Prime k-tuple

Prime k-tupleとは、pnをn番目の素数とすると、pn+k−1 − pnが最小になるk個の素数の組のことをいう。

 名前付きパターン 
最短のk-tupleのいくつかは、他の一般名で知られている。
(0, 2)双子素数(0, 4)いとこ素数(0, 6)セクシー素数(0, 2, 6), (0, 4, 6)三つ子素数(0, 6, 12)セクシー素数の三つ組(0, 2, 6, 8)四つ子素数(0, 6, 12, 18)セクシー素数の四つ組(0, 2, 6, 8, 12), (0, 4, 6, 10, 12)五つ子素数(0, 4, 6, 10, 12, 16)六つ子素数

 許容性 
k-tupleがそのすべての値が素数である無限に多くの位置を持つために、tupleがpを法とするすべての異なる可能な値を含むような素数pが存在することはできない。なぜなら、そのような素数pが存在する場合、nのどの値が選択されても、tupleにnを追加することによって形成される値の1つはpで割り切れるので、素数の配置は有限にしか存在できない (pを含むもののみ)。たとえば、k-tupleは、3を法とする0、1、および2の3つの値すべてを取ることはできない。そうしないと、結果の数値には常に3の倍数が含まれるため、数値の1つが3自体でない限り、すべてが素数になることはない。この条件を満たすk-tuple (つまり、 pを法とするすべての異なる値をカバーするpがない)は、許容可能と呼ばれる。

例えば、(n, n + 1) のうち1つは2の倍数なので、許容可能なPrime 2-tuple (双子素数)は、(p, p + 2)である。
(n, n + 2, n + 4) のうち1つは3の倍数なので、許容可能なPrime 3-tuple (三つ子素数)は、(p, p + 2, p + 6), (p, p + 4, p + 6)である。

すべての許容可能なPrime k-tupleは、無数に存在するだろうと予想されている。ただし、Prime 1-tupleを除いて、これが証明されている許容可能なPrime k-tupleはない。

 最小のPrime k-tuple  
最初のいくつかのPrime k-tupleは次のとおりである。dは、pnをn番目の素数とすると、d = pn+k−1 − pnで、許容可能であるものとする。

 k d Prime k-tupleのパターン 最小の組 2  2  (0, 2)  (3, 5) 3  6  (0, 2, 6)(0, 4, 6)  (5, 7, 11)(7, 11, 13) 4  8  (0, 2, 6, 8)  (5, 7, 11, 13) 5  12  (0, 2, 6, 8, 12)(0, 4, 6, 10, 12)  (5, 7, 11, 13, 17)(7, 11, 13, 17, 19) 6  16  (0, 4, 6, 10, 12, 16)  (7, 11, 13, 17, 19, 23) 7  20  (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20)(0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)  (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31)(5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659) 8  26  (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26)(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26)(0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26)  (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37)(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)(88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819) 9  30  (0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30)(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30)(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30)(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30)  (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41)(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43)(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47)(88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)

kの関数としてのdは、である。

 等差数列の素数 
(0, n, 2n, 3n, …, (k − 1)n) の形式のPrime k-tupleは、素数等差数列と呼ばれる。そのようなPrime k-tupleが許容性を満たすためには、nはkの素数階乗の倍数でなければならない。

 Prime k-tupleの例 
nを0以上の整数とする。
 (3, 5) を除く全ての双子素数 (Prime 2-tuple)は (6n + 5, 6n + 7) の形である。
 また、(3, 5), (5, 7) を除く全ての双子素数は (30n + 11, 30n + 13), (30n + 17, 30n + 19), (30n + 29, 30n + 31) の形である。
 (5, 7, 11, 13) を除く全ての四つ子素数 (Prime 4-tuple)は (30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19) の形である。
 また、(5, 7, 11, 13) を除く全ての四つ子素数は (210n + 11, 210n + 13, 210n + 17, 210n + 19), (210n + 101, 210n + 103, 210n + 107, 210n + 109), (210n + 191, 210n + 193, 210n + 197, 210n + 199) の形である。
 (7, 11, 13, 17, 19, 23) を除く全ての六つ子素数 (Prime 6-tuple)は (210n + 97, 210n + 101, 210n + 103, 210n + 107, 210n + 109, 210n + 113) の形である。
 また、(7, 11, 13, 17, 19, 23) を除く全ての六つ子素数は (2310n + 97, 2310n + 101, 2310n + 103, 2310n + 107, 2310n + 109, 2310n + 113), (2310n + 937, 2310n + 941, 2310n + 943, 2310n + 947, 2310n + 949, 2310n + 953), (2310n + 1147, 2310n + 1151, 2310n + 1153, 2310n + 1157, 2310n + 1159, 2310n + 1163),(2310n + 1357, 2310n + 1361, 2310n + 1363, 2310n + 1367, 2310n + 1369, 2310n + 1373),(2310n + 2197, 2310n + 2201, 2310n + 2203, 2310n + 2207, 2310n + 2209, 2310n + 2213)の形である。

 関連項目 
双子素数
三つ子素数
四つ子素数
いとこ素数
セクシー素数

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