ループのアイソトピー

数学の抽象代数学分野において、アイソトピー（イソトピーとも、) とは、ループの代数的概念を分類するために使われる同値関係である。

ループおよび準群のアイソトピーは、によって1943年に導入された未訳：based on his slightly earlier definition of isotopy for algebras, which was in turn inspired by work of Steenrod.。

 準群のアイソトピー 
任意の準群は、あるループとアイソトピックである。

 と  を準群とする。 Q から P への準群ホモトピー（）とは、 Q から P への写像の三つ組み  であって、以下の条件を満たす者である。

準群の準同型（）とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。

アイソトピー (イソトピーとも、) は、ホモトピーの特殊なケースであって、3つの写像  が全単射である。二つの準群がアイソトピック（イソトピックとも、）とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格の言葉で言い換えると、アイソトピー  は、行の置換 α、列の置換 β、 そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。

オートトピー（）は、  からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、 The set of all autotopies of a quasigroup form a group with the automorphism group as a subgroup.。 

主アイソトピー（）とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る原文：In this case the underlying sets of the quasigroups must be the same but the multiplications may differ.。

 ループのアイソトピー 
 と  をループとし、 をアイソトピーとする。この時、（そのアイソトピーは）主アイソトピー  と  の  と、同型写像  と  間の  を使って、それらのになっているThen it is the product of the principal isotopy  from  and  and the isomorphism  between  and . 。。

 と  をループとし、e を 単位元 of  とする。さらに  を  to  への主アイソトピーとする。この時 

ループ L が G-loop であるとは、それがすべてのループアイソトープループと同型であることと定義される原文：A loop L is a G-loop if it is isomorphic to all its loop isotopes.。

 ループの疑似自己同型 
L をループ、c を L の元とする。 L の全単射 α は任意の x, y に対して、下記の恒等式を満たす時、と呼ばれる。

同様に、左疑似同型（）も定義される。

 ユニバーサル性 
ループについてのある性質 P がユニバーサル（普遍的、）であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、ループ L においてある性質 P が成り立つか否かと、L のイソトープなループでも同様に性質 P が成り立つか否かが一致していることである。。

。実際、任意の群は、G-loopである。

 アイソトピーの幾何学的実行 
与えられたループ L に対して、3-net と呼ばれる学的構造を定義することができる。逆に、原点と直線クラスのを固定すると、3-net はループを発生させる。別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標のループが発生する可能性もある 原文：Choosing a different origin or exchanging the line classes may result in nonisomorphic coordinate loops.。しかしながら、は常にアイソトピックである。言い換えると、二つのループがアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る原文：In other words, two loops are isotopic if and only if they are equivalent from geometric point of view.。

代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。

 ループのオートトピーの成す群は、3-net のを保存するに対応原文：The group of autotopism of the loop corresponds to the group direction preserving collineations of the 3-net.。
 疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
 コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応原文：The set of companion elements is the orbit of the stabilizer of the axis in the collineation group.。
 ループが G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
 性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない原文：The property P is universal if and only if it is independent on the choice of the origin。

 関連項目 
 Isotopy of an algebra

 脚注 

 原文 

 出典 

 参考文献 


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