シングマスター予想

シングマスター予想 (シングマスターよそう、) は、「パスカルの三角形において1以外の数字の出現回数には上限が存在する」という組み合わせ数学の予想である。名前の由来は1971年にこの予想を提唱したイギリスの数学者に由来する。

1より大きい任意の整数  について、この数はパスカルの三角形において上から  行までにしか出現しないため、1より大きい数の出現が有限であることは明らかである。シングマスター予想は、この出現回数がある有限の数を越えないことを主張している。

なお、1は明らかにパスカルの三角形において無限回出現し、上記の事実から1はパスカルの三角形で無限回出現する唯一の数である。

 主張 
整数  に対して、 をパスカルの三角形における  の出現回数とする。 シングマスター予想の主張は、ある ( に依存しない) 有限の数  が存在して  が成り立つことである。

ランダウのOを用いると、予想の主張は以下の通りになる。


 既知の上限 
パスカルの三角形における出現数  について、以下のことがすでに知られている。
  すなわち、ある係数  が存在して、十分大きな  について  が成り立つ。


  に対して、十分大きい  を取る (このとき  は  に依存して取る)。このとき、 を満たす  の組は、次の不等式で制限される範囲内には高々4個しか存在しない。
 「 が十分大きいとき、 と  の間に素数が存在する」というを仮定すると、任意の  について

シングマスターの無限族

シングマスターは、 と  に関するディオファントス方程式について、これが無限に多くの解を持つことを証明した。この方程式の解は、非負整数  を用いて次のように表される。ここで  は  番目のフィボナッチ数 () である。

このとき、等しくなる両辺の値を  とおくと、となり、パスカルの三角形に (少なくとも) 6回登場する数の族を得る。これをシングマスターの無限族と呼ぶ。

 例 

 2 は1回だけ現れる。それより大きい整数は2回以上現れる。
 3, 4, 5 はそれぞれ2回現れる。ちょうど2個現れる整数は無限にある。
 全ての奇素数は2回現れる。
 6 は3回現れる。3回現れる整数も無限個ある。
  (pは、  を満たす素数)の形で表せる数は4回現れる。
 以下の例のようにちょうど6回現れる数も無限にある。

 3003は8回現れる最小かつ現在唯一知られている数である。3003はシングマスターの無限族によって求められる数でもある。シングマスターの無限族における次の数は  である (OEIS: )。
 Benjamin　M. M. de Wegerは、上記の120、210、1540、7140、11628、24310およびシングマスターの無限族以外にパスカルの三角形で5回以上出現する数は存在しないと予想している。

 n がパスカルの三角形に現れる回数は、

 ∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ... 

 Abbott, Erdős, and Hanson (1974)は、 x 以下のパスカルの三角形に3回以上現れる整数の数は、O(x1/2)であることを示した。

 未解決問題 
9回以上現れる数、3003以外の8回現れる数が存在するかどうかは知られていない。上限は8と予想できるが、シングマスターは10または12と予想していた。

また、5回または7回現れる数が存在するかどうかも未解決である。関連する数列  において等式N(a) = 5 をみたす aがあるかどうかわからないことが言及されている。

 脚注 

 脚注 

 出典 

 参考文献 
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 関連項目 
 二項係数
 パスカルの三角形

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