7の平方根

7の平方根（ななのへいほうこん、）は、平方して7となる実数である。すなわち、
をみたす実数であり、冪根形式では、
指数形式ではと表される。無理数かつ代数的数である。

最初の60桁の有効数字は

これは約99.99%の精度（1000分の1）以内で2.646に切り上げることができるが、正確な値とは約異なっている。（≈ 2.645833...）の方がより良い近似値である。分母がわずか48しかないにもかかわらず、正確な値とは（33000分の1）未満の差しかない。

の小数表示100万桁以上が公開されている。

有理近似

The extraction of decimal-fraction approximations to square roots by various methods has used the square root of 7 as an example or exercise in textbooks, for hundreds of years.  Different numbers of digits after the decimal point are shown: 5 in 1773 and 1852, 3 in 1835, 6 in 1808, and 7 in 1797.
An extraction by Newton's method (approximately) was illustrated in 1922, concluding that it is 2.646 "to the nearest thousandth".

For a family of good rational approximations, the square root of 7 can be expressed as the continued fraction



The successive partial evaluations of the continued fraction, which are called its convergents, approach :

Their numerators are 2, 3, 5, 8, 37, 45, 82, 127, 590, 717, 1307, 2024, 9403, 11427, 20830, 32257… , and their denominators are 1, 1, 2, 3, 14, 17, 31,  48, 223, 271,  494,  765, 3554, 4319, 7873, 12192,….

Each convergent is a best rational approximation of ; in other words, it is closer to  than any rational with a smaller denominator.  Approximate decimal equivalents improve linearly (number of digits proportional to convergent number) at a rate of less than one digit per step:

Every fourth convergent, starting with , expressed as , satisfies the Pell's equation

When  is approximated with the Babylonian method, starting with  and using , the th approximant  is equal to the th convergent of the continued fraction:

All but the first of these satisfy the Pell's equation above.

The Babylonian method is equivalent to Newton's method for root finding applied to the polynomial .  The Newton's method update,  is equal to  when .  The method therefore converges quadratically (number of accurate decimal digits proportional to the square of the number of Newton or Babylonian steps).
幾何学
平面幾何学において、は一連の動的な長方形により、すなわち上図の長方形の最大の対角線として表される。

辺の長さが2の正三角形に外接する最小の長方形は長さの対角線を持つ。
数学以外の分野
現行のアメリカ合衆国1ドル紙幣の裏にある大きな内箱は長さと幅の比がで、対角線の長さが6.0インチである（測定精度の範囲内で）。
関連項目
 平方根
 2の平方根
 3の平方根
 5の平方根
 6の平方根
 10の平方根

脚注

Category:代数的数
Category:無理数
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