ムーファン・ループ

数学において、とは、特別な種類の代数構造である。多くの点で群に似ているが、必ずしも結合法則を満たさない。ムーファン・ループは、 によって導入された。 ムーファン・ループは、関連する代数である がある。それはリー群に関連するリー代数があるのと類似している。Smooth Moufang loops have an associated algebra, the Malcev algebra, similar in some ways to how a Lie group has an associated Lie algebra. 

 定義 
ムーファン・ループ はループ  で、任意の , ,  に対して、以下の4つの同値な恒等式を満たすものである ( の二項演算はで記述する)：
   … (N2)
   … (N1)
   … (M1)
   … (M2)
以後の説明の便宜上、式の後ろにつけた番号は、参考文献 Kunen (1995) に倣った。

 例 

 任意の群は、結合的であるから、従ってムーファン・ループである。
 非ゼロな八元数は、乗算に関して、非結合的なムーファン・ループを成す。

 性質 

 結合性 
ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない むしろ、結合的なムーファンループは、すなわち群である。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。
ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる：
  (式 (N2) において y := e を代入)
  (式 (N1) において z := e を代入)
  (式 (N2) において z := e を代入 or (N1) において y := e を代入 or (M1) において z := e を代入 or (M2) において y := e を代入)

ムーファンの定理は、ムーファン・ループにおける三つの元 x, y, z が結合法則  に従う場合、結合的な部分ループを生成すると述べている。  A corollary of this is that all Moufang loops are di-associative (i.e. the subloop generated by any two elements of a Moufang loop is associative and therefore a group).。

 左右の乗算 

 可逆性 

 ラグランジュ性 

 ムーファン準群 
このセクションでは、ループではなく準群の場合にどうなるか考察する。
準群がムーファン恒等式の内の一つを満たす場合は、必ず単位元が存在することが示されるKunen, K. (1995) https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356, p2, Theorem 2.2 および 2.3。
以下に、証明の一部 (Theorem 2.2) だけ述べる。Theorem 2.3 はより難しいので、参考文献を見よ。

 を準群とする。ムーファンの恒等式の内 (M1) が成り立つと仮定する。
任意のを固定する。準群の定義によって、を満たすがただ一つ存在する。
この時、任意のに対して、が成り立つ最初の等号は、ae = a を代入、二番目の等号は (M1): において として適用した。よって、準群の定義 (消去律) によってが成り立つ。従って、は左単位元である。

次に、再び準群の定義により、を満たすがただ一つ存在する。この時、
が成り立つ最初の等号は が左単位元だから、二番目の等号は仮定した (M1) において として適用、最後の等号は左単位元であることと、による。再び準群の簡約律より、が成り立つ。従って、は右単位元である参考文献 Kunen, K. (1995) の証明を和訳、記載したが、右単位元であることの証明は、Wikipedida 英語版 :en:Moufang_loop#Moufang_quasigroups にある証明の方が簡潔である。
さらに、 であるから、 は(両側)単位元である。

(M2) だけを仮定する場合も、(式を鏡のように反転させて) 同様に証明できる。
この場合はに対して、を満たすを取ると、、つまり は右単位元であることが言える。
先ほどと逆に を満たす を取って、同じことをすれば、 が左単位元になることも言えるので、両側単位元である。

Open problems

 脚注 

 注釈 

 訳注 

 出典 

 関連項目 
:en:Malcev algebra
:en:Bol loop
:en:Gyrogroup
:en:Moufang plane
:en:Moufang polygon

 参考文献 



  https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356



外部リンク
 LOOPS package for GAP This package has a library containing all nonassociative Moufang loops of orders up to and including 81.


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