三十七角形

三十七角形（さんじゅうしちかくけい、さんじゅうななかっけい、triacontaheptagon）は、多角形の一つで、37本の辺と37個の頂点を持つ図形である。内角の和は6300°、対角線の本数は629本である。

 正三十七角形 
正三十七角形においては、中心角と外角は9.729…°で、内角は170.27…°となる。一辺の長さが a の正三十七角形の面積 S は

を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式→三次方程式（2つ）→二次方程式と解く必要がある。

以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。

各式を3つの組に分ける。と

和積公式で変形する。また、 の関係を使って変形する。

解と係数の関係を使って二次方程式を解くと

ここで、は以下の三次方程式の解である。

三角関数、逆三角関数を用いた解は

平方根、立方根で表すと

 別解 
を二次方程式→三次方程式→三次方程式の順で求めることもできる。
まず、以下のようにx1～x6を定める。

α、βを以下のように置き

α、βの和と差の平方を求めると

となる。よって、

さらに以下の値A,B,C,Dも三角関数の積和の公式から求まる。

両辺の立方根を取ると

以上より、x1～x6が求まる。

さらに以下のy11,y12の値をx1～x6を使って求める。

両辺の立方根を取ると

以上より

 正三十七角形の作図 
正三十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十七角形は折紙により作図可能である。

 脚注 

 関連項目 

 外部リンク 

 z^37=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室

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