ディリクレ定理

ディリクレ定理 (ディリクレていり、英：？) は、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレが証明したディリクレの定理(Dirichlet's_theorem)という名前が名付けられた定理のひとつで、フーリエ級数の収束についての定理であるhttp://www.tokuyama.ac.jp/syllabus/2007/tex/2007937.pdf。

 解説 
この定理は以下の通りに書くことができる。

実関数  が 周期 2 周期関数でありながら、連続関数、そして 開区間  で 極値が有限個存在するならば、関数 のフーリエ級数  は全ての   について  に一様収束する。(此処ではフーリエ係数である。)

この記事では便宜上 関数  の周期を 2 と設定した。

 証明の型 
関数  が 閉区間 でリーマン積分可能でありながら、ある  ∈ 
 で連続ならばフェイェールの定理によって整数   と について  の時、 が成り立つ。 そこで  だ。

もし、関数 のフーリエ係数  が ランダウの記号を使って と書くことが出来れば連続な所でのフーリエ級数はに収束する。

上記の 「実関数 が 周期 2の周期関数でありながら、連続関数、そして開区間  で極値が有限個存在する」という条件が  を成り立たせる。
その上、連続関数なので に一様収束することも分かる。

 証明 

 例 

 脚注 

 参考文献 
 日本評論社編、エリアス・M. スタイン ラミ・シャカルチ 著、 新井仁之、杉本充、 高木啓行、 千原浩之 訳「フーリエ解析入門」2007年。ISBN 978-4-535-60891-7

Category:解析学の定理
Category:フーリエ解析
Category:数学に関する記事
Category:ペーター・グスタフ・ディリクレ