モーデル曲線

代数学において、モーデル曲線（-きょくせん、）とは、 を非零整数定数として  の形式で表される楕円曲線である。

ルイス・モーデルはこれらの曲線の格子点について詳しく研究した。彼はすべてのモーデル曲線が高々有限個の格子点  を持つと示した。言い換えれば、平方数と立方数の差は無限大に発散するということである。発散速度はベイカーの定理によって調べられている。この問題はとして取り扱われている。

 性質 
 がモーデル曲線上の格子点であるとき、 も同様に格子点となる。

対応するモーデル曲線が格子点を持たないような  が存在する。例えば
 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... （）
 −3, −5, −6, −9, −10, −12, −14, −16, −17, −21, −22, ... （）

 の場合についてはフェルマーのサンドイッチ定理（）として知られる。

 解のリスト 
 の絶対値が25以下の場合のモーデル曲線  の解のリストを示す。 となる解のみ示してある。

 n  (x,y) 1 (−1, 0),  (0, 1),  (2, 3) 2 (−1, 1) 3 (1, 2) 4 (0, 2) 5 (−1, 2) 6 – 7 – 8 (−2, 0),  (1, 3),  (2, 4),  (46, 312) 9  (−2, 1),  (0, 3),  (3, 6), (6, 15), (40, 253) 10 (−1, 3) 11 – 12 (−2, 2),  (13, 47) 13 – 14 – 15 (1, 4),  (109, 1138) 16 (0, 4) 17 (−1, 4),  (−2, 3),  (2, 5),  (4, 9), (8, 23), (43, 282),  (52, 375),  (5234, 378661) 18 (7, 19) 19 (5, 12) 20 – 21 – 22 (3, 7) 23 – 24 (−2, 4),  (1, 5),  (10, 32),  (8158, 736844) 25 (0, 5)

 n  (x,y) −1 (1, 0) −2 (3, 5) −3 – −4 (5, 11),  (2, 2) −5 – −6 – −7 (2, 1), (32, 181) −8 (2, 0) −9 – −10 – −11 (3, 4),  (15, 58) −12 – −13 (17, 70) −14 – −15 (4, 7) −16 – −17 – −18 (3, 3) −19 (7, 18) −20 (6, 14) −21 – −22 – −23 (3, 2) −24 – −25 (5, 10)

1998年、J. Gebel, A. Pethö, H. G. Zimmer は  を満たすすべての格子点を見つけているおよび。。

2015年、M. A. Bennett と A. Ghadermarzi は  の格子点を計算した。

 脚注 

 外部リンク 
 J. Gebel, Data on Mordell's curves for –10000 ≤ n ≤ 10000
 M. Bennett, Data on Mordell curves for –107 ≤ n ≤ 107

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