偏相関

偏相関（へんそうかん、）は、別の交絡因子による影響を取り除いた関心のある2つの変数の間の相関を表す概念である。ピアソンの積率相関係数を使用すると、別の交絡因子がある場合に誤解を招く結果が得られる。この誤解を招く情報は、偏相関係数を計算し交絡変数を制御することによって回避できる。

偏相関係数は、ピアソンの積率相関係数と同様に、–1から1の範囲の値を取る。偏相関係数の値が–1のときは、別の交絡因子による影響を取り除いた完全な負の相関（線形関係）を表す。偏相関係数の値が1のときは完全な正の相関（線形関係）を表し、値が0のときは線形関係がないことを表す。

 定義 
n 個の制御変数 Z = {Z1, Z2, ..., Zn} が与えられた場合の X と Y の間の偏相関 ρXY·Z は、eX（X を Z で線形回帰したときの残差）と eY（Y を Z で線形回帰したときの残差）の相関である。

 計算 
関連する2つの線形回帰問題を解き、残差を取得し、残差間の相関を計算する。

 線形回帰の使用 

 例 
 X  Y  Z  2  1  0  4  2  0 15  3  1 20  4  1

> X = c(2,4,15,20)
> Y = c(1,2,3,4)
> Z = c(0,0,1,1)
> mm1 = lm(X~Z)
> res1 = mm1$residuals
> mm2 = lm(Y~Z)
> res2 = mm2$residuals
> cor(res1,res2)
[1] 0.919145
> cor(X,Y)
[1] 0.9695016
> generalCorr::parcorMany(cbind(X,Y,Z))

     nami namj partij   partji rijMrji  
[1,] "X"  "Y"  "0.8844" "1"    "-0.1156"
[2,] "X"  "Z"  "0.1581" "1"    "-0.8419"

 再帰式の使用 

 逆行列の使用 



 解釈 

 幾何学的 

 条件付き独立性テストとして 
参照：フィッシャー変換

 半偏相関（部分相関） 

 時系列分析で使用 

 関連項目 

 線形回帰
 条件付き独立
 多重相関

 参考文献 

 外部リンク 


 Mathematical formulae in the "Description" section of the IMSL Numerical Library PCORR routine
 A three-variable example

Category:多変量統計
Category:統計量
Category:時系列分析