混線内接円

混線内接円（こんせんないせつえん、）とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点  を含む二辺に接する混線内接円は  混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。
リンク=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mixtilinear_incircle.png|サムネイル|350x350ピクセル|三角形  の  混線内接円

 一意に存在することの証明 
三角形  の  傍接円は一意に存在する。 を中心とし  を半径とする反転と、角  の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を  とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、 も同様である。このとき、 による  傍接円の像は、辺  と辺  に内接し、かつ三角形  の外接円に接するので、すなわち  混線内接円である。したがって、 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により  と  に対しても同じことが示される。

 作図 
リンク=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mixtilinear_incircle_construction.png|サムネイル|400x400ピクセル|六角形  とその三組の対辺の交点 
 混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる。

 角の二等分線を交わらせることで内心  を描く。
  を通り直線  に垂直な直線を描き、直線  と  との交点をそれぞれ点  と  とする。これらは混線内接円が接する点になる。
 点  と  からそれぞれ  と  の垂線を描き、その交点を  とする。 を中心とし  を半径とする円が混線内接円である。

この作図は次の事実により保証されている。

 補題（ニクソンの定理） 
この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である。

 証明 
 を三角形  の外接円とし、 を  混線内接円  と  の接点とする。 と異なる点  と  を、それぞれ  と  の、 と  の交点とする。 を中心として  と  のあいだに相似変換を施すことにより、 と  がそれぞれ  の弧  と  の中点であることがわかる。円周角の定理により、 と  がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を  に接する六角形  に適用することにより、 が共線であることがわかる。角  と  が等しいことから、 が線分  の中点であることが従う。

 他の性質 

 半径 
次の公式は内接円の半径  と三角形  の  混線内接円の半径  を結びつける。

このことから即座に次の式が従う：

ただし  は半周長であり、またこの式は点  と円  に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる。

 外接円の点との関係 

 点  を含む弧  の中点は直線  上にある。
 四角形  は調和四角形である。すなわち、 は三角形  の類似中線である。

 外接円との接点に関連する円 

  と  は共円四辺形である。

 螺旋相似 

  は  と  をそれぞれ  と  に写すの中心である。

 三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係 

 頂点と接点を結ぶ直線 
各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersではとして紹介されている。三線座標では  であり、重心座標では  である。

この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。また、ナーゲル点の等角共役である。混線内接円が外接円と接する点の成す三角形は第三混線三角形（3rd mixtilinear triangle）と呼ばれる。

 根心 
三つの混線内接円の根心  は、 をに内分する。ここで  は内心、 は内半径、 は外心、 は外半径である。

はミッテンプンクトの等角共役と内心の中点である。また、重心とと共線である。Encyclopedia of Triangle Centersではに該当し三線座標は以下の式で与えられる。

 混線傍接円 
ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に外接する円を混線傍接円（Mixtilinear excircles）という。混線内接円と同様に、二辺との接点の中点は傍心である。また、混線傍接円の中心の成す三角形は第二混線三角形（2nd mixtilinear triangle,outer-mixtilinear triangle）と呼ばれる。

 頂点と接点を結ぶ直線 
各頂点と、それに対応する混線傍接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の内相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは  として紹介されている。三線座標ではであり、重心座標ではである。

この点はOI線、重心とフォイエルバッハ点、垂心とフォイエルバッハ点の調和共役、ナーゲル点とシフラー点を通る直線上にある。また、ジェルゴンヌ点の等角共役である。混線傍接円が外接円と接する点の成す三角形は第四混線三角形（4th mixtilinear triangle）と呼ばれる。

 根心 
三つの混線傍接円の根心は をに内分する。Encyclopedia of Triangle Centersではに該当し三線座標は以下の式で与えられる。ただし

 アポロニウス円 
3つの混線傍接円のアポロニウス円（3つの混線傍接円に外接する円）の中心はOI線上に存在する。

 関連 

 曲線内接円

 参考文献 

Category:初等幾何学
Category:円 (数学)
Category:三角形
Category:数学に関する記事