一意性 (数学)

一意性（いちいせい、）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。

これら二つの主張は論理的な意味が異なるが、文脈によってどちらの意味かは異なる。

たとえば群論における「逆元の一意性」は前者の意味で証明されるし、整数論における「素因数分解の一意性」は後者が成り立つことを主張している。

また、一意的に存在することを記号「∃!」、もしくは「∃=1」のように書くことができ、たとえば 　



は、「 を満たすような自然数  がただ一つ存在する」という意味の論理式となる。

 一意性の証明 

ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、次にそのような対象がもう一つあり（例:  と ）、それらが互いに等しいこと（すなわち ）を示すことで得られる。

例えば、方程式:  満たす解が1つであることを示すには、まず少なくとも1つの解、すなわち  を満たす解  が存在することを証明しなければならない。この証明は、単に下記の方程式が成り立つことを確認すればよい:

。

解が一意性であることを示すために、 を満たす解が、 と  の2つ存在することを仮定して解く。 このとき、

 かつ 。

両方の方程式から等号の推移律により、
。

両辺から 2 を引くと、
。

となり、 を満たす解が 3 の一意に決まることが証明できた。

一般に、ある条件を満たす対象がただ一つ存在すると示すためには、存在性（少なくとも1つの対象が存在すること）と一意性（多くても1つの対象が存在すること）の両方を証明しなければならない。

一意性を証明する他の証明方法として、条件を満たす対象  が存在することを証明して、その条件を満たすすべての対象が  と等しいことを証明する方法がある。

 述語論理 
述語（性質）  を満たす議論領域の対象  がただ一つ存在するという命題を  と書く。これは述語論理の連言  ・含意  ・存在記号  ・全称記号  などを用いて書かれる

という命題を指す。同値な別の表現（あるいは定義）としては、存在性と一意性を分離した

や短さに重きをおいた

などがある。

 関連項目 
One-hot
単集合

 参考文献 

 脚注 

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