余接定理

余接定理（よせつていり）The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.は、三角形の辺の長さと3つの角の半分の余接の関係を表す三角法の定理である。余接法則とも呼ばれる。

 定理 
図のように  を3辺の長さ、 を各頂点とし、 を各頂点に対応する角、半周長を  を内接円の半径とすると、以下の式が成立する。
 (1)
また、 について、
 (2)

証明
図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。

内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、
（*1）

∴ （1）

他の角においても同様に示される。

また、式（2）については、以下の式を適用する。


, , とすると、より、


よって、式（*1）より

辺々にをかけて整理すれば、式（2）が示される。

他の公式の証明
余接定理により正接定理が証明されるほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。
ヘロンの公式

辺と同様に三角形が3組6個の三角形に分割され、各組の三角形の面積は等しい。例えば、頂点付近の2個の三角形はともに底辺が、高さ、面積はであり、和はとなる（他も同様）。

よって、三角形の面積は、

∴　

モルワイデの公式

第一公式

和の公式と余接定理より、

∴　
第二公式

和の公式と余接定理より、

和積公式を適用して整理すれば、

関連項目
正弦定理
余弦定理
三角関数の公式の一覧
脚注

参考文献


Category:三角法
Category:三角形に関する定理
Category:数学に関する記事
Category:証明を含む記事