双球座標系

双球座標系（）は3次元の直交座標系の一つで、2次元の双極座標系を、2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。

 定義 
（）を焦点とする双球座標  は以下のように定義される：



逆変換は



で、、 である。座標  は焦点  で、 は z 軸上で不定となる。

各座標の範囲は



である。

 等値面 
 の等値面は



で表される。 のときはリンゴ（極がへこむ）、 のときはレモン（極が尖る）のような形状になり、 のときは球である。なお、 はそれぞれ z 軸の 、 に対応する。

 の等値面は



で、 のときは交差しない2つの球である。なお、 は xy 平面、 は焦点  に対応する。

 の等値面は半平面



である。

 微分 
双球座標系のヤコビ行列は



である。したがって計量テンソルは



である。
これより、微小体積要素は



となる。また、ラプラシアンは以下で与えられる：



 応用 
双球座標の古典的な応用例は偏微分方程式である。双球座標系でラプラス方程式を変数分離することはできるが、ヘルムホルツ方程式は分離できない。たとえば、2つの導体球がつくる電場を双球座標系で解くことができる。

 参考文献 






 外部リンク 

 Bispherical Coordinates -- from Wolfram MathWorld

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