オイラーの四辺形定理

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オイラーの四辺形定理（オイラーのしへんけいていり）は、凸四角形における辺と対角線の長さの関係を示す定理である。

この定理は系として中線定理とピタゴラスの定理を含む。

 定理と系 
四角形の4辺の長さを 、対角線の長さを 、2つの対角線の中点間の距離を  と置くと以下の式が成り立つ。

四角形が平行四辺形のとき、対角線は中点で交わるため  は0になる。また、対辺の長さは等しいためまとめると以下の式になる。

これを変形すると中線定理が得られる。

四角形が長方形の場合対角線の長さも同じになるため以下のようになる。

両辺を2で割ればピタゴラスの定理が得られる。

言い換えると、長方形の辺の長さと対角線の長さの関係はピタゴラスの定理であらわすことができるLokenath Debnath: The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute. World Scientific, 2010, , pp. 105–107。

 拡張 
オイラーはもともと他の定理からこの関係を導いたが、それは簡単な考察ではない。

与えられた四角形  に対して  が平行四辺形になるような点 を取ると以下の式が成り立つ。

 は平行四辺形を構成する点 と構成しない点 との距離である。 は元の四角形が平行四辺形とどれだけ乖離しているかを示す値であり、平行四辺形定理（平行四辺形の辺と対角線の長さの関係を示す定理）に対する補正項であるDeanna Haunsperger, Stephen Kennedy: The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. MAA, 2006, , pp. 137–139。

 は  の中点である。また  は  の中点であり、 と  が平行四辺形の対角線であることから  は  の中点でもある。よって中点連結定理から  と  は平行で  を満たすことがわかる。最初の式に代入するとこの定理が得られる。

この定理は凸でない四角形や4点が同一平面上にない四辺形にも拡張できるGeoffrey A. Kandall: Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov., 2002), pp. 403–404 (JSTOR)。

 脚注 

 外部リンク 



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