円分指標

数論において、円分指標（cyclotomic character）とは、1の冪根の群に対するガロア群の作用を与える指標です。これは、環上の一次元の表現であり、その表現空間は一般的にと表記されます（つまり、表現です）。

p進円分指標
を固定した素数とし、を有理数の絶対ガロア群とします。 
は、任意の原始乗根によって生成される次の巡回群を形成します。

内のすべての原始根はガロア共役であるため、ガロア群はに対して自己同型として作用します。の原始根を1つ固定し、それがを生成すると、の任意の要素は、のべきとして書くことができ、その指数はの一意の要素です。このことから次のように書けます。

ここではとの両方に依存する一意の要素です。これにより、mod 円分指標と呼ばれる群準同型が定義されます：

これは、準同型に対応するため、指標と見なされます。

とを固定し、を変化させると、はすべての進冪根の作用を符号化する形で逆極限におけるコンパチブルなシステムを形成します。

これは進整数環の単元です。このようにして、は進円分指標と呼ばれる群準同型を構成します：

これはのすべての乗根に同時に作用することを符号化しています。実際には、にKrull位相を、に進位相を装備することにより、これは位相群の連続表現となります。

進表現の整合系として
すべての素数を変化させることで、進円分指標から進表現の互換システムを得ます（表現の整合系を考慮する際、標準的な用語では記号を用いて素数を表します）。すなわち、は次のような進表現の「族」です。

これは異なる素数間の一定の互換性を満たします。実際、は厳整合的進表現システムを形成します。

幾何学的実現 
進円分指標は、進テイト加群のと見なすことができ、これは上の代数的トーラスとして表現できます。したがって、その表現空間はにおける乗根の群の逆極限と見なすことができます。

エタールコホモロジーの観点からは、進円分指標は進エタールコホモロジー群の双対であり、特に射影空間のコホモロジーに見出せます。

モチーフの観点からは、進円分指標はテイトモチーフの進実現です。の双対としてグロタンディークモチーフに含まれます。Section 3 of 

性質
進円分指標は、いくつかの優れた性質を持っています。

 すべての素数において不分岐（すなわち、での惰性部分群が自明に作用する）。
 がのフロベニウス元である場合、
 においてクリスタリン表現です。

関連項目
テイト捻り

参考文献

Category:代数的整数論