補群

とは、数学（特に群論として知られる代数学の分野) において、部分群に対して定義される補集合のような概念である。

 定義 
群 G に於ける部分群 H の補群とは、
G の部分群 K で以下の二条件を満たすものをいう


ここで HK は部分集合 { hk | h ∈ H, k ∈ K } を、また e は単位元を表す。
なお、同じことであるが、
「任意の  が、 を使って  と
一意的実際、 が存在して
 と書けたとすると、両辺に左から  と右から  を
掛けることにより、 となる。ここで、H も K も部分群であるから、演算で閉じているので
 かつ  となるが、二番目の条件  より
 でなければならない。よって  が成立。
に表すことができる。」
と言い換えることができる。

この関係は対称性がある。すなわち、K が H の補群ならば、H は K の補群である
実際、K が H の補群とする
任意の  に対して、群の定義から  であるから、
補群の定義の一番目の式によって、ある
 が存在して、 と書ける。
従って  であるから、 となる
( は明らか)。
また、第二式については  より自明。。

ここで、H および K については、必ずしも G の正規部分群である必要はない。

 性質 
 補群は必ずしも存在するとは限らない。
 もし補群が存在するとしても、それがただ一つとも限らない。すなわちG の相異なる部分群 K1 および K2 があって、ともに H の補群であるようなものが存在することもありうる。
 もし K が G に於ける H の補群であるとき、K の要素は、H の (左右の) 剰余類の完全代表系を成す（下記補足説明も参照）。
 H が正規部分群の場合は、補群 K は、商群 G/H と同型である実際、 に対して、と対応させれば  (つまり群準同型) であるがすぐに示せる。さらに、三番目の性質を使えば、 が全単射であることも証明できる。補群が複数存在するならば、それらはすべて G/H と同型である。
 シューア・ツァッセンハウスの定理は、有限群の正規ホール部分群の補群の存在を保証する。

 補足 

三番目の性質について数式で書くと以下のようになる。

最初の条件は、補群の定義の一番目の条件 G = H K より明らか。
二番目の条件は、もし  ならば、ある
 に対して、 が存在して、
 と二通りに表すことができる。
これは、最初の定義の所で述べた表し方の一意性  に矛盾する。

この説明は、右剰余類のケースであるが、左剰余類についても同様である。

 例 

 群 G を
  とし、群演算を6を法とする加法とする。H と K をそれぞれ、 とすると、H と K は G の部分群であり、互いに他方の補群になっている  。
 以下は、ある部分群に対して、補群が複数存在する例である。
 群 G を、複素数全体に演算を加法とした  とする。実数全体  は G の部分群である。ここで
  (i は虚数単位)、つまり純虚数全体の集合とする。まず  が G の部分群であることはすぐに確かめられる。 もすぐに分かるだろう。さらに、任意の複素数 に対して、 であるから、 も示される。従って、 は H の補群である。
 上の G = C の例において、さらに、
  とする。まず、これが G の部分群であることと、 は容易に確かめられる。さらに、任意の複素数  に対して、と変形すれば、 だから  も満たす。
 従って、 も H の補群である。(性質の二番目でも述べたが) 補群が複数存在する例である。
 以下では逆に補群が存在しない例を示す。
 整数全体の加法群  を考える。任意の部分群を  とし、その中から適当に元  を一つ取って固定する。すると、部分群の定義から  の倍数 　はすべて
  でなければならない。
 もし二つの部分群 H と K があれば、その中から適当に一元ずつ  を取り出せば  であり、明らかに 。従って (H か K のいずれかが  でない限り) 補群の条件に必要な  を満たすことは決してない。よって、 の (非自明な) 部分群には対応する補群は存在しない。

 他の積との関係 
補群は、直積 および 半直積 の一般化である。
一般の補群に対応する積を  と呼ぶ。
H と K が非自明な場合

 存在性 
上に述べたように、補群は必ずしも存在するとは限らない。

p-補群（）は、シロー p-部分群の補群である。
Frobenius の定理や Thompson の定理によって、
群がを持つ条件が示される。 
 は、有限群の中で可解群 を任意の素数 p に対して、p-補群を持つものとして特徴付けた。シロー系の構成にも p-補群は利用される。

フロベニウス群に於けるの補群はと呼ばれる。

 とは、任意の部分群が補群を持つ群である。

 関連項目 
 :en:Product of group subsets

 脚注 

 注釈 

 訳注 

 出典 

 参考文献 

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