六次方程式

六次方程式（ろくじほうていしき、）とは、次数が6であるような代数方程式のこと。
 概要 
一般に一変数の六次方程式は

の形で表現される。

五次以上の一般の方程式に対する代数的解法は存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。これはルフィニ、アーベルらによって示された（アーベル–ルフィニの定理参照）。これは六次方程式にも当てはまるので、一般の六次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。 またガロアによって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている（ガロア理論参照）。

なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。

 解法 
一部の六次方程式は、（2変数の一般化された超幾何関数）で解くことができるMathworld - Sextic Equation。

 チルンハウス変換 
チルンハウス変換などにより以下の式となるSolving the sextic equation using univariate analytic functions and arithmetic operations。


 ガロア群 
6次対称群の部分群のうち，可移である15個の共役類について，交換子群の列を示す部分群の計算法2014年度藏野研究室卒業論文「S6の部分群の分類」。この内12個が可解群である。

  6次対称群（位数 720）
  6次交代群（位数 360） 
 正規化群 
  6次巡回群
など

6次対称群の部分群Solving Solvable Quartic, Quintic and Sextic Equations
 Gf  S6  A6  H120  G72  Γ60  G48  Γ36  G36  Γ24  G24  H24  G18  Γ12  G12  C6  H6 位数  720  360  120  72  60  48  36  36  24  24  24  18  12  12  6  6

 脚注 

 参考文献 
 Coble, A. B. "The Reduction of the Sextic Equation to the Valentiner Form--Problem." Math. Ann. 70, 337-350, 1911a.
 Coble, A. B. "An Application of Moore's Cross-Ratio Group to the Solution of the Sextic Equation." Trans. Amer. Math. Soc. 12, 311-325, 1911b.
 Cole, F. N. "A Contribution to the Theory of the General Equation of the Sixth Degree." Amer. J. Math. 8, 265-286, 1886.
 Y. Mochimaru, New way for a two-parameter canonical form of sextic equations and its Solvable cases, Int. J. Pure and Applied Math., 18 (2005), 215-224.
 Mochimaru, Yoshihiro. SOLUTION OF SEXTIC EQUATIONS. International Journal of Pure and Applied Mathematics - Volume. 23 (2005), 575-583.

 関連項目 

  - （Marie-Joseph Kampé de Fériet）により導入された。

 持丸義弘
  → 多変数ラグランジュの反転公式（Multivariate Lagrange Inversion Formula）

 ロジャース＝ラマヌジャン連分数
 種数2の超楕円曲線
 ヤコビ多様体

 フェリックス・クライン
 種数2の
 井草不変量（Igusa invariants）
 ムーアの交差比群（Moore's cross-ratio group）
 モノドロミー

 外部リンク 
 Sextic Equation -- from Wolfram MathWorld
 Resolution of degree ≤ 6 algebraic equations by genus two theta constants

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