群論の歴史

群論（さまざまな形の群を研究する数学の分野）は、様々な分野で同時に発展してきた。群論は3つの歴史的な起源がある： 代数方程式論、数論と幾何学である。ジョセフ＝ルイ・ラグランジュ、パオロ・ルッフィーニ、ニールス・ヘンリック・アーベル、エヴァリスト・ガロアは、群論の分野の初期の研究者であった。

 19世紀初頭 
群の研究と呼べる最初のものは、おそらく18世紀後半のラグランジュの仕事にさかのぼる。しかし、この研究はやや孤立しており、一般的にはオーギュスタン＝ルイ・コーシーとガロアの1846年の出版物が群論の始まりとされている。理論は何もない状態から発展したわけではなく、その前史の中で3つの重要な流れがあった。

 置換群の発展 
1つ目の群論の根本的な起源は、4を超える次数の多項式方程式の解の探求であった。

初期の出典は、与えられたn次方程式から、であるm個の根を解としてもつm次方程式を導き出す問題に見られる。単純なケースでは、問題はJohann van Waveren Hudde （1659）までさかのぼる Hudde, Johannes (1659) "Epistola prima, de reductione æquationum" (第一書簡: 方程式の還元について). In: Descartes, René; Beaune, Florimond de; Schooten, Frans van; Hudde, Johannes; Heuraet, Hendrik van. Renati Des-Cartes Geometria. 2nd ed. vol. 1. (in Latin) Amsterdam, Netherlands: Louis and Daniel Elzevir. pp. 406–506.。Nicholas Saunderson （1740）は、双二次方程式の二次因子の決定は必然的に六次方程式に帰着すると記しており、Thomas Le Seur（1703–1770）（1748） ; pp. 13 ff, see especially pp. 22–23.トマ・ルスールに関する記事はフランス語版Wikipediaおよびドイツ語版Wikipediaで読むことができる。とエドワード・ウェアリング（1762-1782）はそのアイデアをさらに洗練させた参照:。ウェアリングは、対称式の基本定理を証明し、とくに、四次方程式の根と、そのレゾルベントである三次方程式の間の関係を考察した。

ラグランジュ（1770, 1771）の研究目標は、なぜ三次方程式と四次方程式は根の公式を求めることができるのかを理解することであり、その成果は、根の置換のなす群が鍵となる要素であるということであった参照:

  。彼は、彼が調べた全ての（résolvantes, réduites）の根が、それぞれの方程式の根の有理関数で表されることを発見した。これらの関数の特性を研究するために、彼は組合せの算法を考案した。同時代のアレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンド（1770）は、対称関数と円分多項式の解の理論を開拓した。レオポルト・クロネッカーは、代数学の新たな流行はヴァンデルモンドの第一論文に始まるという発言が引用されている（和訳：「1770年にパリのアカデミーに提出された、方程式の解法に関するヴァンデルモンドの論文により－クロネッカー氏が最近の講演で述べたように－代数学の新たな隆盛が始まった。」）。同様に、コーシーもラグランジュとヴァンデルモンドの両者を対称関数と変数の置換の研究に関する功績を称えている。

パオロ・ルッフィーニ（1799）は、五次方程式以上の方程式を解くことが不可能であることの証明を試みた。ルッフィーニは、置換群の理論、例えば元の位数、共役、置換群の元の巡回置換の積への分解といったアイデアを探求した最初の人物である。ルッフィーニは、今日、非推移的および推移的と呼ばれる概念や、非原始的群および原始的群と呼ばれるものを区別し、（1801）では、ある方程式の群を置換の集合という呼び名で使用している。彼はまた、群というアイデアが際立っているとする彼自身に宛てられたからの手紙を公開した。しかしながら、彼は群の概念、あるいは置換群の概念でさえ、形式化には決して至らなかった。

右|サムネイル|194x194ピクセル| 同級生が描いた15歳のガロア。
エヴァリスト・ガロアは、群論と体論を、今日ガロア理論と呼ばれている理論によって結びつけた最初の数学者として称えられている。ガロアは、や楕円関数に関する理論にも貢献している。群論に関する彼の最初の出版物は18歳の時（1829）に刊行されたが、彼の貢献は、没後の1846年に論文集（Liouville, Vol. XI）が出版されるまで、ほとんど注目を集めなかった。彼は、置換群がもつ、現在閉性と呼ばれる特性に関して考察し、それについて彼は

と述べている。
ガロアは、ある方程式のn個の根がであるとしたら、r同士の置換からなる群で、以下の2条件
その群が含む置換に対して不変な、根を変数とする関数式は有理式の形をとる
逆に、根の有理式の形で表される関数は、群に含まれる置換に対して不変である
を満たすものが常に存在することを発見した。
現代の用語で言えば、方程式に結びついたガロア群の可解性が、方程式の冪根による可解性を決定するということである。

ガロアは、最初に群（フランス語でgroupe）および原始的という単語を現代と同じ意味で使った人である。彼は原始的群という言葉は使わなかったが、ガロア群が原始的である方程式を原始的方程式と呼んでいる。彼は、正規部分群の概念を発見し、可解な原始置換群は素数冪位数の有限体上のアフィン空間へ作用するアフィン群の部分群として特徴づけられることを発見した。

ガロア群に類似の群は、（今日）置換群と呼ばれている。置換群の理論は、オーギュスタン＝ルイ・コーシーとカミーユ・ジョルダンの手により、新たな概念の導入と、まず何より置換群の特殊な諸クラスに関する豊富な結果と、それに加えいくつかの一般的定理によって、さらなる飛躍的な発展を遂げた。特筆すべき成果としては、ジョルダンは準同型の概念を（置換群の文脈に限られてはいたが）定義した。群という用語を一般に普及させたのもジョルダンである。

抽象的概念としての有限群は、アーサー・ケイリーの1854年の論文群の理論について、記号方程式を出発点としてが初出である。ケイリーは、全ての有限群は置換群の部分群であると主張した。この成果は今日ケイリーの定理として知られている。その後何年かをかけて、ケイリーは系統的に無限群と行列の代数的特性、例えば積の結合則や逆行列の存在、特性多項式などを探求した。

 脚注 

Category:数学史
Category:群論
Category:数学に関する記事