して  となる。
 このような集合  は  を部分集合として含む必要がある。また、等式 も満たす必要がある。ここで、 は  の像を意味する。
  と  が  を満たすならば、 である。
  について、ファイバー  が  と交叉する（すなわち  ）とき、このファイバーは  の部分集合でなければならない（すなわち  ）。
 任意の  に対して、交叉  は空集合  または  に等しい。

 例 
 を任意の関数とする。 が任意の集合のとき、その  の元での原像  は-飽和集合でなければならない。特に、写像  の任意のファイバーは -飽和集合である。 

空集合  と定義域  は常に飽和している。飽和集合の任意の合併は飽和集合であり、同じく飽和集合の任意の交叉も飽和集合である。

 性質 
 と  を任意の集合とし、 を任意の関数とする。

 または  が -飽和ならば、 が -飽和ならばである。ここで特に、集合  について何の条件も課していないことに留意しよう。

 が  の位相（開集合族）であり、 が任意の写像のとき、  の飽和的な開集合  全体のなす集合族  は  の位相になる。 が位相空間のときは、 が連続（resp. 商写像）であるときかつそのときに限り、同じことが  についても成り立つ。

 参照 





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